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Forum "Integralrechnung" - Flächenintegral
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Flächenintegral: Frage zu Flächenintegral
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:19 Mo 09.06.2008
Autor: zadic

Aufgabe
k1: y²=3x, k2: 2y²=9*(x-1)  s1[x/y>0]
Die beiden Kurven k1 und k2 begrenzen ein Flächenstück, dessen Inhalt zu berechnen ist. Ermitteln Sie weiters das Volumen jenes Drehkörpers, der bei der Rotation dieses Flächenstückes um die x-Achse entsteht . Im schnittpunkt s1 der beiden Kurven wird an K1 die Normal erichtet. In welchem Punkt schneidet diese Normal die x-Achse?

Hallo,
Ich hoffe es kann mir jemand helfen und zwar, komme ich nicht auf das Flächenintegral entweder leite ich falsch ab oder ich einen komplett falschen Ansatz und der Schnittpunkt macht mir auch Probleme. Grafisch habe ich in ermittelt( x=4,5) doch rechnerische klappt es nicht. Das Volumsintegral war kein Problem (V=4,5*pi).
Wäre super wenn mir jemand helfen könnte.
lg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
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Flächenintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:50 Mo 09.06.2008
Autor: fred97

Ich habe heraus,dass sich die beiden Kurven in den Punkten (3|3) und (3|-3) schneiden.
Wie kommst Du auf das Volumen ?
FRED

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Flächenintegral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:12 Mo 09.06.2008
Autor: zadic

[mm] V=\pi*\integral_{0}^{3}{f(3x) dx} [/mm] - [mm] (9/2*\pi*\integral_{1}^{3}{f(x-1) dx} [/mm]

[mm] V=\pi*3x²/2 [/mm] - [mm] (9/2*\pi(x²/2-x) [/mm]
Grenzen jetzt nur noch die grenzen einsetzen, denn kommt
[mm] \pi*13,5 [/mm] - [mm] (9/2*\pi(1,5-(-0,5) =4,5\pi [/mm]

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Flächenintegral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:35 Mo 09.06.2008
Autor: fred97

Es ist alles O.K., wenn Du in beiden Integralen noch das "f"  enfernst.


FRED

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Flächenintegral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:03 Mo 09.06.2008
Autor: zadic

Erst mal danke für deine Hilfe.
Doch das Problem war ja nicht das Volumsintegral sonder die Fläche. Die Fläche von dem Integral ist A=4 davon habe ich die Lösung. doch egal was ich mache ich komme einfach nicht auf die Lösung.
Ich hatte den denn Ansatz k2-k1(Integration von [mm] (3x)^1/2 [/mm] - [mm] (9(x-1)/2)^1/2) [/mm] in den grenzen(0-3) und (1-3) nur bekomme ich zu hohe summen heraus.
Ich bin mir nicht sich ob ich richtig integriere( mit inneren Ableitung?)

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Flächenintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:33 Mo 09.06.2008
Autor: Al-Chwarizmi

Zur Flächenberechnung:

Hast du dir eine Zeichnung gemacht?

Daraus ist erkennbar, dass die Flächenberechnung
so vonstatten geht:

          [mm] F=2*\left(\integral_0^3{y_1(x)\ dx} -\integral_1^3{y_2(x)\ dx}\right) [/mm]


al-Chwarizmi

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Flächenintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:54 Mo 09.06.2008
Autor: Tyskie84

Hi,

Wir haben [mm] y^{2}=3x [/mm] und [mm] 2\cdot\\y^{2}=9(x-1) [/mm]  

Zuerst schreiben wir [mm] y_{1}=\wurzel{3x} [/mm] und [mm] y_{2}=\wurzel{\bruch{9x-9}{2}}. [/mm]

Der Schnittpunkt beider Funktionen ist auch leicht auszurechnen. [mm] y_{1}=y_{2} [/mm] dann solltest du nach dem quadrieren auf [mm] \\x=3 [/mm] kommen.

Zu berechnen ist nun das Integral:

[mm] \integral_{0}^{3}{\wurzel{3x}-\wurzel{\bruch{9x-9}{2}} dx} [/mm] Jetzt ziehen wir die [mm] \blue{Konstanten} [/mm] vors Integral dann haben wir:

[mm] \wurzel{3}\cdot\integral_{0}^{3}{\wurzel{x} dx}-\bruch{1}{\wurzel{2}}\cdot\integral_{0}^{3}{\wurzel{9x-9} dx} [/mm]

Das erste Integral sollest du einfach integrienen können :-) Kümmern wir uns mal ums zweite...

Darin substituieren wir [mm] \\z=9x-9 \bruch{dz}{dx}=9 \gdw \\dx=\bruch{dz}{9} [/mm] Dann haben wir noch [mm] -\bruch{1}{9\cdot\wurzel{2}}\cdot\integral_{-9}^{18}{\wurzel{z} dz} [/mm] zu integrieren. Das sollte sich auch einfach integrieren lassen :-) Versuch es mal. Am Ende hast du eine Stammfunktion für [mm] \\y [/mm] gefunden und die Fläche ist [mm] \\A=2 [/mm] dann das Ergebnis quadrieren und und du bekommst Die Fläche zwischen [mm] y_{1}^{2} [/mm] und [mm] y_{2}^{2} [/mm] heraus nämlich [mm] \\A=4 [/mm]

[hut] Gruß

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Flächenintegral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:08 Mo 09.06.2008
Autor: zadic

Vielen Danke das zweite integral hat mir Kopfzerbrechen bereitet, aber das sieht super aus.

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