Flussintegral über rot(v) < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:22 So 09.02.2014 | | Autor: | OneTwo7 |
| Aufgabe | Das Vektorfeld [mm] \vec{v} [/mm] sei gegeben durch:
[mm] \vec{v} [/mm] : [mm] \IR^3 \to \IR^3 [/mm] , (x,y,z) [mm] \mapsto (\vektor{xy \\ z-x \\ 3x^2 + 4z}
[/mm]
Weiterhin seien die Mengen K und M gegeben durch:
K = {(x,y,z) [mm] \in \IR^3 [/mm] | [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + [mm] z^2 [/mm] = 1, x [mm] \le [/mm] 0 },
M = {(x,y,z) [mm] \in \IR^3 [/mm] | x = 1 - [mm] y^2 [/mm] - [mm] z^2, y^2 [/mm] + [mm] z^2 \le [/mm] 1}.
(i) Skizzieren sie die Mengen M und K
(ii) Parametrisieren Sie die Randkurven von den Mengen M und K. Achten sie hierbei auf die richtige Orientierung.
(iii) bestimmen sie die Flussintegrale von [mm] rot(\vec{v} [/mm] über M und über K. |
(i) Beides Sind Halbsphären, beide zusammen bilden eine volle sphäre Radius 1
(ii) Die Parametrisierungen der Ränder:
[mm] \vec{\gamma_1} [/mm] (Parametrisierung K) : [mm] (\phi, \theta) \mapsto \vektor{cos \phi sin \theta \\ sin \phi sin \theta \\ cos \theta} [/mm] mit [mm] \phi \in[\bruch{1}{2} \pi, \bruch{3}{2} \pi] [/mm] , [mm] \theta \in [0,\pi]
[/mm]
[mm] \vec{\gamma_2} [/mm] (Parametrisierung M) : [mm] (\phi, \theta) \mapsto \vektor{cos \phi sin \theta \\ sin \phi sin \theta \\ cos \thetha} [/mm] mit [mm] \phi \in[0,\bruch{1}{2}\pi] [/mm] , [mm] \theta \in[0,2 \pi]
[/mm]
Zum Integrieren von [mm] rot(\vec{v}) [/mm] über K/M erstmal rotation berechnen:
[mm] rot(\vec{v}) [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ -6x \\ -1-x}
[/mm]
Dann ist nach [mm] \bruch{\partial\gamma_i}{\partial\phi} [/mm] und [mm] \bruch{\partial\gamma_i}{\partial\theta} [/mm] gefragt.
[mm] \bruch{\partial\gamma_1}{\partial\phi} [/mm] = [mm] \vektor{- sin\phi cos\theta \\ cos\phi sin\theta \\ 0}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial\gamma_1}{\partial\theta} [/mm] = [mm] \vektor{cos\phi cos\theta \\ sin\phi cos\theta \\ - sin\theta}
[/mm]
Anschließend versuche ich zu integrieren nach dem Schema:
[mm] \integral_{0}^{\pi}{\integral_{\bruch{1}{2}\pi}^{\bruch{3}{2}\pi}{det(rot(\vec{v} (\gamma_1(\phi,\theta)) ,\bruch{\partial\gamma_1}{\partial\phi},\bruch{\partial\gamma_1}{\partial\theta}) d\phi d\theta}}
[/mm]
Diese Determinante scheint jedoch unglaublich riesig zu werden, ich denke deswegen eben das ich irgendwo einen Fehler gemacht habe, normalerweise kürzt sich das alles immer schön bei diesen Aufgaben und ist Anwernderfreundlich...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:16 So 09.02.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
da steht, du sollst die Randkurven parametrisieren, du hast aber die flächen parametrisiert und versuchst darüber zu integrieren.
gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 So 09.02.2014 | | Autor: | OneTwo7 |
Mir ist der unterschied ehrlich gesagt nicht klar. Rechnerisch und Geometrisch...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:22 So 09.02.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
in der ersten aufgabe ist die Randkurve ein Kreis [mm] y^2+z^2=1 [/mm] in der x=0 Ebene. eine Kurve hängt immer nur von einem Parameter ab.
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 So 09.02.2014 | | Autor: | OneTwo7 |
Verstehe ich nicht ganz.
[mm] y^2 [/mm] + [mm] z^2 [/mm] = 1 sind doch auch 2 Variablen, ausserdem ist das doch nur die Grundfläche.
Worüber soll ich denn jetzt integrieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:18 So 09.02.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] y^2+z^2\le1 [/mm] wäre eine Fläche [mm] y^2+z^2=1 [/mm] ist eine Kurce, mit der einfachen Darstellung
[mm] \vec{c(t)}=\vektor{0 \\ cos(2\pi*t)\\ sin(2\pi*t)} [/mm] ; [mm] 0\le t\le [/mm] 1
(Rand: wenn du auf der Fläche rumläufst stüzzt du da ab oder kommst auf die andere Seite)
Wenn du eine Halbkugelförmiges Glas hättest, dann wüßtest du auch, was der Rand ist!
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 So 09.02.2014 | | Autor: | OneTwo7 |
Verstehe ich das Richtig, dass man zu geschlossenen Volumen keine Randkurven erstellen kann (z.B. Vollkugel)?
Bezüglich (iii): Kann ich den Satz von Stokes nutzen um das 1-dim Integral über die Randkurve zu nutzen oder geht das nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:52 So 09.02.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst zwischen Sphäre=Flache im [mm] R^3 [/mm] und Kugel bzw Vollkugel unterscheiden. die Vollkugel [mm] y^2+y^2+z^1\le r^2 [/mm] hat die Sphäre [mm] x^2+y^2+z^2=r^2 [/mm] als Randfläche, die geschlossene Sphäre hat keine Randkurve.
und ja, du kannst Stokes benutzen.
Gruß leduart
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