Flussintegral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:06 Di 29.12.2009 | | Autor: | Lyrone |
| Aufgabe | Die Fläche [mm]F \subset \IR^3[/mm] ist gegeben durch die Parameterdarstellung [mm]\phi(r,t) \ = \ (r \ \cos t, \ r \ \sin t, 1-\frac{1}{r})^T, \ \ 1 \le r \le 2, \ \ 0 \le t \le 2\pi[/mm].
Die Normale [mm]n[/mm] auf [mm]F[/mm] sei nach "außen" gewählt, d.h. [mm]n \cdot e_3 \le 0[/mm].
Das Vektorfeld [mm]f : \IR^3 \to \IR^3[/mm] ist gegeben durch:
[mm]f(x, y, z) = \large(x(z-1), y(z-1), y + z^2\large)^T[/mm]
a)
Berechnen Sie das Flussintegral
[mm]\integral{\integral_{F}{f \cdot n } dS}[/mm]
b)
Der Körper [mm]K[/mm] wird im [mm]\IR^3[/mm] begrenzt durch [mm]F[/mm] und zwei Kreissscheiben parallel zu [mm]x-y-[/mm]Ebene in Höhe [mm]z = 0[/mm] bzw. [mm]z = 1/2[/mm]. Berechnen Sie
[mm]\integral{\integral{\integral_{K}{div(f) }} dx}[/mm]
möglichst mit dem Satz von Gauß und dem Ergebnis aus Teil a). |
Hallo,
Aufgabe a) konnte ich noch lösen, hier ist die Lösung [mm]\integral{\integral_{F}{f \cdot n } dS} = -4\pi \ln 2 + \pi[/mm]. Dieses Ergebnis stimmt auch, habe Werte zum vergleichen.
Ich kenne auch schon das Ergebnis von der Aufgabe b), was mir allerdings nicht viel bringt, da ich diese nicht selbständig lösen kann. Mir fehlt hier der komplette Ansatz.
Der Satz von Gauß ist
[mm]\integral{\integral{\integral_{K}{div(f) }} dx} = \integral{\integral_{G}{f \cdot n } dS}[/mm]
und das wars auch schon mit meinem Latein.
Wie gehe ich bei so einer Aufgabe am Besten vor? Eigentlich muss ich doch nur noch den Fluss von Deckel und Boden berechnen oder? Wenn ja, wie mache ich das?
Für jegliche Hilfe bin ich sehr dankbar.
Schönen Gruß,
Lyrone
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:56 Mi 30.12.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Lyrone!
> Die Fläche [mm]F \subset \IR^3[/mm] ist gegeben durch die
> Parameterdarstellung [mm]\phi(r,t) \ = \ (r \ \cos t, \ r \ \sin t, 1-\frac{1}{r})^T, \ \ 1 \le r \le 2, \ \ 0 \le t \le 2\pi[/mm].
>
> Die Normale [mm]n[/mm] auf [mm]F[/mm] sei nach "außen" gewählt, d.h. [mm]n \cdot e_3 \le 0[/mm].
>
> Das Vektorfeld [mm]f : \IR^3 \to \IR^3[/mm] ist gegeben durch:
>
> [mm]f(x, y, z) = \large(x(z-1), y(z-1), y + z^2\large)^T[/mm]
>
> a)
> Berechnen Sie das Flussintegral
>
> [mm]\integral{\integral_{F}{f \cdot n } dS}[/mm]
>
> b)
> Der Körper [mm]K[/mm] wird im [mm]\IR^3[/mm] begrenzt durch [mm]F[/mm] und zwei
> Kreissscheiben parallel zu [mm]x-y-[/mm]Ebene in Höhe [mm]z = 0[/mm] bzw. [mm]z = 1/2[/mm].
> Berechnen Sie
>
> [mm]\integral{\integral{\integral_{K}{div(f) }} dx}[/mm]
>
> möglichst mit dem Satz von Gauß und dem Ergebnis aus Teil
> a).
> Hallo,
>
> Aufgabe a) konnte ich noch lösen, hier ist die Lösung
> [mm]\integral{\integral_{F}{f \cdot n } dS} = -4\pi \ln 2 + \pi[/mm].
> Dieses Ergebnis stimmt auch, habe Werte zum vergleichen.
>
> Ich kenne auch schon das Ergebnis von der Aufgabe b), was
> mir allerdings nicht viel bringt, da ich diese nicht
> selbständig lösen kann. Mir fehlt hier der komplette
> Ansatz.
> Der Satz von Gauß ist
>
> [mm]\integral{\integral{\integral_{K}{div(f) }} dx} = \integral{\integral_{G}{f \cdot n } dS}[/mm]
>
> und das wars auch schon mit meinem Latein.
>
> Wie gehe ich bei so einer Aufgabe am Besten vor? Eigentlich
> muss ich doch nur noch den Fluss von Deckel und Boden
> berechnen oder? Wenn ja, wie mache ich das?
Parametrisiere die beiden Kreisscheiben, zum Beispiel
[mm] \phi_0(r,t) = (r \cos t, r \sin t, 0)^T,0 \le r \le 1, \ \ 0 \le t \le 2\pi[/mm].
(Überlege dir, warum die Scheibe den Radius 1 hat)
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
|
