Flächeninhalt eines Dreiecks < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:43 Mo 20.03.2006 | | Autor: | andi-w |
| Aufgabe | Die 5cm lange Strecke [AB] mit A(0|3) und B(4|0) ist die gemeinsame Grundlinie von Dreiecken ABCn, die alle einen Flächeninhalt von 4 FE besitzen.
Gesucht ist die Gleichung des geometrischen Ortes der Punkte Cn.
Lösung:
A= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \begin{vmatrix}
x-4 & -4 \\
y & 3
\end{vmatrix} [/mm] FE
A= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * (4y+3x-12) FE
Mit A = 4 FE erhalten wir:
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] * (4y+3x-12) = 4 [mm] \gdw [/mm] y = - [mm] \bruch{3}{4} [/mm] x +5
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
^^Dies ist eine Beispiel-Aufgabe aus meinem Mathebuch.
Eigentlich verstehe ich das mit den Vektoren in der Determinante, aber:
1. Wieso steht der Vektor [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] 'andersrum' in der Determinante bzw. wieso ist der Vektor von B zu A und nicht umgekehrt?
[mm] \vektor{-4 \\ 3} [/mm] und nicht [mm] \vektor{4 \\ -3}
[/mm]
2. Wie kommt man auf die 'Vektor-Werte' der Geraden g (auf der Cn) liegen soll (x-4 | y)
A= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \begin{vmatrix}
x-4 & -4 \\
y & 3
\end{vmatrix} [/mm] FE
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:03 Mo 20.03.2006 | | Autor: | Fugre |
> Die 5cm lange Strecke [AB] mit A(0|3) und B(4|0) ist die
> gemeinsame Grundlinie von Dreiecken ABCn, die alle einen
> Flächeninhalt von 4 FE besitzen.
> Gesucht ist die Gleichung des geometrischen Ortes der
> Punkte Cn.
>
> Lösung:
>
> A= [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * [mm]\begin{vmatrix}
x-4 & -4 \\
y & 3
\end{vmatrix}[/mm] FE
>
> A= [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * (4y+3x-12) FE
>
> Mit A = 4 FE erhalten wir:
>
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * (4y+3x-12) = 4 [mm]\gdw[/mm] y = - [mm]\bruch{3}{4}[/mm] x +5
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> ^^Dies ist eine Beispiel-Aufgabe aus meinem Mathebuch.
>
> Eigentlich verstehe ich das mit den Vektoren in der
> Determinante, aber:
>
> 1. Wieso steht der Vektor [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] 'andersrum'
> in der Determinante bzw. wieso ist der Vektor von B zu A
> und nicht umgekehrt?
> [mm]\vektor{-4 \\ 3}[/mm] und nicht [mm]\vektor{4 \\ -3}[/mm]
>
> 2. Wie kommt man auf die 'Vektor-Werte' der Geraden g (auf
> der Cn) liegen soll (x-4 | y)
>
> A= [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * [mm]\begin{vmatrix}
x-4 & -4 \\
y & 3
\end{vmatrix}[/mm] FE
>
>
Hallo Andi,
also wenn du den Vektor $ [mm] \overrightarrow{AB}$ [/mm] berechnen willst, machst du es, indem du rechnest:
[mm] $\vec [/mm] b - [mm] \vec [/mm] a$
Für den Flächeninhalt eines Dreiecks gilt:
[mm] $A=\frac{1}{2}|\vec [/mm] a [mm] \times \vec [/mm] b|$
Wobei wir hier als $ [mm] \overrightarrow{AB}$ [/mm] als [mm] $\vec [/mm] a$ und $ [mm] \overrightarrow{BC_n}$ [/mm] als [mm] $\vec [/mm] b$ bestimmen.
Außerdem sagen wir der Punkt [mm] $C_n$ [/mm] habe die Koordinaten $x$ und $y$, so erhalten wir:
$ [mm] \overrightarrow{AB}=\vec [/mm] b - [mm] \vec [/mm] a= [mm] \vektor{4-0 \\ 0-3}$ [/mm] und $ [mm] \overrightarrow{BC_n}=\vec c_n [/mm] - [mm] \vec [/mm] b= [mm] \vektor{x-4 \\ y-0}$
[/mm]
In der Flächenformel:
[mm] $A=\frac{1}{2}|\vektor{4 \\ -3} \times \vektor{x-4 \\ y}|$
[/mm]
bzw.
[mm] $A=\bruch{1}{2}*\begin{vmatrix} (x-4) & -4 \\ y & 3 \end{vmatrix}=\frac{1}{2}*[(x-4)*3-(-4)*y]=\frac{1}{2}*[3x-12+4y]=1,5x+2y-6=4$ [/mm]
Gruß
Nicolas
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