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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:44 So 10.03.2013 | | Autor: | marie28 |
| Aufgabe | Gesucht ist der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse über dem Intervall I.
c) [mm] f(x)=(2-x)^2 [/mm] , I[1;3] |
Das ist doch eine binomische Formel.
Es ist ja immer A'(x)=f(x)
Wie komme ich denn jetzt auf A' ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:52 So 10.03.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Gesucht ist der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von
> f und der x-Achse über dem Intervall I.
>
> c) [mm]f(x)=(2-x)^2[/mm] , I[1;3]
> Das ist doch eine binomische Formel.
Das ist schonmal gut erkannt:
> Es ist ja immer A'(x)=f(x)
>
> Wie komme ich denn jetzt auf A' ?
>
Indem du eben mit jener binomischen Formel die Funktion umschreibst, und erst dann die Stammfunktion bildest.
Also:
[mm] \int\limits_{1}^{3}(2-x)^{2}dx=\int\limits_{1}^{3}4-4x+x^{2}dx
[/mm]
Nun bilde die Stammfunktion wie üblich.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:14 So 10.03.2013 | | Autor: | marie28 |
Ist das dann so richtig?
[mm] A_{1}(x)= 4x-2x^2+\bruch{1}{3}x^3+c
[/mm]
[mm] A_{1}(1)=0
[/mm]
[mm] A_{1}(1)=4-2+\bruch{1}{3}+c
[/mm]
[mm] c=-\bruch{7}{3}
[/mm]
[mm] A_{1}(x)=4x-2x^2+\bruch{1}{3}x^3-\bruch{7}{3}
[/mm]
[mm] A_{1}(3)=4(3)-2(3)^2+\bruch{1}{3}(3)^3-\bruch{7}{3}=\bruch{2}{3} [/mm] FE
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Hallo,
> Ist das dann so richtig?
>
> [mm]A_{1}(x)= 4x-2x^2+\bruch{1}{3}x^3+c[/mm]
> [mm]A_{1}(1)=0[/mm]
> [mm]A_{1}(1)=4-2+\bruch{1}{3}+c[/mm]
> [mm]c=-\bruch{7}{3}[/mm]
> [mm]A_{1}(x)=4x-2x^2+\bruch{1}{3}x^3-\bruch{7}{3}[/mm]
>
> [mm]A_{1}(3)=4(3)-2(3)^2+\bruch{1}{3}(3)^3-\bruch{7}{3}=\bruch{2}{3}[/mm]
> FE
Dein Ergebnis ist richtig, aber dein Aufschrieb ist ehrlich gesagt katastrophal. Daher hier mal zwei Vorschläge, wie man das besser machen kann:
[mm] A=\integral_{1}^{3}{(2-x)^2 dx}
[/mm]
[mm] =\integral_{1}^{3}{(4-4x+x^2) dx}
[/mm]
[mm] =\left[4x-2x^2+\bruch{x^3}{3}\right]_1^3
[/mm]
[mm] =\left(4*3-2*3^2+\bruch{3^3}{3}\right)-\left(4*1-2*1^2+\bruch{1^3}{3}\right)
[/mm]
.
.
[mm] =\bruch{2}{3}FE
[/mm]
Eine Alternative, welche die Rechnung sehr stark vereinfacht, wäre die, auszunutzen, dass hier eine Verkettung mit linearer innerer Funktion vorliegt. Das habt ihr vermutlich schon besprochen, dass man in diesem Fall beim Integrieren die äußere Funktion integrieren und noch durch die innere Ableitung dividieren kann. Das würde so aussehen:
[mm] A=\integral_1^3 {(2-x)^2 dx}
[/mm]
[mm] =\left[-\bruch{1}{3}*(2-x)^3\right]_1^3
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{3}+\bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] =\bruch{2}{3}FE
[/mm]
PS: ich erlaube mir nochmals den Hinweis, dass du unbedingt beachten solltest, dass in dem Integrationsintervell der Integrand [mm] (2-x)^2 [/mm] eine Nullstelle besitzt. Da diese Nullstelle eine doppelte Nullstelle ist und der Integrand dort somit keinen Vorzeichenwechsel aufweist, darf man sie vernachlässigen. Sonst müsstest du hier mit zwei Intergalen arbeiten!
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:55 So 10.03.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
Vorsicht ist die Mutter der Porzellankiste sagt man ja, und Nullstellen sind sozuagen die Porzellankisten der Integralrechnung, oder so ähnlich. 
Man kann hier tatsächlich, wie von M.Rex vorgeschlagen, von 1 bis 3 integrieren. Beachte aber, dass bei x=2 der Integrand eine Nullstelle hat und mache dir klar, weshalb diese hier (ausnahmsweise) nicht zu beachten ist!
Gruß, Diophant
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