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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:01 Mo 29.12.2008 | | Autor: | Foster |
| Aufgabe | Die Flugbahn eine Geschosses soll gemessen werden. Auf der Strecke [0,5] sind 11 Messpunkte äquidistant angebracht, so dass [mm] x_{0} [/mm] = 0 und [mm] x_{10} [/mm] = 5. Der folgenden Tabelle können Sie die an den einzelnen Stellen gemessene Höhe des Projektils ablesen. Aus der Physik ist bekannt, dass die Flugbahn eine Parabelform haben muss. Approximieren Sie daher die gemessene Flugbahn möglichst gut durch eine Parabel.
Messpunkte | gemessene Höhe in m
[mm] x_{0} [/mm] | 10
[mm] x_{1} [/mm] | 10,4
[mm] x_{2} [/mm] | 10,4
[mm] x_{3} [/mm] | 10,1
[mm] x_{4} [/mm] | 9,6
[mm] x_{5} [/mm] | 8,8
[mm] x_{6} [/mm] | 7,6
[mm] x_{7} [/mm] | 6,1
[mm] x_{8} [/mm] | 4,4
[mm] x_{9} [/mm] | 2,4
[mm] x_{10} [/mm] | 0
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Ich habe leider keinen Ahnung wie ich bei der Aufgabe anfangen muß. Ich hoffe es kann mir Jemand einen Tipp geben.
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> Ich habe leider keinen Ahnung wie ich bei der Aufgabe
> anfangen muß. Ich hoffe es kann mir Jemand einen Tipp
> geben.
Hallo,
das ist zu wenig.
Vielleicht erzählst zumindest mal, aus welcher Vorlesung die Aufgabe stammt, und was thematisch so drangewesen ist.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:26 Mo 29.12.2008 | | Autor: | Foster |
Hallo
ich studiere Informatik Nebenfach Elektrotechnik, Vorlesung Mathematik für Elektrotechniker 1. Das letzte Thema war Matrizen, Determinaten (lineare Algebra und analytische Geometrie)
Leider war ich in der letzten Vorlesung nicht da und weiß somit auch nicht mehr.
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Hallo,
äquidistant bedeutet die Teilung in jeweils gleich große Intervalle, also an den stellen [mm] x_0=0, x_1=0,5, x_2=1, x_3=1,5, [/mm] ... [mm] x_1_0=5 [/mm] liegen die Messpunkte,
die allgemeine Form einer Parabel lautet [mm] f(x)=ax^{2}+bx+c,
[/mm]
Ziel ist die Bestimmung von a, b und c,
skizziere dir zunächst mal die Messpunkte in ein Koordinatensystem,
Approximieren bedeutet, eine Funktion zu finden, die sich den Messpunkten annähert,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 Mo 29.12.2008 | | Autor: | Foster |
Wie gehe ich jetzt weiter vor? Nachdem ich die Messpunkte in ein Koordinatensystem gezeichnet habe, sehe ich das es eine Parabel die nach unten geöffnet ist, sein muß.
Kann man a, b und c berechnen? Wie funktioniert das Approximieren?
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Hallo Foster,
> Wie gehe ich jetzt weiter vor? Nachdem ich die Messpunkte
> in ein Koordinatensystem gezeichnet habe, sehe ich das es
> eine Parabel die nach unten geöffnet ist, sein muß.
> Kann man a, b und c berechnen? Wie funktioniert das
> Approximieren?
Die Parameter a,b und c der Parabel kann man berechenen.
Das geschieht hier zum Beispiel mit der ![[]](/images/popup.gif) Methode der kleinsten Fehlerquadrate.
Das funktioniert so:
Gegeben sind n Punktepaare der Form [mm]\left(x_{i}, \ y_{i}\right)[/mm]
Desweiteren sollen die [mm]y_{i}[/mm] einer Funktion f (hier [mm]f\left(x\right)=ax^{2}+bx+c[/mm] ) genügen. Dazu minimiert man die Funktion
[mm]s\left(a,b,c\right)=\summe_{i=1}^{n}\left( \ y_{i}-f\left(x_{i}\right) \ \right)^{2} [/mm]
Die zu ermittelnden Parameter erhält man nun aus einem Gleichungssystem
Für den Fall der Parabel erhält man:
[mm]\bruch{\partial}{\partial a}\left( \ \summe_{i=1}^{n}\left( \ y_{i}-ax_{i}^{2}-bx_{i}-c \ \right)^{2}\ \right)=0 [/mm]
[mm]\bruch{\partial}{\partial b}\left( \ \summe_{i=1}^{n}\left( \ y_{i}-ax_{i}^{2}-bx_{i}-c \ \right)^{2} \ \right)=0 [/mm]
[mm]\bruch{\partial}{\partial c}\left( \ \summe_{i=1}^{n}\left( \ y_{i}-ax_{i}^{2}-bx_{i}-c \ \right)^{2} \ \right)=0 [/mm]
Das heißt, die Funktion [mm]s\left(a,b,c\right)[/mm] muß partiell nach a,b und c abgeleitet werden
und diese partiellen Ableitungen sind dann 0 zu setzen.
Gruß
MathePower
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