Flitzi und Herr Meyer < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:22 Mo 03.06.2013 | | Autor: | kRAITOS |
| Aufgabe | Flitzi, der Hund des Herrn Meyer, hat eine kleine Macke: Stets, wenn er mit Herrchen vom Spaziergang
zurückkommt und die 400 m vom Haus entfernte Straßenecke erreicht, flitzt er auf direktem Weg bis
zur Haustür vor, macht sofort kehrt und rennt zu Herrchen zurück. Herr Meyer legt in der Zwischenzeit
jedesmal 25 Prozent der restlichen Entfernung zu seinem Haus zurück
(Beispiel: Wenn Flitzi das erste Mal zurückkommt, hat Herr Meyer bereits 100 m geschaff t). Bei Herrn Meyer angekommen, dreht Flitzi sofort wieder um, rennt im Hundetempo wieder zur Haustür, macht hier wieder kehrt usw. Flitzi eilt
nun auf diese Weise zwischen Herrchen und Haus hin und her, bis Herr Meyer endlich bei der Haustür
angelangt ist.
Welchen Gesamtweg hat Flitzi am Ende seiner Hin- und Her-Rennerei insgesamt zurückgelegt? Benutzen
Sie zur Berechnung konvergente Reihen. Wie könnte man anschließend Schüler von der Richtigkeit der
Berechnung überzeugen? |
Hallo.
Also ohne Folge würde der Hund einen Gesamtweg von insgesamt 1600m zurücklegen.
Zuerst rennt der Hund 400m zum Haus und 300 Meter wieder zurück, da sich Herr Meyer ja in 4 25%-Schritten seinem Haus nähert.
Dann rennt der Hund 300 Meter zum Haus und 200 Meter wieder zurück, dann rennt der Hund 200 Meter und 100 Meter wieder zurück und dann kann der Hund ja nur noch 100 Meter zum Haus rennen beim letzten Mal, da ja Herr Meyer beim 4ten Mal auch beim Haus ankommt.
Hier muss also eine Folge konstruiert werden für den Hund und der Grenzwert der Folge soll -> 0 gehen.
Jetzt überlege ich, ob die Folge 4 Glieder hat oder 7 oder sogar 8.
3 Werte sind ja hier doppelt...
400m zum Haus
300m zu Herr Meyer
300m zum Haus
200m zu Herr Meyer
200m zum Haus
100m zu Herr Meyer
100m zum Haus
0m zu Herr Meyer
Wie konstruiere ich eine passende Folge für diese Aufgabe?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:45 Mo 03.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> Flitzi, der Hund des Herrn Meyer, hat eine kleine Macke:
> Stets, wenn er mit Herrchen vom Spaziergang
> zurückkommt und die 400 m vom Haus entfernte
> Straßenecke erreicht, flitzt er auf direktem Weg bis
> zur Haustür vor, macht sofort kehrt und rennt zu Herrchen
> zurück. Herr Meyer legt in der Zwischenzeit
> jedesmal 25 Prozent der restlichen Entfernung zu seinem
> Haus zurück
> (Beispiel: Wenn Flitzi das erste Mal zurückkommt, hat Herr
> Meyer bereits 100 m geschaff t). Bei Herrn Meyer
> angekommen, dreht Flitzi sofort wieder um, rennt im
> Hundetempo wieder zur Haustür, macht hier wieder kehrt
> usw. Flitzi eilt
> nun auf diese Weise zwischen Herrchen und Haus hin und
> her, bis Herr Meyer endlich bei der Haustür
> angelangt ist.
> Welchen Gesamtweg hat Flitzi am Ende seiner Hin- und
> Her-Rennerei insgesamt zurückgelegt? Benutzen
> Sie zur Berechnung konvergente Reihen. Wie könnte man
> anschließend Schüler von der Richtigkeit der
> Berechnung überzeugen?
> Hallo.
>
> Also ohne Folge würde der Hund einen Gesamtweg von
> insgesamt 1600m zurücklegen.
>
> Zuerst rennt der Hund 400m zum Haus und 300 Meter wieder
> zurück, da sich Herr Meyer ja in 4 25%-Schritten seinem
> Haus nähert.
> Dann rennt der Hund 300 Meter zum Haus und 200 Meter
> wieder zurück, dann rennt der Hund 200 Meter und 100 Meter
> wieder zurück und dann kann der Hund ja nur noch 100 Meter
> zum Haus rennen beim letzten Mal, da ja Herr Meyer beim
> 4ten Mal auch beim Haus ankommt.
>
> Hier muss also eine Folge konstruiert werden für den Hund
> und der Grenzwert der Folge soll -> 0 gehen.
>
> Jetzt überlege ich, ob die Folge 4 Glieder hat oder 7 oder
> sogar 8.
> 3 Werte sind ja hier doppelt...
>
> 400m zum Haus
> 300m zu Herr Meyer
> 300m zum Haus
> 200m zu Herr Meyer
Hier hast Du einen Denkfehler !
In der Aufgabe steht: "Herr Meyer legt in der Zwischenzeit
jedesmal 25 Prozent der restlichen Entfernung zu seinem Haus zurück "
Flitzi rennt also nicht 200m zu Hernn Meyer zurück, sondern 300m [mm] -\bruch{300}{4} [/mm] m = 225 m.
FRED
> 200m zum Haus
> 100m zu Herr Meyer
> 100m zum Haus
> 0m zu Herr Meyer
>
>
> Wie konstruiere ich eine passende Folge für diese Aufgabe?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:41 Di 04.06.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Oh ja... Da hab ich echt nen Denkfehler gehabt.
Dann sieht die Folge ja wie folgt aus:
400m, 300m, 225m, [mm] \bruch{675}{4}, \bruch{2025}{16}...
[/mm]
Jetzt habe ich trotzdem das Problem mit dem Bilden einer Reihe... Gibt es dafür irgendwelche Tricks, dass einem das leichter fällt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:15 Mi 05.06.2013 | | Autor: | abakus |
> Oh ja... Da hab ich echt nen Denkfehler gehabt.
>
> Dann sieht die Folge ja wie folgt aus:
>
> 400m, 300m, 225m, [mm]\bruch{675}{4}, \bruch{2025}{16}...[/mm]
>
> Jetzt habe ich trotzdem das Problem mit dem Bilden einer
> Reihe... Gibt es dafür irgendwelche Tricks, dass einem das
> leichter fällt?
Hallo,
diese Folge ist doch simpel.
Du hast 400, 400*0,75, 400*0,75*0,75, 400*0,75*0,75*0,75 usw.
Das ist aber nicht das, was du für den Weg des Hundes brauchst.
Der läuft 400m + 300m = 700m (hin und zurück),
dann 300 m + 225 m = 525 m usw.
Der erste Summand ist also 700 m, alle folgenden Summannden betragen aber auch hier das 0,75-fache des vorherigen.
Gruß Abakus
|
|
|
|
