Flächenintegral 1.Art < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:45 Do 05.02.2009 | | Autor: | BlubbBlubb |
| Aufgabe | Man berechne das Flächenintegral [mm] \integral_S [/mm] f dS über das Flächenstück S des Paraboloids z= [mm] 2-x^2-y^2, [/mm] das sich oberhalb der (x,y)-Ebene befindet, für die folgenden Funktionen f:S -> |R:
f(x,y,z):=1 |
Flächenintegral 1.Art:
[mm] \integral_S [/mm] f dS = [mm] \integral \integral_K [/mm] f( [mm] \gamma(r,\phi)) [/mm] * [mm] |N_\gamma [/mm] | dr [mm] d\phi
[/mm]
einige beobachtungen von mir :
0 [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] 2
[mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = [mm] r^2
[/mm]
[mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = 2-z
[mm] r^2 [/mm] = 2-z
[mm] r=\wurzel{2-z}
[/mm]
nun weiter:
K={ (x,y,z) [mm] \in R^3 [/mm] | z = 2 - [mm] x^2 -y^2 [/mm] , z [mm] \le [/mm] 0}
K={ ( [mm] rcos(\phi) [/mm] , [mm] rsin(\phi), [/mm] z ) [mm] \in R^3 [/mm] | 0 [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] 2 , r = [mm] \wurzel{2-z}, [/mm] 0 [mm] \le \phi [/mm] \ le [mm] 2\pi [/mm] }
das sind einige gedankengänge von mir.
genau genommen weiß ich selbst noch nicht so genau was ich mache, ich versuche mich grad stückweise vorzurobben.
es würde mir erstmal sehr helfen wenn ihr mir sagen würdet wie ich an die parametrisierung [mm] \gamma [/mm] komme die in der formel verlangt wird
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| Aufgabe | Man berechne das Flächenintegral [mm]\integral_S[/mm] f dS über das Flächenstück S
des Paraboloids z= [mm]2-x^2-y^2,[/mm] das sich oberhalb der (x,y)-Ebene befindet,
für die folgende Funktion f:S -> [mm] \IR: [/mm] f(x,y,z):=1 |
Mit anderen Worten ist also einfach der Flächen-
inhalt der Paraboloid-Kappe gesucht ?
> Flächenintegral 1.Art:
>
> [mm]\integral_Sf dS = \integral \integral_K f( \gamma(r,\phi))* |N_\gamma|\ dr\ d\phi[/mm]
>
> einige Beobachtungen von mir :
> 0 [mm]\le z \le[/mm] 2
>
> [mm]x^2+y^2\ =\ r^2[/mm]
>
> [mm]x^2+y^2\ =\ 2-z [/mm]
>
> [mm]r^2\ =\ 2-z[/mm]
>
> [mm]r\ =\ \wurzel{2-z}[/mm]
>
>
> nun weiter:
>
> $\ [mm] K=\{ (x,y,z) \in \IR^3\ |\ z\ =\ 2 - x^2 -y^2, z \le 0\}$
[/mm]
>
> $\ [mm] K=\{ ( r*cos(\phi), r*sin(\phi),\,z )\in \IR^3\ |\ 0 \le z \le 2 ,\ r = \wurzel{2-z}\,,\ 0\le \phi \le 2*\pi \}$ [/mm]
>
> das sind einige Gedankengänge von mir.
>
> genau genommen weiß ich selbst noch nicht so genau was ich
> mache, ich versuche mich grad stückweise vorzurobben.
>
> es würde mir erstmal sehr helfen wenn ihr mir sagen würdet
> wie ich an die parametrisierung [mm]\gamma[/mm] komme die in der
> formel verlangt wird
Die hast du ja im Wesentlichen schon beisammen:
$\ [mm] x=r*cos(\phi)$
[/mm]
$\ [mm] y=r*sin(\phi)$
[/mm]
$\ [mm] z=2-x^2-y^2$ [/mm] (hier x und y durch r und [mm] \phi [/mm] darstellen, wird ganz einfach !)
Der nächste Schritt ist die Bestimmung des Normalen-
Vektors N.
LG
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