Fluss - welcher Weg günstiger < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:52 Di 17.05.2005 | | Autor: | pisty |
Hallo.
zu aller erst hier einmal die Textaufgabe, um welche es sich handelt.
das Ergebnis habe ich schon, aber wahrscheinlich ist das nicht der gesuchte Weg, da es eine "Milchmädchenrechnung ist" .... aber schaut sie euch erst einmal an.
Die Aufgabe:
An einem Ufer eines 1 km breiten Flusses befindet sich ein Kraftwerk,
am anderen Ufer s km weiter stromauf eine Fabrik. Beide sollen durch
ein Kabel verbunden werden. Die Kosten fürr die Verlegung betragen
20EUR je m (über Land) bzw. 40EUR je m (unter Wasser).
Finden Sie den kostengünstigsten Weg. (Nehmen Sie vereinfachend an,
dass das Kabel überall auf dem gleichen Höhenniveau liegt.)
Im Grunde gibt es 2 Ansätze - entweder ich geh den 1km übers Wasser, und den Rest (Strecke s) an Land weiter
oder
ich mach schräg über den Fluss rüber
Formel für 1km über den Fluss, und dann stromaufwärts zur Fabrik:
-> Kosten=K=40EUR*1000m+20EUR*s
Formel für "quer durch Flussbett - direkt zur Fabrik"
(über Satz des Pythagoras - wobei
t=Flussbreite
s=Wegstrecke ist
x=diagonale
-> K= [mm] \wurzel{s^2+t^2}*40EUR
[/mm]
die beiden Graphen schneiden sich bei 1333,33333m - d.h.
ist die Enntfernung unterhalb 1,33 km so ist die Strecke Wasser/Land zu bevorzugen - bei einer Entfernung über 1,33 km ist aus Kostengründen der diagonale Wasserweg zu wählen.
Kann ich das über irgendwelche Grenzkriterien im unendlichen Berechnen?
oder das alles mathematischer auf "höherem Niveau" ausdrücken? (HM2) 
vielen Dank
pisty
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:02 Di 17.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo pisty,
ich würde dabei ja versuchen das ganze durch einen funktionalen Zusammenhang zu beschreiben um dann mit den Mitteln der Analysis das Minimum der Kosten zu bestimmen. Deine zeichneriche Lösung stimmt ja auch nur für ein bestimmtes $s$.)
Dabei würde ich als Variable $x$ die Länge des Kabels an Land bezeichnen. Wenn man nach der Strecke $x$ schräg zum Kraftwerk weiterverbindet ist das Kabel im Wasser noch [mm] $\sqrt{(s-x)^2+1^2}$ [/mm] lang. Die Kosten lassen sich also durch [mm] $k_s(x)=20x+40\sqrt{(s-x)^2+1}$ [/mm] beschreiben.
Ich denke den Rest kannst du alleine...
Gruß Max
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:10 Sa 21.05.2005 | | Autor: | pisty |
hi,
nun hab ich mich mal wieder dieser aufgabe zugewandt.
habe als allg. Formel der Kosten folgende aufgestellt
K=( [mm] \wurzel{x^2+1000^2}40)+(s-x)20
[/mm]
ableiten nach x
K'= [mm] \bruch{40x}{ \wurzel{x^2+100000}}-20
[/mm]
nach x aufgelöst ergibt [mm] \x=577,35
[/mm]
x in K
ergibt
s=1732,05m
wie habe ich dieses Ergebnis nun in Bezug auf die Aufgabenstellung zu interpretieren?
den kürzesten Weg kann ich ja nicht allgemein angeben, da er ja von s abhängig ist!
grüße
pisty
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:14 Sa 21.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Pisty,
ich verstehe nicht, wie du auf deine Funktion $K$ kommst. Tatsächlich gibt es für jede Entfernung $s$ einen anderen billigsten Weg, von daher finde ich es lustig, dass du die Entfernung ausrechnest. Hast du noch andere Informationen, dass su nach $s$ auflösen kannst?
Max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:10 Sa 21.05.2005 | | Autor: | pisty |
Hallo Max,
das Ziel der Aufgabe ist doch darin zu sehen, diesen günstigesten Streckenverlauf durch Extremwertberechnung zu erhalten. Oder lieg ich da schon im Ansatz falsch?
wenn ich demzufolge deine Formel
K=20x+40 [mm] \wurzel{(s-x)^2+1} [/mm] nehme, und diese nach x ableite,
so erhalte ich doch eine Gleichung in der wieder x und s vorkommt.
wie komme ich auf meine Formel ....
durch den Satz des Pythagoras ermittle ich die schräge über den Fluss
also [mm] \wurzel{x^2+1000^2} [/mm] .... entweder ich bin dann gleich vom Kraftwerk über die komplette Schräge zur Fabrik (falls am günstigesten) oder ich nehme nur einen Anteil schräg und zähle dazu den Weg an Land in Abhängigkeit der Strecke x die ich schon über Wasser bin dazu .... also die restliche Strecke an Land s minus die bereits quer über dem Wasser verlaufende Strecke x
eine Skizze würde dies verdeutlichen ... nur weiß ich nicht wie man diese hier einfügen kann
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 Sa 21.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo pisty!
> das Ziel der Aufgabe ist doch darin zu sehen, diesen
> günstigesten Streckenverlauf durch Extremwertberechnung zu
> erhalten. Oder lieg ich da schon im Ansatz falsch?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Nein, das stimmt so!
> K=20x+40 [mm]\wurzel{(s-x)^2+1}[/mm] nehme, und diese nach x
> ableite,
> so erhalte ich doch eine Gleichung in der wieder x und s vorkommt.
Deine "Formel" für [mm] $K_s(x)$ [/mm] scheint vom Ansatz her richtig zu sein!
Allerdings mußt Du mit den Einheiten aufpassen. Entweder betrachtest Du $s$ und $x$ in Metern, dann muß es heißen:
[mm] $K_s(x) [/mm] \ = \ [mm] 20*x+40*\wurzel{(s-x)^2+\red{1000^2}}$
[/mm]
Oder bei Umrechnung in km, muß auch der Preis der Trassen umgerechnet werden:
[mm] $K_s(x) [/mm] \ = \ [mm] \red{20.000}*x+\red{40.000}*\wurzel{(s-x)^2+1}$
[/mm]
Mich irritiert nur Dein Ergebnis. Da der Abstand $s$ in der Aufgabenstellung nicht vorgegeben ist, muß dieses $s$ als Parameter auch wieder im Ergebnis auftauchen.
Sprich: Dein Ergebnis [mm] $X_E$ [/mm] wird immer von dem Parameter $s$ abhängig sein: [mm] $x_E [/mm] \ = \ [mm] x_E(s)$.
[/mm]
Auch in der 1. Ableitung scheint sich ein Fehler eingeschlichen zu haben. Bitte kontrolliere diese nochmal.
> eine Skizze würde dies verdeutlichen ... nur weiß ich nicht
> wie man diese hier einfügen kann
Sieh' mal nach unter: F.A.Q.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 Sa 21.05.2005 | | Autor: | pisty |
nun hab ich die Kostenformel
$ [mm] K_s(x) [/mm] \ = \ [mm] 20\cdot{}x+40\cdot{}\wurzel{(s-x)^2+\red{1000^2}} [/mm] $
abgeleitet, und erhalte
[mm] K_s(x) [/mm] = [mm] \bruch{40(x-s)}{ \wurzel{x^2-2xs+s^2+1000000}}+20
[/mm]
da sind aber wieder 2 Variablen, also s und x drinne
für s ist in der Aufgabe kein Wert gegeben.
Wie mache ich nun weiter? ..... soll ich solange nach x ableiten bis ich nur noch eine Variable habe? - ich bin jetzt leicht irritiert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:53 Sa 21.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo pisty!
> nun hab ich die Kostenformel
> [mm]K_s(x) \ = \ 20\cdot{}x+40\cdot{}\wurzel{(s-x)^2+\red{1000^2}}[/mm]
>
> abgeleitet, und erhalte
>
> [mm]K_s\red{'}(x)[/mm] = [mm]\bruch{40(x-s)}{ \wurzel{x^2-2xs+s^2+1000000}}+20[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Stimmt!
> da sind aber wieder 2 Variablen, also s und x drinne
Der Wert $s$ wird nun als bekannt (und als konstant) angestzt. Das heißt, Du behandelst dieses $s$ wie jede andere Zahl auch. Deine Variable ist nach wie vor $x$.
> Wie mache ich nun weiter?
Nun berechnest Du -wie gehabt bei Extremwertaufgaben- die Nullstelle(n) dieser 1. Ableitung. Dabei wird Dir das $s$ immer erhalten bleiben. Deine Lösung für [mm] $x_E$ [/mm] wird immer von $s$ abhängig sein!
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 Sa 21.05.2005 | | Autor: | pisty |
ok -also
[mm] K_s\red{'}(x) [/mm] = [mm] \bruch{40(x-s)}{ \wurzel{x^2-2xs+s^2+1000000}}+20 [/mm]
nach x aufgelöst ergibt
x=s !!
also weiter .... für x=s setzen und in [mm] K_s\red{'}(x) [/mm] einsetzen
-> erhalte ich s=2000
d.h. bei einer Entfernung bis 2000m ist der Wasserweg (schräg bis direkt zur Fabrik der kostengünstigste), erst ab 2000m wird es günstiger auch einen Anteil der Leitung an Land (x)zu verlegen
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:42 Sa 21.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo ...
> [mm]K_s'(x) = \bruch{40(x-s)}{ \wurzel{x^2-2xs+s^2+1000000}}+20[/mm]
>
> nach x aufgelöst ergibt x=s !!
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Wenn ich [mm]K_s'\left(x_E\right) = \bruch{40*\left(x_E-s\right)}{ \wurzel{\left(s-x_E\right)^2+10^6}}+20 \ \red{= \ 0}[/mm] nach x auflöse, erhalte ich etwas ganz anderes:
[mm] $x_E [/mm] \ = \ s - [mm] \bruch{1000}{\wurzel{3}}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 Sa 21.05.2005 | | Autor: | pisty |
hi loddar,
hast recht, habe die +20 am Ende des Bruchs vergessen
komme auf [mm] x_E [/mm] = [mm] \bruch{3s-1000 \wurzel{3}}{3} [/mm] was ja gleich deinem Ergebnis [mm] x_E [/mm] = [mm] s-\bruch{1000}{\wurzel{3}} [/mm] ist
dieses x setze ich nun in die Formel
[mm] K_s(x) [/mm] = [mm] 20\cdot{}x+40\cdot{}\wurzel{(s-x)^2+1000^2} [/mm] ein
und erhalte
[mm] s=\-1732,05 [/mm]
aber wie gebe ich nun die Antwort für gemäß Aufgabenstellung an?
"An einem Ufer eines 1 km breiten Flusses befindet sich ein Kraftwerk,
am anderen Ufer s km weiter stromauf eine Fabrik. Beide sollen durch
ein Kabel verbunden werden. Die Kosten fürr die Verlegung betragen
20EUR je m (über Land) bzw. 40EUR je m (unter Wasser).
Finden Sie den kostengünstigsten Weg. (Nehmen Sie vereinfachend an,
dass das Kabel überall auf dem gleichen Höhenniveau liegt.) "
ich hoffe ich nerve nicht allzu mit meinen Fragen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:34 Sa 21.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
> hast recht, habe die +20 am Ende des Bruchs vergessen
Das hatte ich mir fast so gedacht ...
> komme auf [mm]x_E[/mm] = [mm]\bruch{3s-1000 \wurzel{3}}{3}[/mm] was ja
> gleich deinem Ergebnis [mm]x_E[/mm] = [mm]s-\bruch{1000}{\wurzel{3}}[/mm] ist
> dieses x setze ich nun in die Formel
> [mm]K_s(x)[/mm] = [mm]20\cdot{}x+40\cdot{}\wurzel{(s-x)^2+1000^2}[/mm] ein
>
> und erhalte [mm]s=\-1732,05[/mm]
Das ist mir ein Rätsel! Auch hier muß doch ein Ergbnis entstehen, das immer noch vom Parameter $s$ abhängig ist.
Ich erhalte: [mm] $K_{min} [/mm] \ = \ [mm] K_s\left(x_E\right) [/mm] \ = \ 20*s + [mm] \bruch{60.000}{\wurzel{3}}$
[/mm]
Zuvor mußt Du jedoch nachweisen, daß es sich bei diesem Wert [mm] $x_E [/mm] \ = \ s - [mm] \bruch{1.000}{\wurzel{3}}$ [/mm] auch wirklich um ein Minimum handelt, indem Du diesen Wert z.B. in die 2. Ableitung einsetzt (hinreichendes Kriterium).
Da muß dann entstehen: [mm] $K_s''\left(x_E\right) [/mm] \ [mm] \red{>} [/mm] \ 0$ !
> Aber wie gebe ich nun die Antwort für gemäß Aufgabenstellung an?
Die Strecke x war ja die Strecke, die parallel zum Fluß über Land führt. Damit ist $s - [mm] x_E$ [/mm] die Länge des Bereiches, in dem das Kabel schräg durch den Fluß geführt wird.
Dieser Wert ist ja unabhängig von $s$, da gilt:
$s - [mm] x_E [/mm] \ = \ s - [mm] \left(s - \bruch{1000}{\wurzel{3}}\right) [/mm] \ = \ s - s + [mm] \bruch{1000}{\wurzel{3}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1000}{\wurzel{3}} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 577 \ m$
Antwortsatz: Auf einer Uferlänge von ca. 577m wird das Kabel schräg durch den Fluß geführt.
Man könnte es auch umformulieren:
Der Winkel zwischen Ufer und Kabelführung sei [mm] $\alpha$.
[/mm]
Dann gilt: [mm] $\tan(\alpha) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1000}{s-x_E} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1000}{\bruch{1000}{\wurzel{3}}} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{3}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ $\alpha_{min} [/mm] \ = \ [mm] \arctan\left(\wurzel{3}\right) [/mm] \ = \ 60°$
Die minmalen Verlegungskosten entstehen bei einer Anordnung des Kabelweges von 60° zur Uferkante. Bis dort wird das Kabel an Land parallel zum Ufer verlegt!
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:43 So 22.05.2005 | | Autor: | pisty |
auf die 577m komme ich aber auch, wenn ich das über meine Formel
[mm] K=\wurzel{x^2+1000^2}40)+(s-x)20 [/mm] errechne, diese ableite und nach x umstelle
diesen x-Wert in die 2.Abl. eingesetzt ergibt auch, das dieser Wert (577m) der Kostengünstigste ist.
mir ist generell noch nicht ganz klar, wie ihr auf die Kosten-Formel
[mm] K_s(x) [/mm] \ = \ [mm] 20\cdot{}x+40\cdot{}\wurzel{(s-x)^2+\red{1000^2}} [/mm]
kommt.
wenn mein Ansatz laut Skizze so zu angenommen wurde.
bei der Kostenformel von euch ist mir der erste term unklar.
meine Skizze
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:08 So 22.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo pisty,
bei der Formel [mm] $k_s(x)=20x+40\sqrt{(s-x)^2+1000^2}$ [/mm] ist $x$ die Länge des Kabels an Land. Bei dem Term [mm] $20(s-x)+40\sqrt{x^2+1000^2}$ [/mm] bezeichnet $x$ die Länge des Stücks in dem das Kabel durch den Fluss verlegt wird - und $s-x$ die Länge des Kabels am Land.
Gruß Max
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:41 So 22.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Pisty!
In Ergänzung zu Max' Antwort hier noch eine Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]
[mm]K_s(x) \ = \ 40*\wurzel{x_{\red{2}}^2+1000^2}+20*\left(s-x_{\red{2}}\right)[/mm]
[mm]K_s(x) \ = \ 20\cdot{}x_{\red{1}}+40\cdot{}\wurzel{\left(s-x_{\red{1}}\right)^2+1000^2}[/mm]
Mit beiden Ansätzen sollte man zum Ziel gelangen.
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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