Flussintegral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:07 So 18.11.2012 | | Autor: | mart1n |
| Aufgabe | Berechnen Sie das Flussintegral über die Kugel:
[mm] x^2+y^2+z^2=4 [/mm] mit z [mm] \varepsilon [\wurzel{3},2] [/mm] |
Hallo zusammen,
ich habe folgendes Problem:
Wir sollen das Flussintegral durch eine Kugelfläche bestimmen. Hierzu wollte ich den Satz von Gauss verwenden.
Die Divergenz ist hierbei: div(f)=4z
Zunächst habe die Berechnung mit Kugelkoordinaten durchgeführt. Mit der Funktionsdeterminante [mm] r^{2}*Sin(b) [/mm] und der Substitution z=r*Cos(b) komme ich auf ein Integral von:
[mm] \int _{\sqrt{3}}^2\int _0^{2\pi }\int _0^{\frac{\pi }{6}}4*r^3*\text{Cos}[b]*\text{Sin}[b] [/mm] db do dr = [mm] \frac{7 \pi }{4}
[/mm]
Um meine Rechnung zu Überprüfen habe ich das ganze nochmal im xy-System durchgerechnet mit folgednem Ergebnis:
[mm] \int _{\sqrt{3}}^2\int _{-\sqrt{4-z^2}}^{\sqrt{4-z^2}}\int _{-\sqrt{4-y^2-z^2}}^{\sqrt{4-y^2-z^2}}4*z [/mm] dx dy dz = [mm] \pi
[/mm]
Sieht jemand von euch meinen Fehler.
Schonmal danke im Vorraus,
mart1n
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:29 Di 20.11.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Berechnen Sie das Flussintegral über die Kugel:
> [mm]x^2+y^2+z^2=4[/mm] mit z [mm]\varepsilon [\wurzel{3},2][/mm]
> Hallo
> zusammen,
>
> ich habe folgendes Problem:
> Wir sollen das Flussintegral durch eine Kugelfläche
> bestimmen. Hierzu wollte ich den Satz von Gauss verwenden.
>
> Die Divergenz ist hierbei: div(f)=4z
wie sieht denn f aus?
>
> Zunächst habe die Berechnung mit Kugelkoordinaten
> durchgeführt. Mit der Funktionsdeterminante [mm]r^{2}*Sin(b)[/mm]
> und der Substitution z=r*Cos(b) komme ich auf ein Integral
Üblichierweise werden Kugelkoordinaten durch [mm] $(r\,\theta,\varphi)$ [/mm] beschrieben
> von:
> [mm]\int _{\sqrt{3}}^2\int _0^{2\pi }\int _0^{\frac{\pi }{6}}4*r^3*\text{Cos}[b]*\text{Sin}[b][/mm] [/b][/b][/mm]
> [mm][b][b]db do dr = [mm]\frac{7 \pi }{4}[/mm][/b][/b][/mm]
> [mm][b][b] [/b][/b][/mm]
Wie kommst Du auf diese Grenzen? Du willst das Volumen berechnen, also muss r von 0 bis 2 gehen. Deine z-Komponente geht von 0 bis 0,5 - in der Aufgabenstellung steht was anderes.
> [mm][b][b]Um meine Rechnung zu Überprüfen habe ich das ganze [/b][/b][/mm]
> [mm][b][b]nochmal im xy-System durchgerechnet mit folgednem [/b][/b][/mm]
> [mm][b][b]Ergebnis:[/b][/b][/mm]
> [mm][b][b] [mm]\int _{\sqrt{3}}^2\int _{-\sqrt{4-z^2}}^{\sqrt{4-z^2}}\int _{-\sqrt{4-y^2-z^2}}^{\sqrt{4-y^2-z^2}}4*z[/mm] [/b][/b][/mm]
> [mm][b][b]dx dy dz = [mm]\pi[/mm][/b][/b][/mm]
> [mm][b][b] [/b][/b][/mm]
> [mm][b][b]Sieht jemand von euch meinen Fehler.[/b][/b][/mm]
> [mm][b][b] [/b][/b][/mm]
> [mm][b][b]Schonmal danke im Vorraus,[/b][/b][/mm]
> [mm][b][b] mart1n [/b][/b][/mm]
Gruß,
notinX
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