Flugbahn < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:59 So 19.10.2014 | | Autor: | Lucas95 |
| Aufgabe | Ein Flugzeug steuert auf die Cheops-Pyramide zu. Auf dem Radarschirm im Kontrollpunkt ist die Flugbahn durch die abgebildeten Punkte F1(56; -44; 15) und F2(48; -36; 14) erkennbar. Die Eckpunkte der Cheops-Pyramide lauten:
A(0; -16; 0) B(16; 0; 0) C(0; 16; 0) D(-16;0;0) und S(0; 0; 12)
Kollidiert das Flugzeug bei gleichbleibenden Kurs mit der Cheops-Pyramide? |
Liebe community,
wieder mal eine sehr interessante Aufgabe. Ich habe die Aufgabe gelöst, so wie ich denke, dass es Sinn macht und eventuell auch nicht ganz falsch ist. Vielleicht könntet ihr nochmal drüber schauen (:
Also, als erstes habe ich die Geradengleichung des Flugzeugs aufgestellt, anhand von F1(=Ortsvektor) und F2(F1F2= als RIchtungsvektor)
--> g(x)=[56, -44, 15]+t*[-8, 8, -1].
Danach habe ich eine Zeichnung der x-y-Ebene erstellt und festgestellt, dass das Flugzeug eventuell mit der Pyramidenfläche ABS kollidieren könnte.
Somit habe ich die Ebenengleichung dieser Fläche ABS aufgestellt mit Ortsvektor A und AB und AS als Spannvektoren
-->e(x)=[0, -16, 0]+s*[16, 16, 0]+r*[0, 16, 12]
So und jetzt habe ich mir folgendes gedacht: Falls das Flugzeug mit der Pyramide kollidieren sollte, müsste der gemeinsame Schnittpunkt bzw. Durchstoßpunkt der Geraden in folgenden Bereichen liegen:
0<x<16
-16<y<0
0<z<12
Außerdem müssen r,s,t>0 sein und die Summe aus s und r nicht größer als eins. Somit habe ich Geraden- und Ebenengleichung gleichgesetzt. Daraus ergab sich dann:
r= 3/4 s=1/2 und t=6 --> somit steht schon fest, der Punkt liegt nicht im Dreieck ABS, da s+r=5/4>1 ist.
Ich habe dann g(6) gerechnet, also für t in der Geradengleichung 6 eingesetzt und erhalte folgenden Schnittpunkt S[8; 4; 9]. Der Orstverktor S[8; 4; 9] liegt nicht im definierten Bereich der Seitenfläche ABS --> Das Flugzeug kollidiert nicht mit der Pyramide.
Ich freue mich über Antworten, einen schönen Sonntag! (:
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:23 So 19.10.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Lucas
> Ein Flugzeug steuert auf die Cheops-Pyramide zu. Auf dem
> Radarschirm im Kontrollpunkt ist die Flugbahn durch die
> abgebildeten Punkte F1(56; -44; 15) und F2(48; -36; 14)
> erkennbar. Die Eckpunkte der Cheops-Pyramide lauten:
> A(0; -16; 0) B(16; 0; 0) C(0; 16; 0) D(-16;0;0) und S(0;
> 0; 12)
> Kollidiert das Flugzeug bei gleichbleibenden Kurs mit der
> Cheops-Pyramide?
> Liebe community,
> wieder mal eine sehr interessante Aufgabe. Ich habe die
> Aufgabe gelöst, so wie ich denke, dass es Sinn macht und
> eventuell auch nicht ganz falsch ist. Vielleicht könntet
> ihr nochmal drüber schauen (:
>
> Also, als erstes habe ich die Geradengleichung des
> Flugzeugs aufgestellt, anhand von F1(=Ortsvektor) und
> F2(F1F2= als RIchtungsvektor)
> --> g(x)=[56, -44, 15]+t*[-8, 8, -1].
> Danach habe ich eine Zeichnung der x-y-Ebene erstellt und
> festgestellt, dass das Flugzeug eventuell mit der
> Pyramidenfläche ABS kollidieren könnte.
> Somit habe ich die Ebenengleichung dieser Fläche ABS
> aufgestellt mit Ortsvektor A und AB und AS als
> Spannvektoren
> -->e(x)=[0, -16, 0]+s*[16, 16, 0]+r*[0, 16, 12]
> So und jetzt habe ich mir folgendes gedacht: Falls das
> Flugzeug mit der Pyramide kollidieren sollte, müsste der
> gemeinsame Schnittpunkt bzw. Durchstoßpunkt der Geraden in
> folgenden Bereichen liegen:
> 0<x<16
> -16<y<0
> 0<z<12
So ist es
> Außerdem müssen r,s,t>0 sein und die Summe aus s und r
> nicht größer als eins.
Auch das stimmt
> Somit habe ich Geraden- und
> Ebenengleichung gleichgesetzt. Daraus ergab sich dann:
> r= 3/4 s=1/2 und t=6 --> somit steht schon fest, der Punkt
> liegt nicht im Dreieck ABS, da s+r=5/4>1 ist.
> Ich habe dann g(6) gerechnet, also für t in der
> Geradengleichung 6 eingesetzt und erhalte folgenden
> Schnittpunkt S[8; 4; 9]. Der Orstverktor S[8; 4; 9] liegt
> nicht im definierten Bereich der Seitenfläche ABS --> Das
> Flugzeug kollidiert nicht mit der Pyramide.
Deine Rechenwege sehen sehr gut aus, die Werte habe ich jetzt aber nicht konkret nachgerechnet. Aber die "glatten" Ergebnisse deuten darauf hin, dass du richtig gerechnet hast.
>
> Ich freue mich über Antworten, einen schönen Sonntag! (:
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:39 So 19.10.2014 | | Autor: | Lucas95 |
Dankeschön! (:
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