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Hallo liebe Forum-Freunde
Liebe Freunde bin bei folgender Aufgabe nicht weiter gekommen,deshalb bitte ich euch um eure Hilfe;
Aufgabe: A sei der Flächeninhalt der Fläche unter dem Graphen der Funktion x [mm] \to \wurzel{x} [/mm] über dem Intervall [0;4].
a) Berechne [mm] \overline{s4}[\overline{s6};\overline{s8}]
[/mm]
b) Gib allgemein [mm] \overline{Sn} [/mm] an
c)Zeige durch Symmetriebetrachtung, dass A ebenfalls der Flächeninhalt der Fläche ist,die vom Graphen der Funtion x [mm] \to x^2, [/mm] der y-Achse und der Geraden mit y=4eingeschlossen wird.Zeige,dass [mm] gilt:A=\bruch{16}{3}.
[/mm]
d)Folgere aus b) und [mm] c):\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel{1}+\wurzel{2}+...\wurzel{n}}{n\wurzel{n}}=\bruch{2}{3} [/mm] .
Vielen Dank im Voraus.
MfG
Hasan
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Zuerst habe ich mich gefragt, was denn diese
[mm] \overline{s}_n [/mm] und [mm] \overline{S}_n [/mm] eigentlich sein sollen.
Ist meine Interpretation richtig, dass die
[mm] \overline{s}_n [/mm] untere Treppensummen und die [mm] $\overline{S}_n$ [/mm] obere
Treppensummen sein sollen ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:05 Sa 22.11.2008 | | Autor: | MarkusF |
Hallo!
Was soll denn [mm] \overline{s4}[\overline{s6};\overline{s8}] [/mm] oder [mm] \overline{S_{n}} [/mm] darstellen?
Viele Grüße,
Markus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:15 Sa 22.11.2008 | | Autor: | plutino99 |
ehrlich gesagt,weiß ich selbst nicht was das darstellen soll.
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> ehrlich gesagt,weiß ich selbst nicht was das darstellen soll.
Dann nehmen wir doch mal die Interpretation als
untere und obere Treppensummen !
Beispiel: [mm] $\overline{S}_4=\ [/mm] ?$
Diese Obersumme besteht aus 4 Rechtecken der
Breite 1, die nebeneinander auf der x-Achse stehen.
Jeweils die rechte obere Ecke jedes Rechtecks liegt
auf der Kurve [mm] y=\wurzel{x}. [/mm] Diese 4 rechten oberen
Ecken sind:
$\ (1/1), [mm] (2/\wurzel{2}), (3/\wurzel{3}), [/mm] (4/2)$
Also ist [mm] $\overline{S}_4\ [/mm] =\ [mm] 1*1+1*\wurzel{2}+1*\wurzel{3}+1*2=3+\wurzel{2}+\wurzel{3}\ \approx\ [/mm] 6.146$
Nimmt man nun nicht 4, sondern n gleich breite
Rechtecke, um [mm] \overline{S}_n [/mm] zu erhalten, muss man
sich überlegen:
1.) wie breit ist jedes dieser Rechtecke ?
2.) welche x- und y-Koordinate hat der rechte obere
Eckpunkt des k-ten Rechtecks ?
3.) welchen Flächeninhalt hat das k-te Rechteck ?
4.) welche Summe ergibt sich für [mm] \overline{S}_n [/mm] ?
LG
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erstmal danke für deine hilfe
wieso lautet der letzte Koordinat (2/2) und nicht (4/2)?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:34 Sa 22.11.2008 | | Autor: | MarkusF |
Klar, das muss natürlich (4|2) heißen.
Viele Grüße,
Markus
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erstmals danke
für die summenberechnung spielen aber die x-Koordinate keine Rolle oder?
MfG
hasan
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(habe den kleinen Fehler von vorher korrigiert)
> für die summenberechnung spielen aber die x-Koordinaten
> keine Rolle oder?
Nein, nur ihre Differenzen. Wir richten es aber ja
so ein, dass alle Intervalle gleich breit sind.
Alle n Intervalle zusammen haben die gesamte
Breite 4-0=4, für ein einzelnes Rechteck ist also
die Breite [mm] \Delta{x}=\bruch{4}{n}. [/mm] Das k-te Rechteck
hat seinen rechten Rand an der Stelle [mm] x_k=k*\Delta{x}=k*\bruch{4}{n}
[/mm]
und die Höhe [mm] y_k=\wurzel{x_k}. [/mm] Die Summe aller
Rechtecksflächen wird dann:
[mm] \overline{S}_n=\summe_{k=1}^{n}A_k=\summe_{k=1}^{n}\Delta{x}*y_k
[/mm]
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zu b):Gib allgemein [mm] \overline{S}n
[/mm]
Mein Ansatz: [mm] (n/\wurzel{n}),(n+1/\wurzel{n+1}),(n+2/\wurzel{n+2}),...,(n+\infty/\wurzel{n+\infty})
[/mm]
Wie berechnet man jetzt davon die Summe?Wie ich das aufschreiben muss denke ich zu wissen,aber was soll da rauskommen:
[mm] 1*\wurzel{n}+1*\wurzel{n+1}+1*\wurzel{n+2}+...+1*\wurzel{n+\infty}=?
[/mm]
Ich bedanke mich schon im Voraus
MfG
Hasan
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Hallo Hasan,
das Rechteck Nummer k hat die Breite [mm] \Delta{x}=\bruch{4}{n},
[/mm]
sein rechter Rand liegt bei [mm] x_k=k*\Delta{x}=k*\bruch{4}{n}, [/mm]
seine Höhe ist [mm] y_k=\wurzel{x_k}=\wurzel{k*\bruch{4}{n}}.
[/mm]
Der Flächeninhalt [mm] A_k [/mm] dieses Rechtecks ist also:
$\ [mm] A_k=Breite*Hoehe=\Delta{x}*y_k=\bruch{4}{n}*\wurzel{k*\bruch{4}{n}}=\bruch{8}{n\wurzel{n}}*\wurzel{k}$
[/mm]
Die Summe aller n Rechtecksflächen (nummeriert mit k=1 ... n)
wird damit:
$\ [mm] \overline{S}_n=\summe_{k=1}^{n}A_k=\summe_{k=1}^{n}\bruch{8}{n\wurzel{n}}*\wurzel{k}=\bruch{8}{n\wurzel{n}}*\summe_{k=1}^{n}\wurzel{k}$
[/mm]
LG
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Erstmals vielen dank für deine Hilfe
Nur habe ich eine Frage:
Für was steht die Variable k,was wird damit ausgedrückt?
MfG
Hasan
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> Für was steht die Variable k,was wird damit ausgedrückt?
Die Rechtecke werden nummeriert von 1 bis n.
k ist die Nummer des Rechtecks, das in x-Richtung
von [mm] (k-1)*\Delta{x} [/mm] bis [mm] k*\Delta{x} [/mm] reicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:22 Sa 22.11.2008 | | Autor: | plutino99 |
aufgabe:
a) Berechne [mm] \overline{S4}[\overline{S6};\overline{S8}]
[/mm]
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> aufgabe:
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> a) Berechne [mm]\overline{S4}[\overline{S6};\overline{S8}][/mm]
Gut, dann haben wir also nur eine Sorte von
Summen, entweder Ober- oder Untersummen.
Im Hinblick auf die zu beweisende Formel würde
ich vorschlagen, bei den Obersummen zu bleiben,
wie ich das in meiner letzten Mitteilung schon
gemacht habe.
LG
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Hallo liebe Forum Freunde
Wie müsste ich denn bei c) vorgehen?
Ich bedanke mich schon im Voraus.
MfG
Hasan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:39 So 23.11.2008 | | Autor: | plutino99 |
Liebe forum-freunde
mein ansatz:
[mm] c)\integral_{0}^{4}{f(\wurzel{x}) dx}=\bruch{16}{3}
[/mm]
Nur weiß ich jetzt nicht wie wie ich aus b) und c) das in Aufgabe d) stehende Grenzwert folgern soll,deshalb bitte ich euch um eure Hilfe.
Vielen Dank im Voraus
MfG
Hasan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:53 So 23.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
ueberleg mal, was du mit [mm] S_n [/mm] ausgerchnet hast fuer n gegen [mm] \infty [/mm] ? Vergleich es mit deinen 16/3
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:58 So 23.11.2008 | | Autor: | plutino99 |
erstmals danke für deine Hilfe
Nur leider verstehe ich nicht,wie ich es vergleichen soll.
MfG
hasan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:02 So 23.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nochmal: Was hast du denn mit [mm] S_n [/mm] ausgerechnet fuer grosse n? Was hast du mit dem Integral ausgerechnet.
Wenn du die frage schriftlich beantwortest, siehst dus vielleicht!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:10 So 23.11.2008 | | Autor: | plutino99 |
hallo
mit Sn habe ich ja gerechnet,wie es allgemein gilt und mit dem Integral habe ich ja den Flächeninhalt berechnet.jetzt weiß ich nicht wie ich mit dem Vergleich vorgehen soll.
MfG
Hasan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:58 So 23.11.2008 | | Autor: | plutino99 |
hallo
es geht um den aufgabenteil d),bin völlig ratlos
d)Folgere aus b) und [mm] c):\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\wurzel{1}+\wurzel{2}+.....+\wurzel{n}}{n*\wurzel{n}}=\bruch{2}{3}
[/mm]
Muss ich die Ergebnisse von b) und c) gleichsetzen oder auf welcher art und Weise vergleichen.
Vielen dank im voraus
MfG
Hasan
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hallo
es geht um den aufgabenteil d),bin völlig ratlos
d)Folgere aus b) und [mm] c):\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\wurzel{1}+\wurzel{2}+.....+\wurzel{n}}{n*\wurzel{n}}=\bruch{2}{3} [/mm]
Muss ich die Ergebnisse von b) und c) gleichsetzen oder auf welcher art und Weise vergleichen.
Vielen dank im voraus
MfG
Hasan
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Hallo Hasan,
Zuerst noch eine kleine Bemerkung zu c) : dort
sollte es in der Aufgabenstellung wohl heissen:
c)Zeige durch Symmetriebetrachtung, dass A
ebenfalls der Flächeninhalt der Fläche ist,
die vom Graphen der Funktion [mm] x\to x^2, [/mm] der
y-Achse und der Geraden mit y=4
im ersten Quadranten
eingeschlossen wird. Zeige,dass gilt: [mm] A=\bruch{16}{3}.
[/mm]
Statt die Wurzelfunktion zu integrieren, geht
es dann über die Integration der Funktion [mm] x\to x^2.
[/mm]
> es geht um den aufgabenteil d), bin völlig ratlos
>
> d) Folgere aus b) und c):
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\wurzel{1}+\wurzel{2}+.....+\wurzel{n}}{n*\wurzel{n}}=\bruch{2}{3}[/mm]
>
> Muss ich die Ergebnisse von b) und c) gleichsetzen ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Der Grenzwert [mm] \limes_{n\to\infty}\overline{S}_n [/mm] entspricht genau dem
Flächeninhalt A bzw. dem Wert des Integrals.
Wenn du dies gleichsetzt und die Gleichung
beidseitig durch 8 dividierst, solltest du genau
auf die gewünschte Gleichung kommen.
LG
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Erstmals vielen Dank für deine Hilfe
Würde das Gleichsetzen denn nun so aussehen:
[mm] \bruch{8}{n*\wurzel{n}}*\wurzel{k}=\bruch{16}{3} [/mm] /*8
MfG
Hasan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:43 So 23.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
das ist sicher falsch! wo ist die Summe geblieben? und wenn die da steht durch 8 teilen nicht mult.
Einfach auch mal noch die aufgabe ansehen, was du beweisen sollst!
gruss leduart
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hallo leduart
bin völlig ratlos.ich verstehe einfach nicht wie ich es zu gleichsetzen habe.Mir fehlt einfach der ansatz
ich bitte um eure hilfe.
vielen dank im voraus
MfG
hasan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:22 So 23.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. schreib dir noch mal die Aufgabe auf: was sollst du in d) zeigen.
2. was ist [mm] S_n [/mm] : Formel
2a) vergleiche 1 und 2
3. was berechnet [mm] S_n [/mm] fuer n gegen [mm] \infty
[/mm]
4. was weisst du ausserdem ueber den GW von [mm] S_n [/mm] direkt ausgerechnet.
5. dann hast du , was du willst.
Mach das wirklich in der Reihenfolge !
gruss leduart
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Erstmal danke für deine mühe
bei der Grenzwertbildung in d) stehen ja "n",muss ich dieses n mit einer bestimmten Zahl ersetzen??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:40 So 23.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die frage ist etwa ueberraschend! wie kann eine feste zahl gegen unendlich gehen?
du scheinst Schwierigkeiten mit dem Grenzwertbegriff zu haben. du hast doch [mm] S_4, S_8 [/mm] ausgerechnet, du koenntest die vorstellen [mm] S_{100} [/mm] oder [mm] S_{1000000} [/mm] auszurechnen (wenn auch was muehsam) das waer aber noch immer nicht genau das Integral, sondern nur immer genauer. deshalb ueberlegt man, was passiert wenn man n immer weiter vergroessert und nennt das dann ich lasse n gegen [mm] \infty [/mm] gehen, oder [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}.
[/mm]
Vorstellen kannst du dir ein riesiges n etwa [mm] 10^{1000000}
[/mm]
soll aber klar sein, dass es eigentlich auch da nicht aufhoert!
hast du jetzt wie von mir verlangt alles nochmal zusammengeschrieben und verstanden, was du da bewiesen hast?
Waer schoen du wuerdest es auch fuer andere hier nochmal zusammenfassen. dann merkst du auch selbst, ob es jetzt wirklich klar ist.
Gruss leduart
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Vielen dank für deine hilfe
Nun gehe ich vor wie du es mir empfohlen hast und erhalte dabei folgendes:
[mm] 1)\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel{1}+\wurzel{2}+...+\wurzel{n}}{n\wurzel{n}}=\bruch{2}{3} [/mm] .
2) $\ [mm] \overline{S}_n=\summe_{k=1}^{n}A_k=\summe_{k=1}^{n}\bruch{8}{n\wurzel{n}}*\wurzel{k}=\bruch{8}{n\wurzel{n}}*\summe_{k=1}^{n}\wurzel{k}$ [/mm]
2a)wenn ich die vergleiche fällt mir nur eins ein und zwar dass unter dem bruchstrich [mm] n*\wurzel{n} [/mm] steht.
3) [mm] \overline{S}n:dadurch [/mm] berechnen wir ja wie es allgemein für alle Zahlen gelten würde,die auch unendlich groß wären.
Nun fehlt mir aber der Punkt 4).da komme ich nicht weiter und somit kann ich den Punkt 5) auch nicht erreichen,halt was ich erreichen will.
mein ansatz für das gleichsetzen wäre nun:
[mm] \bruch{8}{n\wurzel{n}}=\bruch{(16/3)}{n*\wurzel{n}} /*n*\wurzel{n}
[/mm]
[mm] =\bruch{16}{3}=8 [/mm] / /8
[mm] =\bruch{2}{3}
[/mm]
oder ist das falsch??
MfG
Hasan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:04 So 23.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
gut, dass du das mal aufgeschrieben hast. Jetzt kann man deine schwierigkeiten deutlich sehen!> Vielen dank für deine hilfe
>
> Nun gehe ich vor wie du es mir empfohlen hast und erhalte
> dabei folgendes:
>
> [mm]1)\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel{1}+\wurzel{2}+...+\wurzel{n}}{n\wurzel{n}}=\bruch{2}{3}[/mm]
> .
>
> 2) [mm]\ \overline{S}_n=\summe_{k=1}^{n}A_k=\summe_{k=1}^{n}\bruch{8}{n\wurzel{n}}*\wurzel{k}=\bruch{8}{n\wurzel{n}}*\summe_{k=1}^{n}\wurzel{k}[/mm]
> 2a)wenn ich die vergleiche fällt mir nur eins ein und zwar
> dass unter dem bruchstrich [mm]n*\wurzel{n}[/mm] steht.
Offensichtlich kannst du nicht mit dem summenzeichen umgehen, [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] das grosse Zeichen heisst einfach "Summe" (ein grosses griechisches S)
die Zahlen darunter und daruber sagen, man soll bei dem , was dahinter steht nacheinander bei 1 angefangen fuer i nacheinander alle Zahlen einstzen, dazwischen ein + bis man n erreicht hat. (ob die zahl i oder k oder j heisst ist dabei egal.
Beispiele:
[mm] \summe_{i=1}^{n}i=1+2+3+.....+(n-1)+n
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{17}k^2=1+4+9+....+17^2
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n}\wurzel{k}=\wurzel{1}+\wurzel{2}+\wurzel{3}+....+\wurzel{n}
[/mm]
also genau das was in 1. steht! ( ausser dem Nenner und der 8.)
> 3) [mm]\overline{S}n:dadurch[/mm] berechnen wir ja wie es allgemein
> für alle Zahlen gelten würde,die auch unendlich groß
> wären.
richtig. ausserdem ist fuer grosse n ist [mm] S_n [/mm] beinahe gleich
[mm] \integral_{0}^{4}{\wurzel{x} dx} [/mm] fuer n gegen [mm] \infty [/mm] also gleich dem Integral
DESHALB [mm] gilt:\limes_{n\rightarrow\infty}S_n=\limes_{n\rightarrow\infty}8*\bruch{\wurzel{1}+\wurzel{2}+....+\wurzel{n}}{N*\wurzel{n}}=\integral_{0}^{4}{\wurzel{x} dx}=16/3 [/mm]
einige Zwischenergebnisse weggelassen steht da also :
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}8*\bruch{\wurzel{1}+\wurzel{2}+....+\wurzel{n}}{N*\wurzel{n}}=16/3
[/mm]
und das durch 8 dividiert ergibt die Behauptung!
> Nun fehlt mir aber der Punkt 4).da komme ich nicht weiter
> und somit kann ich den Punkt 5) auch nicht erreichen,halt
> was ich erreichen will.
>Ansatz für das gleichsetzen wäre nun:
>
> [mm]\bruch{8}{n\wurzel{n}}=\bruch{(16/3)}{n*\wurzel{n}} /*n*\wurzel{n}[/mm]
wenn du irgend ein n einsetzt siehst du dass das falsch war.
> [mm]=\bruch{16}{3}=8[/mm] / /8
> [mm]=\bruch{2}{3}[/mm]
>
> oder ist das falsch??
ja, s.o.
Was du hier gelernt hast, oder hoffentlich jetzt gelernt hast:
1. Integrale sind Grenzwerte von summen.
2. deshalb kann man manche "unendliche" summen dadurch ausrechnen, dass man Integrale auf andere Weise berechnen kann.
Ich hoffe, jetzt durchschaust du das besser!
Wenn einer von uns Zeichen wie das summenzeichen etwa verwendet und du das nicht verstehst, musst du das deutlich sagen!
Gruss leduart
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