Fluss durch ein Gebilde < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:16 Sa 02.07.2011 | | Autor: | zocca21 |
| Aufgabe | Bestimmen sie den Fluss des Vektorfeldes T = [mm] (xy^2 [/mm] , [mm] yx^2 [/mm] , [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2)
[/mm]
durch den Körper P: [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 \le [/mm] 1 , 0 [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] x, x [mm] \ge [/mm] 0 von innen nach außen. |
Ich bin nun wieder folgendermaßen vorgegangen:
Parametrisierung:
x = r [mm] cos(\phi) [/mm] y = r [mm] sin(\phi) [/mm] Jacobi-Determinante = r
Bei dem Körper handelt es sich um einen Zylinder mit der Höhe x.
Da es sich um einen 3-dimensionales Vektorfeld und 3-dimensionales Gebilde handelt ist der Satz von Gauß anwendbar.
div(T) = [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{2\pi} \integral_{0}^{1} \integral_{0}^{r cos(\phi)} (r^2 [/mm] * r) dz dr [mm] d\phi
[/mm]
Hier erhalte ich jedoch 0 als Fluss was nicht stimmt. Wo liegt mein Denkfehler?
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:39 Sa 02.07.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Bestimmen sie den Fluss des Vektorfeldes [mm]T = (xy^2 , yx^2 , x^2 + y^2)[/mm]
>
> durch den Körper P: [mm]x^2 + y^2 \le 1[/mm] ,[mm] 0 \le z \le x[/mm], [mm]x \ge0[/mm] von innen nach außen.
> Ich bin nun wieder folgendermaßen vorgegangen:
>
> Parametrisierung:
>
> [mm]x = r cos(\phi) y = r sin(\phi)[/mm] Jacobi-Determinante = r
>
> Bei dem Körper handelt es sich um einen Zylinder mit der
> Höhe x.
>
> Da es sich um einen 3-dimensionales Vektorfeld und
> 3-dimensionales Gebilde handelt ist der Satz von Gauß
> anwendbar.
>
> [mm]div(T) = x^2 + y^2[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi} \integral_{0}^{1} \integral_{0}^{r \cos(\phi)} (r^2 * r) dz dr d\phi[/mm]
>
> Hier erhalte ich jedoch 0 als Fluss was nicht stimmt. Wo
> liegt mein Denkfehler?
Du hast die Bedingung [mm] $x\ge [/mm] 0$ vergessen, die in deiner Parametrisierung äquivalent ist zu [mm] $-\pi/2\le\phi<\pi/2$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:05 Sa 02.07.2011 | | Autor: | zocca21 |
Ah super, damit ist der Fluss 2/5.
Zu der Bedingung x [mm] \ge [/mm] 0 heißt also, dass es ich nur den Bereich positiv von der x Achse habe.
Wenn ich mir nun also nur die xy-Ebene betrachte ist es also nur der Teil von der Kreisscheibe von [mm] 3/2\pi [/mm] bis [mm] 5/2\pi [/mm] oder halt einfach - [mm] \pi/2 [/mm] bis [mm] \pi/2.
[/mm]
Is das so korrekt?
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> Ah super, damit ist der Fluss 2/5.
>
> Zu der Bedingung x [mm]\ge[/mm] 0 heißt also, dass es ich nur den
> Bereich positiv von der x Achse habe. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
den Bereich rechts von der y-Achse
> Wenn ich mir nun also nur die xy-Ebene betrachte ist es
> also nur der Teil von der Kreisscheibe von [mm]3/2\pi[/mm] bis
> [mm]5/2\pi[/mm] oder halt einfach - [mm]\pi/2[/mm] bis [mm]\pi/2.[/mm]
>
> Is das so korrekt?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Ja.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:12 Sa 02.07.2011 | | Autor: | zocca21 |
Ersteinmal Vielen Dank!
Also mit dem Satz von Gauß berechne ich den Fluss durch die Oberfläche bzw. den gesamten Rand.
Wenn ich nun nur durch eine Seitenfläche bzw. den Deckel eines Zylinders oder die Unterseite den Fluss berechnen möchte.
Kann ich dass nur über eine andere Parametrisierung machen oder?
Z.B. Zylinderdeckel befindet sich auf z=1
C(t) = [mm] \vektor{cos(t) \\ sin(t) \\ 1 } [/mm] mit [mm] \integral_{0}^{2\pi}{g(c(t)*c'(t) dt} [/mm] wobei g das Vektorfeld darstellt.
z.B. Ein Fluss des Vektorfelds p = [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] durch die yz-Ebene eines Prismas.
[mm] \integral \integral \vektor{x \\ 0 \\ 0} [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] dydz ??
Weil der X-Vektor senkrecht auf der yz-Ebene steht..
Oder wie würd ich hier vorgehen ohne mal Grenzen einzusetzen..
Gauß kann ich ja nur für den gesamten Rand bzw. Oberfläche verwenden. Richtig?
Vielen Dank nochmal!
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> Ersteinmal Vielen Dank!
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> Also mit dem Satz von Gauß berechne ich den Fluss durch
> die Oberfläche bzw. den gesamten Rand.
Ja - indem du den Fluss gar nicht direkt, sondern mittels
des Volumenintegrals der Divergenz über das Innere berechnest.
> Wenn ich nun nur durch eine Seitenfläche bzw. den Deckel
> eines Zylinders oder die Unterseite den Fluss berechnen
> möchte.
>
> Kann ich dass nur über eine andere Parametrisierung machen
> oder?
Dann wird der Fluss eben direkt, als Flächenintegral,
bestimmt.
> Z.B. 1.) Zylinderdeckel befindet sich auf z=1
>
> C(t) = [mm]\vektor{cos(t) \\ sin(t) \\ 1 }[/mm] mit
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{g(c(t)*c'(t) dt}[/mm]
> wobei g das Vektorfeld darstellt.
Falls ich das richtig verstehe, meinst du den Fluss
eines Vektorfeldes g durch die in der Ebene z=1
liegende Einheitskreisscheibe mit Mittelpunkt (0/0/1).
Das wäre in Polarkoordinaten:
[mm] $\integral_{t=0}^{2\,\pi}\ \integral_{r=0}^{1} \underbrace{g(C(t))\ast\pmat{0\\0\\1}}_{Skalarprodukt}*\,r*dr*dt$
[/mm]
> z.B. 2.) Ein Fluss des Vektorfelds p = [mm]\vektor{x \\ y \\ z}[/mm]
> durch die yz-Ebene eines Prismas.
>
> [mm]\integral \integral \vektor{x \\ 0 \\ 0}\ast\vektor{1 \\ 0 \\ 0}\ dy\,dz\ ??[/mm]
Das darfst du zuerst schon mal so schreiben:
[mm]\integral \integral \vektor{x \\ y \\ z}\ast\vektor{1 \\ 0 \\ 0}\ dy\,dz\ [/mm]
da ja die skalare Multiplikation mit dem Normalenvektor
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] der Fläche genau den Zweck hat, die senkrecht
durch die "Wand" gerichtete Komponente des Feldes heraus-
zupicken.
> Weil der X-Vektor senkrecht auf der yz-Ebene steht..
> Oder wie würd ich hier vorgehen ohne mal Grenzen
> einzusetzen..
>
>
> Gauß kann ich ja nur für den gesamten Rand bzw.
> Oberfläche verwenden. Richtig? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Vielen Dank nochmal!
LG Al-Chw.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:34 So 03.07.2011 | | Autor: | zocca21 |
Ok, bei der Kreisscheibe hatte ich genau das von dir beschrieben gemeint.
Nun meinte ich:
Laut meinem Skript kann ich den Ausfluss auch durch [mm] \integral [/mm] g(c(t)) * [mm] \vektor{C'2(t) \\ - C'1(t) } [/mm] dt
In diesem Fall müsste es ja auch über die Divergenz funktionieren, falls man ein 3-dimensionales Vektorfeld hat.
Vielen Dank für alles! ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:23 Di 05.07.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> Bestimmen sie den Fluss des Vektorfeldes T = [mm](xy^2[/mm] , [mm]yx^2[/mm] ,
> [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2)[/mm]
>
> durch den Körper P: [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2 \le[/mm] 1 , 0 [mm]\le[/mm] z [mm]\le[/mm] x, x [mm]\ge[/mm]
> 0 von innen nach außen.
Hallo zocca21,
die Aufgabe ist nicht korrekt formuliert. Man berechnet
nicht den Fluss durch den Körper, sondern den Fluss
durch eine Fläche, hier durch die Oberfläche (oder den
"Rand") des Körpers P.
P ist übrigens kein Zylinder, sondern ein Körper, der
aus einem Zylinder ausgeschnitten wird. Die Form von P
gleicht dem aus einem Baumstamm zum Zweck seines
Fällens herausgeschnittenen Keils.
LG Al-Chw.
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