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Forum "Schul-Analysis" - Flächeninhalt berechnen
Flächeninhalt berechnen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Flächeninhalt berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:09 Fr 16.12.2005
Autor: Janni

Aufgabe
[mm] $f_t [/mm] : x [mm] \mapsto f_t(x)= \bruch{1}{8}t*x^{3}-1,5t*x^{2}+4,5t*x$, $t\in\IR^+$ [/mm]

Jeder Graph der Funktionenschar schließt mit der x-Achse eine Fläche A ein.
Berechnen Sie die Maßzahl dieses Flächeninhalts.
Für welchen Wert $t$ hat der Inhalt die Größe $A=9$?

Hallo,

ich habe diese Funktionenschar ft mit t  [mm] \in [/mm] R+ gegeben:
ft : X  [mm] \to [/mm] ft(x)=  [mm] \bruch{1}{8}t*x^{3}-1,5t*x^{2}+4,5t*x. [/mm]

Ich soll nun die ja Maßzahl des Flächeninhalts berechnen. Ich weiss nur leider nicht, wie ich anfangen soll.
Man braucht ja, wenn man den Flächeninhalt ausrechnen möchte, die Schnittpunkte. Aber wie kriege ich diese raus, oder habe ich die vorher schon ausgerechnet, durch Nullstellen oder Extremwerte?
Die Stammfunktion benötige ich doch auch, oder?

Es wäre super, wenn mir jemand Ansätze geben könnte, wie und wo ich überhaupt anfangen muss.
Ich werde nämlich nicht so wirklich schlau aus der Aufgabe.

Vielen Dank im Voraus


        
Bezug
Flächeninhalt berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:00 Fr 16.12.2005
Autor: Karl_Pech

Hallo Janni,


> Jeder Graph der Funktionenschar schließt mit der x-Achse
> eine Fläche A ein.

> Berechnen Sie die Maßzahl dieses Flächeninhalts.
> Für welchen Wert $t$ hat der Inhalt die Größe $A = 9$?

> ich habe diese Funktionenschar [mm] $f_t$ [/mm] mit [mm]t \in \mathbb{R}^+[/mm] gegeben:
>  [mm]f_t\left(x\right) := \frac{1}{8}tx^{3} - 1.5tx^{2} + 4.5tx[/mm]


Also das Bestimmen der Nullstellen ist schonmal eine gute Idee.


Eine solche Nullstelle ist ja schon für $x = 0$ gegeben. Betrachten wir also die Gleichung:


[mm] $\frac{1}{8}tx^2 [/mm] - 1.5tx + 4.5t = 0 [mm] \mathop \Leftrightarrow ^{\substack{\text{Multiplikation auf}\\\text{beiden Seiten mit }\frac{8}{t}}} x^2 [/mm] -12x +36 = 0$


Jetzt könnte man hier instinktiv :-) mit der p/q-Formel weitermachen. Hier fällt einem aber etwas auf:


[mm] $x^2 [/mm] - [mm] 2\cdot{6\cdot{x}} [/mm] + [mm] 6^2 \mathop =^{\begin{subarray}{l}\text{2te binomische}\\\text{Formel}\end{subarray}} \left(x-6\right)^2$. [/mm] Also ist die zweite Nullstelle [mm] $x_1 [/mm] = 6$.


Damit hätten wir nun die Integrationsgrenzen der von [mm] $f_t$ [/mm] eingeschlossenen Fläche gefunden. Wir müssen also folgendermaßen integrieren:


[mm]\int\limits_{0}^{6}{f_t\left(x\right)\mathrm{d}x}[/mm]


[sorry] Aber ich muß jetzt aufhören, aber Du kannst hier einfach summandenweise integrieren. Wenn Du dann die Integrationsgrenzen einsetzt, erhälst Du einen schönen Wert. Wähle t so, daß sich der entstandene Bruch auf 9 kürzt.


Kommst Du damit weiter?


Viele Grüße
Karl
[user]




Bezug
                
Bezug
Flächeninhalt berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:45 Fr 16.12.2005
Autor: Janni

Hallo Karl,


vielen Dank für die schnelle Antwort. Das hat mir sehr geholfen, weil ich die Aufgabe jetzt lösen kann.
Viele Grüße

Bezug
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