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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:02 Mi 08.02.2012 | | Autor: | thadod |
Hallo zusammen.
Ich habe leider erneut ein kleines Problem mit folgender Aufgabe:
Ich soll [mm] \vec{v}(x,y,z)=(z^2, [/mm] zx, [mm] x^2y^2) [/mm] , [mm] S=\partial \{\ (x,y,z) \in \IR^3 | 0 \le z \le 3- \wurzel{x^2+y^2} \}\
[/mm]
Das Flussintegral soll ohne Gauss berechnet werden... Gegen jeden Willen habe ich zunächst dennoch mit Gauss, da es sich ja um einen geschlossen Körper (Kreiskegel) handelt.
Es ist ja sofort ersichtlich, dass [mm] div\vec{v}=0 [/mm] und somit das Flussintgral zu Null wird.
Wenn ich nun aber ohne Gauss rechner, dann erhalte ich folgendes:
A= [mm] \{\ (rcos\varphi, rsin\varphi, 0) \in \IR^3 | 0 \le r \le 3 , 0 \le \varphi \le 2\pi \}\
[/mm]
B= [mm] \{\ (rcos\varphi, rsin\varphi, 3-r) \in \IR^3 | 0 \le r \le 3 , 0 \le \varphi \le 2\pi \}\
[/mm]
wobei [mm] \partial [/mm] S=A [mm] \cup [/mm] B
Und demnach gilt [mm] \integral \integral_{\partial S} \vec{v} \vec{dO}= \integral \integral_A \vec{v} \vec{dO} [/mm] + [mm] \integral \integral_B \vec{v} \vec{dO}
[/mm]
Parametrisierung
[mm] \phi_A(r,\varphi)=\vektor{rcos\varphi \\ rsin\varphi \\ 0}
[/mm]
[mm] \phi_B(r,\varphi)=\vektor{rcos\varphi \\ rsin\varphi \\ 3-r}
[/mm]
[mm] \vec{v}(\phi_A(r,\varphi))=\vektor{0 \\ 0 \\ r^4cos^2\varphi sin^2\varphi}
[/mm]
[mm] \vec{v}(\phi_B(r,\varphi))=\vektor{9-6r+r^2 \\ 3rcos\varphi -r^2cos\varphi \\ r^4cos^2\varphi sin^2\varphi}
[/mm]
und für die Normalenvektor gilt:
[mm] \bruch{\partial \phi_A}{\partial r} \times \bruch{\partial \phi_A}{\partial \varphi}=\vektor{cos\varphi \\ sin\varphi \\ 0} \times \vektor{-rsin\varphi \\ rcos\varphi \\ 0}=\vektor{0 \\ 0 \\ r}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial \phi_B}{\partial r} \times \bruch{\partial \phi_B}{\partial \varphi}=\vektor{cos\varphi \\ sin\varphi \\ -1} \times \vektor{-rsin\varphi \\ rcos\varphi \\ 0}=\vektor{rcos\varphi \\ rsin\varphi \\ r}
[/mm]
Es gilt also demnach:
[mm] \integral_0^{2\pi} \integral_0^3 \left\langle \vektor{0 \\ 0 \\ r^4cos^2\varphi sin^2\varphi} , \vektor{0 \\ 0 \\ r} \right\rangle [/mm] dr [mm] d\varphi [/mm] + [mm] \integral_0^{2\pi} \integral_0^3 \left\langle \vektor{9-6r+r^2 \\ 3rcos\varphi -r^2cos\varphi \\ r^4cos^2\varphi sin^2\varphi} , \vektor{rcos\varphi \\ rsin\varphi \\ r} \right\rangle [/mm] dr [mm] d\varphi
[/mm]
Es gilt bekanntlich
[mm] \integral_0^{2\pi} cos^n\varphi=0 [/mm] für n=ungerade
[mm] \integral_0^{2\pi} sin^n\varphi=0 [/mm] für n=ungerade
Demnach ergibt sich nun:
[mm] \integral_0^{2\pi} \integral_0^3 r^5cos^2\varphi sin^2\varphi [/mm] dr [mm] d\varphi+\integral_0^{2\pi} \integral_0^3 r^5cos^2\varphi sin^2\varphi [/mm] dr [mm] d\varphi=2\integral_0^{2\pi} \integral_0^3 r^5cos^2\varphi sin^2\varphi [/mm] dr [mm] d\varphi=2 \integral_0^{2\pi} cos^2\varphi sin^2\varphi d\varphi \integral_0^3 r^5 [/mm] dr=243 [mm] \integral_0^{2\pi} cos^2\varphi sin^2\varphi [/mm] dvarphi = 243 [mm] |\bruch{\varphi}{8} [/mm] + [mm] \bruch{1}{16}sin(2\varphi) [/mm] - [mm] \bruch{1}{4}sin\varphi cos^3\varphi|_0^{2\pi}
[/mm]
Und das ist wiederum 243 [mm] \cdot (\bruch{\pi}{4})=\bruch{243}{4} \pi
[/mm]
Wieso aber stimmt meine erste Vermutung zum Satz von Gauss nun nicht mit der Rechnung OHNE SATZ VON GAUSS überein ???
mfg thadod
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> Hallo zusammen.
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> Ich habe leider erneut ein kleines Problem mit folgender
> Aufgabe:
>
> Ich soll [mm]\vec{v}(x,y,z)=(z^2,[/mm] zx, [mm]x^2y^2)[/mm] , [mm]S=\partial \{\ (x,y,z) \in \IR^3 | 0 \le z \le 3- \wurzel{x^2+y^2} \}\[/mm]
>
> Das Flussintegral soll ohne Gauss berechnet werden... Gegen
> jeden Willen habe ich zunächst dennoch mit Gauss, da es
> sich ja um einen geschlossen Körper (Kreiskegel) handelt.
>
> Es ist ja sofort ersichtlich, dass [mm]div\vec{v}=0[/mm] und somit
> das Flussintgral zu Null wird.
>
>
> Wenn ich nun aber ohne Gauss rechner, dann erhalte ich
> folgendes:
>
> A= [mm]\{\ (rcos\varphi, rsin\varphi, 0) \in \IR^3 | 0 \le r \le 3 , 0 \le \varphi \le 2\pi \}\[/mm]
>
> B= [mm]\{\ (rcos\varphi, rsin\varphi, 3-r) \in \IR^3 | 0 \le r \le 3 , 0 \le \varphi \le 2\pi \}\[/mm]
>
> wobei [mm]\partial[/mm] S=A [mm]\cup[/mm] B
>
> Und demnach gilt [mm]\integral \integral_{\partial S} \vec{v} \vec{dO}= \integral \integral_A \vec{v} \vec{dO}[/mm]
> + [mm]\integral \integral_B \vec{v} \vec{dO}[/mm]
>
> Parametrisierung
>
> [mm]\phi_A(r,\varphi)=\vektor{rcos\varphi \\ rsin\varphi \\ 0}[/mm]
>
> [mm]\phi_B(r,\varphi)=\vektor{rcos\varphi \\ rsin\varphi \\ 3-r}[/mm]
>
> [mm]\vec{v}(\phi_A(r,\varphi))=\vektor{0 \\ 0 \\ r^4cos^2\varphi sin^2\varphi}[/mm]
>
> [mm]\vec{v}(\phi_B(r,\varphi))=\vektor{9-6r+r^2 \\ 3rcos\varphi -r^2cos\varphi \\ r^4cos^2\varphi sin^2\varphi}[/mm]
>
> und für die Normalenvektor gilt:
>
> [mm]\bruch{\partial \phi_A}{\partial r} \times \bruch{\partial \phi_A}{\partial \varphi}=\vektor{cos\varphi \\ sin\varphi \\ 0} \times \vektor{-rsin\varphi \\ rcos\varphi \\ 0}=\vektor{0 \\ 0 \\ r}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial \phi_B}{\partial r} \times \bruch{\partial \phi_B}{\partial \varphi}=\vektor{cos\varphi \\ sin\varphi \\ -1} \times \vektor{-rsin\varphi \\ rcos\varphi \\ 0}=\vektor{rcos\varphi \\ rsin\varphi \\ r}[/mm]
>
> Es gilt also demnach:
>
> [mm]\integral_0^{2\pi} \integral_0^3 \left\langle \vektor{0 \\ 0 \\ r^4cos^2\varphi sin^2\varphi} , \vektor{0 \\ 0 \\ r} \right\rangle[/mm]
> dr [mm]d\varphi[/mm] + [mm]\integral_0^{2\pi} \integral_0^3 \left\langle \vektor{9-6r+r^2 \\ 3rcos\varphi -r^2cos\varphi \\ r^4cos^2\varphi sin^2\varphi} , \vektor{rcos\varphi \\ rsin\varphi \\ r} \right\rangle[/mm]
> dr [mm]d\varphi[/mm]
>
>
> Es gilt bekanntlich
>
> [mm]\integral_0^{2\pi} cos^n\varphi=0[/mm] für n=ungerade
> [mm]\integral_0^{2\pi} sin^n\varphi=0[/mm] für n=ungerade
>
>
> Demnach ergibt sich nun:
>
> [mm]\integral_0^{2\pi} \integral_0^3 r^5cos^2\varphi sin^2\varphi[/mm]
> dr [mm]d\varphi+\integral_0^{2\pi} \integral_0^3 r^5cos^2\varphi sin^2\varphi[/mm]
> dr [mm]d\varphi=2\integral_0^{2\pi} \integral_0^3 r^5cos^2\varphi sin^2\varphi[/mm]
> dr [mm]d\varphi=2 \integral_0^{2\pi} cos^2\varphi sin^2\varphi d\varphi \integral_0^3 r^5[/mm]
> dr=243 [mm]\integral_0^{2\pi} cos^2\varphi sin^2\varphi[/mm] dvarphi
> = 243 [mm]|\bruch{\varphi}{8}[/mm] + [mm]\bruch{1}{16}sin(2\varphi)[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{4}sin\varphi cos^3\varphi|_0^{2\pi}[/mm]
>
> Und das ist wiederum 243 [mm]\cdot (\bruch{\pi}{4})=\bruch{243}{4} \pi[/mm]
>
>
>
> Wieso aber stimmt meine erste Vermutung zum Satz von Gauss
> nun nicht mit der Rechnung OHNE SATZ VON GAUSS überein
> ???
>
> mfg thadod
Hallo thadod,
ich habe jetzt deine Rechnungen gar nicht durchgesehen.
Aber hast du daran gedacht, dass du den Normalenvektor
auf der gesamten Oberfläche nach außen richten musst ?
Auf der Bodenfläche also nach unten !
LG
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:24 Mi 08.02.2012 | | Autor: | thadod |
Hallo und danke...
Das mit dem Normalenvektor wurde mir nur leider unzureichend erklärt.
Nein ich habe nicht daran gedacht. Wenn es doch richtig sein sollte, dann habe ich nur unbewusst daran gedacht...
Meine Normalenvektor habe ich ja nun berechnet mit [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ r} [/mm] und [mm] \vektor{rcos\varphi \\ rsin\varphi \\ r}
[/mm]
Leider habe ich nun aber keine Ahnung, ob das so richtig ist...
mfg thadod
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> Hallo und danke...
>
> Das mit dem Normalenvektor wurde mir nur leider
> unzureichend erklärt.
>
> Nein ich habe nicht daran gedacht. Wenn es doch richtig
> sein sollte, dann habe ich nur unbewusst daran gedacht...
>
> Meine Normalenvektor habe ich ja nun berechnet mit
> [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ r}[/mm] und [mm]\vektor{r*cos\varphi \\ r*sin\varphi \\ r}[/mm]
>
> Leider habe ich nun aber keine Ahnung, ob das so richtig
> ist...
>
> mfg thadod
Eigentlich bräuchtest du doch wohl Normalen-Einheitsvektoren,
oder nicht ?
Und damit sie alle nach außen zeigen, sollten sie so
lauten:
[mm]\vektor{0 \\ 0 \\ -1}[/mm] und [mm]\vektor{w*cos\varphi \\ w*sin\varphi \\ w}[/mm]
wobei $\ w\ =\ [mm] \frac{\sqrt{2}}{2}$
[/mm]
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Fr 10.02.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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