Flächeninhalt von Dreiecken < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:03 Mo 28.07.2014 | | Autor: | begker1 |
| Aufgabe | Eine Gerade k schneidet eine Gerade g in einem Punkt S.
Ein Punkt R auf der Geraden g und ein Punkt T auf der Geraden ksollen mit dem Punkt S ein gleichschenkliges Dreieck mit vorgegebenem Flächeninhalt bilden.
Begründen Sie, dass die Längen der Dreiecksseiten nicht eindeutig festgelegt sind, wenn sich die Geraden g und k nicht rechtwinklig schneiden. |
Ich habe mir den Sachverhalt mehrmals skizziert. Warum sollte man die Punkte T und R denn nicht finden können? Es kann doch nur ein einziges Dreieck STR mit einem bestimmten Winkel bei S geben, welches eine bestimmte Fläche einschließt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:59 Mo 28.07.2014 | | Autor: | weduwe |
idee: man (ver)schiebe und/oder (ver)drehe das zeug so, dass gilt
S(0/0), R(r/0)
dann gilt mit |ST| = |SR| = r
für die fläche
[mm]A=\frac{1}{2}\cdot r^2\cdot sin\alpha[/mm]
was offensichtlich nur für ein rechtwinkeliges 3eck mit [mm] \alpha=\frac{\pi}{2} [/mm] eindeutig ist
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:24 Mo 28.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> idee: man (ver)schiebe und/oder (ver)drehe das zeug so,
Na, mit "zeug" wird die Sache ja plötzlich ganz klar und eindeutig 
> dass gilt
> S(0/0), R(r/0)
> dann gilt mit |ST| = |SR| = r
Wozu? Du verwendest das doch danach nicht mehr. Ist daher nur verwirrend.
>
> für die fläche
>
> [mm]A=\frac{1}{2}\cdot r^2\cdot sin\alpha[/mm]
Nicht unbedingt. Du unterstellst, dass S der gemeinsame Punkt der gleich langen Dreiecksseiten ist, aber das ist nicht zwangsläufig so. Da gibt es noch eine dritte Lösungsmöglichkeit (wie in meiner Antwort näher erläutert), welche du nicht bedacht hast. Außerdem fehlt die Angabe, welchen Winkel du mit [mm] \alpha [/mm] bezeichnest. Genau das ist aber das Wesentliche. Für die beiden Geraden gibt es ja gerade zwei Möglichkeiten, den Schnittwinkel und damit Scheitelwinkel des Dreiecks festzulegen. Das sollte schon auch angegeben werden, ehe man auf die diesbezügliche Eindeutigkeit im Falle eines rechten Winkels hinweist.
>
> was offensichtlich nur für ein rechtwinkeliges 3eck mit
> [mm]\alpha=\frac{\pi}{2}[/mm] eindeutig ist
Ja, und jetzt fehlt nur noch die (recht einfache) Begründung, dass die dritte von mir angegebene Lösungsmöglichkeit für [mm] $\alpha=\frac{\pi}{2}$ [/mm] nicht existiert.
RMix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:09 Mo 28.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Eine Gerade k schneidet eine Gerade g in einem Punkt S.
> Ein Punkt R auf der Geraden g und ein Punkt T auf der
> Geraden ksollen mit dem Punkt S ein gleichschenkliges
> Dreieck mit vorgegebenem Flächeninhalt bilden.
> Begründen Sie, dass die Längen der Dreiecksseiten nicht
> eindeutig festgelegt sind, wenn sich die Geraden g und k
> nicht rechtwinklig schneiden.
> Ich habe mir den Sachverhalt mehrmals skizziert. Warum
> sollte man die Punkte T und R denn nicht finden können? Es
> kann doch nur ein einziges Dreieck STR mit einem bestimmten
> Winkel bei S geben, welches eine bestimmte Fläche
> einschließt.
Nun, es gibt, wenn die beiden Geraden einander nicht rechtwinkelig schneiden, mehrere Möglichkeiten, ein gleichschenkeliges Dreieck mit gegebenen Flächeninhalt auf die beschriebene Art und Weise zu konstruieren.
Wenn wir annehmen, dass die beiden gleichen Seiten ST und SR sind, so gibt es eine Lösung im spitzwinkeligen Sektor und eine andere im stumpfwinkeligen.
Außerdem existiert noch eine weitere Lösung im spitzwinkeligen Sektor, dei dem entweder [mm] \overline{SR}=\overline{RT} [/mm] oder aber auch [mm] \overline{ST}=\overline{TR} [/mm] gilt. Geht es also nur um die Längen der Dreieckseiten, so gibt es hier drei unterschiedliche Lösungen.
RMix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:59 Mi 30.07.2014 | | Autor: | begker1 |
Ja, das leuchtet mir ein. Ich danke euch!
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