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| Aufgabe | Der Querschnitt einer oben offenen Rinne ist ein gleichschenkliges Trapez mit BC=6,8dm und CD=BE=4,0dm (siehe Skizze).
a) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Querschnitts für den Fall, dass DE=12,8dm beträgt!
b) Berechnen Sie x für den Fall, dass der Flächeninhalt des Querschnitts maximal wird (auf den Nachweis des Maximums wird verzichtet).
c) Berechnen Sie diesen maximalen Flächeninhalt. |
Hallo,
also Aufgabe a) habe ich schon. Ist laut Lösung auch richtig. [mm] A=25,9dm^{2}
[/mm]
Was ist denn mit Aufgabe b) gemeint? Ich weiß nicht, was damit gemeint ist
(Ich habe diese Aufgabe auf einem Zettel mit Vektoren stehen.)
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Der Querschnitt einer oben offenen Rinne ist ein
> gleichschenkliges Trapez mit BC=6,8dm und CD=BE=4,0dm
> (siehe Skizze).
> b) Berechnen Sie x für den Fall, dass der Flächeninhalt
> des Querschnitts maximal wird (auf den Nachweis des
> Maximums wird verzichtet).
Hallo,
dies ist eine Extremwertaufgabe.
Stelle zunächst den Flächeninhalt A des Querschnittes in Abhängigkeit von x dar.
Dazu mußt Du wissen, daß die untere Parallele 6.8dm, die obere (6.8+2x)dm lang ist.
Drücke auch die Höhe des Trapezes in Abhängigkeit von x aus.
Dann nimmst Du die Formel für die trapezberechnung und schreibst
A(x)=....
Diese Funktion ist nun zu optimieren.
LG Angela
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A(x)=(6,8+x)* [mm] \wurzel{16-x^{2}}
[/mm]
[mm]A'(x)= 16-6,8x-2x^{2}*(16-x^{2})^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
A'(x)=0
[mm] -2x^{2}-6,8+16=0
[/mm]
[mm] x_{1}=1,6
[/mm]
[mm] x_{2}=-5
[/mm]
so bis hierhin erstmal. ich habe eine musterlösung dazu, die sagt an dieser stelle:
[mm] x_{1} [/mm] entfällt da 6,8 + 2* (-5) <0 ... ich habe in meinen aufzeichnungen nirgends ein 6,8+2x stehen! woher kommt das? warum entfällt diese Extremstelle?
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Hallo Andi,
> A(x)=(6,8+x)* [mm]\wurzel{16-x^{2}}[/mm]
da ist dir gleich zu Beginn ein Fehler unterlaufen: es muss in der Klammer 3.4+x heißen. Ist dir klar, weshalb?
Deine weitere Vorgehensweise scheint richtig zu sein, aber mit falschen Zahlen bringt das natürlich nichts.
Gruß, Diophant
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Für das Trapez gilt doch aber:
[mm]a=BC[/mm]
[mm]c=DE=2x+BC[/mm]
[mm]h= \wurzel{(BE)^{2}-x^{2}}[/mm]
[mm] A=\bruch{1}{2}(a+c)*h
[/mm]
[mm] A=\bruch{1}{2}(2BC+2x)*\wurzel{(BE)^{2}-x^{2}} [/mm] = [mm] (6,8+x)*\wurzel{16-x^{2}}
[/mm]
Danach folgt die Ableitung, pq-Formel, [mm] x_{1}=1,6, x_{2}=-5. [/mm]
Da ein Maximum (Hochpunkt) an der Stelle x gesucht wird, würde ich diese Extremstellen in die zweite Ableitung einsetzen und dort habe ich folgendes raus:
[mm]A''(1,6)<0[/mm] (Hochpunkt!)
[mm]A''(-5) = \bruch{13,2}{\wurzel{-9}}[/mm] ... weiter habe ich gar nicht gerechnet. Für x=-5 ist diese Funktion nicht definiert. Keine Extremstelle. Korrigiert mich bitte wenn ich falsch liege.
Mir ist gerade ein Licht aufgegangen: [mm] x_{2}=-5 [/mm] ist als ungültig erklärt, weil die Strecke [mm]DE=2x+6,8[/mm] mit x=-5 kleiner als 0 wäre. Eine negative Strecke ist also in jedem Fall ungültig/falsch? Mein Beweis dass x=-5 nicht definiert ist, geht aber auch oder?
(ich habe zur Verdeutlichung meine Aufzeichnungen beigefügt. Dort ist auch das Trapez nochmal zu sehen ganz oben).
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo Andi,
> Für das Trapez gilt doch aber:
>
> [mm]a=BC[/mm]
> [mm]c=DE=2x+BC[/mm]
> [mm]h= \wurzel{(BE)^{2}-x^{2}}[/mm]
>
> [mm]A=\bruch{1}{2}(a+c)*h[/mm]
> [mm]A=\bruch{1}{2}(2BC+2x)*\wurzel{(BE)^{2}-x^{2}}[/mm] =
> [mm](6,8+x)*\wurzel{16-x^{2}}[/mm]
Asche auf mein Haupt: ja, das ist so richtig, war ein Denkfehler meinerseits.
> Danach folgt die Ableitung, pq-Formel, [mm]x_{1}=1,6, x_{2}=-5.[/mm]
Deine weitere Rechnung ist, woeit ich sehe, komplett richtig. Die Lösung x=-5 ist eine Scheinlösung, sie spielt auf das Problem bezogen keine Rolle. Und den Nachweis, dass bei x=1.6 ein Maximum vorliegt, den kann man natürlich machen, aber das steht ja in der Aufgabenstellung, dass er nicht verlangt wird.
Also sorry nochmal für meinen Fehler. 
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:50 Sa 28.07.2012 | | Autor: | Mathe-Andi |
Kein Problem
Ich danke vielmals für die Hilfe!
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