Fluss durch Zylinderfläche < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:39 Do 23.06.2011 | | Autor: | engels |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Fluss des Vektorfeldes v : [mm] R^{3} \to R^{3} [/mm] mit
v(x,y,z) = ( [mm] \bruch{x}{1+x^{2}+y^{2}},\bruch{y}{1+x^{2}+y^{2}},z)
[/mm]
durch die Oberfläche des zur (x,y)-Ebene symmetrischen Zylinders (Zylindermantel, Boden, Deckel) mit Höhe h, Radius R und der z-Achse als Rotationsachse. Der
Normalenvektor zeige dabei jeweils nach außen. |
Ich hab mir dazu folgendes überlegt:
Boden/Deckel: Ein Normalenvektor wäre [mm] n=\vektor{0 \\ 0 \\ \pm 1}
[/mm]
Dann berechne ich [mm] \integral_{}^{}{v(x,y,z)*n d(x,y,z)} [/mm] = [mm] \pm \bruch{1}{2} xyz^{2}. [/mm] Ist dies soweit richtig?
Mantelfläche:
Hier hab ich versucht, Polarkoordinaten anzuwenden. x=cos [mm] \alpha [/mm] , y=sin [mm] \alpha
[/mm]
Daraus erhalte ich nun: v = { [mm] \bruch{cos \alpha}{2}, \bruch{sin \alpha}{2}, [/mm] z}
Dann leite ich partiell nach [mm] \alpha [/mm] und z ab und ermittle daraus einen Normalenvektor n. [mm] n=\vektor{ \bruch{cos \alpha}{2}\\ \bruch{sin \alpha}{2} \\ 0}
[/mm]
Nun wieder das Integral [mm] \integral_{}^{}{v(\alpha,z)*n d(\alpha,z)}=\bruch{1}{4}*\alpha*z
[/mm]
Ist das richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:01 Fr 24.06.2011 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Berechnen Sie den Fluss des Vektorfeldes v : [mm]R^{3} \to R^{3}[/mm]
> mit
>
> v(x,y,z) = (
> [mm]\bruch{x}{1+x^{2}+y^{2}},\bruch{y}{1+x^{2}+y^{2}},z)[/mm]
>
> durch die Oberfläche des zur (x,y)-Ebene symmetrischen
> Zylinders (Zylindermantel, Boden, Deckel) mit Höhe h,
> Radius R und der z-Achse als Rotationsachse. Der
> Normalenvektor zeige dabei jeweils nach außen.
> Ich hab mir dazu folgendes überlegt:
>
> Boden/Deckel: Ein Normalenvektor wäre [mm]n=\vektor{0 \\ 0 \\ \pm 1}[/mm]
>
> Dann berechne ich [mm]\integral_{}^{}{v(x,y,z)*n d(x,y,z)}[/mm] =
> [mm]\pm \bruch{1}{2} xyz^{2}.[/mm] Ist dies soweit richtig?
>
Was Du gemacht hast, sind ja nur unbestimmte Integrationen. Der Fluss ist das (bestimmte) Integral über die Oberfläche des Körpers. Ich würde Dir empfehlen, hier auch schon Zylinderkoordinaten zu verwenden, das macht es wesentlich einfacher. Für die Bodenfläche wäre das dann z.B.:
[mm] $\Phi_1=\int_{\partial V}\vec{v}(r,\varphi,z)\cdot(\vec{v}_r\times\vec{v}_{\varphi})\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi$
[/mm]
> Mantelfläche:
>
> Hier hab ich versucht, Polarkoordinaten anzuwenden. x=cos
> [mm]\alpha[/mm] , y=sin [mm]\alpha[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Daraus erhalte ich nun: v = { [mm]\bruch{cos \alpha}{2}, \bruch{sin \alpha}{2},[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> z}
Falsch. Die Transformationsgleichungen von kartesischen in Zylinderkoordinaten sind:
$x=r\cdot\cos\varphi$
$y=r\cdot\sin\varphi$
$z=z$
Versuchs damit nochmal.
>
> Dann leite ich partiell nach [mm]\alpha[/mm] und z ab und ermittle
> daraus einen Normalenvektor n. [mm]n=\vektor{ \bruch{cos \alpha}{2}\\ \bruch{sin \alpha}{2} \\ 0}[/mm]
>
> Nun wieder das Integral [mm]\integral_{}^{}{v(\alpha,z)*n d(\alpha,z)}=\bruch{1}{4}*\alpha*z[/mm]
>
> Ist das richtig?
nein, siehe oben.
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:43 Fr 24.06.2011 | | Autor: | engels |
Also wenn ich nun x und y ersetze müsste ich doch diese Form erhalten:
[mm] v=\vektor{\bruch{r*cos(\alpha)}{1+r^{2}} \\ \bruch{r*sin(\alpha)}{1+r^{2}} \\ z}
[/mm]
Oder?
Beim Boden/Deckel müsste der Normalenvektor trotzdem gleich bleiben, oder? Da müsste man dann das Integral [mm] \integral_{0}^{2\pi}\integral_{}^{}{ z dr d\alpha} [/mm] berechnen.
Ist mein Vorgehen soweit richtig? Wie sieht es denn nun bei der Mantelfläche aus? Da hänge ich...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:51 Sa 25.06.2011 | | Autor: | notinX |
> Also wenn ich nun x und y ersetze müsste ich doch diese
> Form erhalten:
>
> [mm]v=\vektor{\bruch{r*cos(\alpha)}{1+r^{2}} \\ \bruch{r*sin(\alpha)}{1+r^{2}} \\ z}[/mm]
>
> Oder?
Ja, genau.
>
> Beim Boden/Deckel müsste der Normalenvektor trotzdem
> gleich bleiben, oder? Da müsste man dann das Integral
Nein, die Zylinderdeckelflächen werden beschrieben durch:
[mm] $\vec{A}=\left(\begin{array}{c}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\\pm\frac{h}{2}\end{array}\right)$
[/mm]
mit [mm] $r\in[0,R]$ [/mm] und [mm] $\varphi\in[0,2\pi]$
[/mm]
Wenn Du jetzt die Normalenvektoren
[mm] $\vec{n}_{1,2}=\pm\frac{\partial\vec{A}}{\partial r}\times\frac{\partial\vec{A}}{\partial\varphi}$
[/mm]
berechnest, solltest Du auf was anderes kommen.
mir fällt gerade auf, dass mein erster Beitrag nicht ganz richtig war. Das Integral muss so aussehen:
$ [mm] \Phi_1=\int_{\partial V}\vec{v}(r,\varphi,z)\cdot(\vec{A}_r\times\vec{A}_{\varphi})\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi =\int_{\partial V}\vec{v}(r,\varphi,z)\cdot\vec{n}_1\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi$
[/mm]
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}\integral_{}^{}{ z dr d\alpha}[/mm]
> berechnen.
Nein, die Integrale für Deckel und Boden lauten:
[mm] $\pm\int_{0}^{R}\int_0^{2\pi}zr\,\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}r$
[/mm]
Du hast den Betrag des Normalenvektors vergessen. Du musst diese Integrale aber auch gar nicht berechnen, denn in der Summe heben sie sich gerade auf.
>
> Ist mein Vorgehen soweit richtig? Wie sieht es denn nun bei
> der Mantelfläche aus? Da hänge ich...
Das funktioniert genauso wie beim Deckel, nur ist der Flächennormalenvektor ein anderer (überleg Dir mal, wie der aussehen könnte).
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:33 Sa 25.06.2011 | | Autor: | engels |
Also ein paar Fragen hab ich noch:
Durch $ [mm] \vec{A}=\left(\begin{array}{c}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\\pm\frac{h}{2}\end{array}\right) [/mm] $ so sagst du ja werden die Zylinderdeckelflächen beschrieben. Das [mm] \bruch{h}{2} [/mm] iritiert mich doch etwas. Müsste es nicht für den Boden 0 und für den Deckel H sein, also wenn man jetzt die beiden Fälle einzeln betrachtet? Beim Normalenvektor bin ich auch nun drauf gekommen, dass ich das "r" vergessen habe.
Noch einmal zur Mantelfläche:
Wenn ich die Mantelfläche durch [mm] \vec{A}=\left(\begin{array}{c}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\z\end{array}\right) [/mm] beschreibe, müsste ich doch durch [mm] \bruch{\partial A}{\partial \alpha} \times \bruch{\partial A}{\partial z} [/mm] einen Normalenvektor erhalten. Den Fluss bekomme ich dann durch [mm] \integral_{0}^{H}\integral_{0}^{2\pi}{v * (\bruch{\partial A}{\partial \alpha} \times \bruch{\partial A}{\partial z}) d(\alpha,z)}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:45 Sa 25.06.2011 | | Autor: | notinX |
> Also ein paar Fragen hab ich noch:
>
> Durch
> [mm]\vec{A}=\left(\begin{array}{c}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\\pm\frac{h}{2}\end{array}\right)[/mm]
> so sagst du ja werden die Zylinderdeckelflächen
> beschrieben. Das [mm]\bruch{h}{2}[/mm] iritiert mich doch etwas.
> Müsste es nicht für den Boden 0 und für den Deckel H
Laut Aufgabenstellung hat der Zylinder die Höhe h und ist symmetrisch zur x-y-Ebene. Dein Zylinder wäre nicht symmetrisch zur Ebene sondern stünde auf einer der beiden 'Seiten'.
> sein, also wenn man jetzt die beiden Fälle einzeln
> betrachtet? Beim Normalenvektor bin ich auch nun drauf
> gekommen, dass ich das "r" vergessen habe.
>
> Noch einmal zur Mantelfläche:
> Wenn ich die Mantelfläche durch
> [mm]\vec{A}=\left(\begin{array}{c}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\z\end{array}\right)[/mm]
Wenn mans genau nimmt:
$ [mm] \vec{A}=\left(\begin{array}{c}R\cos\varphi\\R\sin\varphi\\z\end{array}\right) [/mm] $
mit $ [mm] z\in[-\frac{h}{2},\frac{h}{2}] [/mm] $ und $ [mm] \varphi\in[0,2\pi] [/mm] $
> beschreibe, müsste ich doch durch [mm]\bruch{\partial A}{\partial \alpha} \times \bruch{\partial A}{\partial z}[/mm]
> einen Normalenvektor erhalten. Den Fluss bekomme ich dann
Richtig.
> durch [mm]\integral_{0}^{H}\integral_{0}^{2\pi}{v * (\bruch{\partial A}{\partial \alpha} \times \bruch{\partial A}{\partial z}) d(\alpha,z)}[/mm]
>
Bis auf die Integrationsgrenzen von z auch richtig.
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