www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Folge
Folge < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Induktion"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:25 Do 24.04.2014
Autor: Hasi1

Aufgabe
zeigen sie für n [mm] \in \IN [/mm] und [mm] a_1, a_2, a_3, ..,a_n [/mm] >0

n [mm] \le \frac {a_{1}}{a_{n}}+\frac{a_{2}}{a_{1}}+\frac{a_{3}}{a_{2}}+...+\frac{a_{n}}{a_{n-1}} [/mm]

Hey :-)
meine Idee war hier, mit einer Induktion zum beginnen
Der Induktionsanfang ist klar: für n=1 gilt:
1 [mm] \le \frac {a_{1}}{a_{1}}+\frac{a_{2}}{a_{1}}+\frac{a_{3}}{a_{2}}+...+\frac{a_{1}}{a_{0}} [/mm]
und das ist aufjedenfall erfüllt, da n [mm] \in \IN [/mm] und schon der erste Summand =1 ist


allerdings hänge ich beim Induktionsschritt:

n+1 [mm] \le \frac {a_{1}}{a_{n+1}}+\frac{a_{2}}{a_{1}}+\frac{a_{3}}{a_{2}}+...+\frac{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm]
jetzt setze ich die IV) ein und es ist zu zeigen:
[mm] ({a_{1}}{a_{n}}+\frac{a_{2}}{a_{1}}+\frac{a_{3}}{a_{2}}+...+\frac{a_{n}}{a_{n-1}})+1 \le \frac {a_{1}}{a_{1}}+\frac{a_{2}}{a_{1}}+\frac{a_{3}}{a_{2}}+...+\frac{a_{1}}{a_{0}} [/mm]

[mm] \gdw \frac{a_{1}}{a_{n}}+1+\summe_{i=2}^{n}\frac{a_{i}}{a_{i-1}} \le \frac{a_{1}}{a_{n+1}} [/mm] + [mm] frac{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] + [mm] \summe_{i=2}^{n}\frac{a_{i}}{a_{i-1}} [/mm]

[mm] \gdw \frac{a_{1}}{a_{n}}+1 \le \frac{a_{1}}{a_{n+1}} [/mm] + [mm] frac{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm]


allerdings komme ich ab hier vorne und hinten nicht mehr weiter, egal wie ich umforme. kann mir jemand von euch eventuell weiterhelfen. Ich würde mich sehr freuen :-)


LG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Folge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:04 Do 24.04.2014
Autor: Sax

Hi,

den Induktionsanfang musst du noch mal überarbeiten und im Rest einige Schreibfehler korrigieren, ansonsten ist es richtig , kann aber nicht zum Ziel führen, weil die letzte (zu zeigende) Ungleichung für n=2, [mm] a_1=1, a_2=4 [/mm] und [mm] a_3=2 [/mm] nicht erfüllt ist.

Gruß Sax.
Bezug
        
Bezug
Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:28 Do 24.04.2014
Autor: abakus


> zeigen sie für n [mm]\in \IN[/mm] und [mm]a_1, a_2, a_3, ..,a_n[/mm] >0

>
> n [mm]\le \frac {a_{1}}{a_{n}}+\frac{a_{2}}{a_{1}}+\frac{a_{3}}{a_{2}}+...+\frac{a_{n}}{a_{n-1}}[/mm]

>
> Hey :-)
> meine Idee war hier, mit einer Induktion zum beginnen
> Der Induktionsanfang ist klar: für n=1 gilt:
> 1 [mm]\le \frac {a_{1}}{a_{1}}+\frac{a_{2}}{a_{1}}+\frac{a_{3}}{a_{2}}+...+\frac{a_{1}}{a_{0}}[/mm]

>
> und das ist aufjedenfall erfüllt, da n [mm]\in \IN[/mm] und schon
> der erste Summand =1 ist

>
>
> allerdings hänge ich beim Induktionsschritt:

>
> n+1 [mm]\le \frac {a_{1}}{a_{n+1}}+\frac{a_{2}}{a_{1}}+\frac{a_{3}}{a_{2}}+...+\frac{a_{n+1}}{a_{n}}[/mm]

>
> jetzt setze ich die IV) ein und es ist zu zeigen:

>
> [mm]({a_{1}}{a_{n}}+\frac{a_{2}}{a_{1}}+\frac{a_{3}}{a_{2}}+...+\frac{a_{n}}{a_{n-1}})+1 \le \frac {a_{1}}{a_{1}}+\frac{a_{2}}{a_{1}}+\frac{a_{3}}{a_{2}}+...+\frac{a_{1}}{a_{0}}[/mm]

>
> [mm]\gdw \frac{a_{1}}{a_{n}}+1+\summe_{i=2}^{n}\frac{a_{i}}{a_{i-1}} \le \frac{a_{1}}{a_{n+1}}[/mm]
> + [mm]frac{a_{n+1}}{a_{n}}[/mm] +
> [mm]%5Csumme_%7Bi%3D2%7D%5E%7Bn%7D%5Cfrac%7Ba_%7Bi%7D%7D%7Ba_%7Bi-1%7D%7D[/mm]

>
> [mm]\gdw \frac{a_{1}}{a_{n}}+1 \le \frac{a_{1}}{a_{n+1}}[/mm] +
> [mm]frac%7Ba_%7Bn%2B1%7D%7D%7Ba_%7Bn%7D%7D[/mm]

>
>
> allerdings komme ich ab hier vorne und hinten nicht mehr
> weiter, egal wie ich umforme. kann mir jemand von euch
> eventuell weiterhelfen. Ich würde mich sehr freuen :-)

>
>
> LG
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Hallo,
eine Zwischenfrage: Steht die Ungleichung über die Beziehung zweischen arithmetischem und geometrischem Mittel von jeweils n Zahlen zur Verfügung?
Dann wird die Aufgabe äußerst simpel.
Gruß Abakus
Bezug
                
Bezug
Folge: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:16 Do 24.04.2014
Autor: Hasi1

Hey

>  > [mm]\gdw \frac{a_{1}}{a_{n}}+1+\summe_{i=2}^{n}\frac{a_{i}}{a_{i-1}} \le \frac{a_{1}}{a_{n+1}}[/mm]

>  
> > + [mm]frac{a_{n+1}}{a_{n}}[/mm] +
>  >

> [mm]%5Csumme_%7Bi%3D2%7D%5E%7Bn%7D%5Cfrac%7Ba_%7Bi%7D%7D%7Ba_%7Bi-1%7D%7D[/mm]
>  >
>  > [mm]\gdw \frac{a_{1}}{a_{n}}+1 \le \frac{a_{1}}{a_{n+1}}[/mm] +

>  > [mm]frac%7Ba_%7Bn%2B1%7D%7D%7Ba_%7Bn%7D%7D[/mm]


ich verstehe leider nicht was du hier meinst. kannst du mir dies eventuell nochmal verdeutlichen?


>  >
>  >

>  Hallo,
>  eine Zwischenfrage: Steht die Ungleichung über die
> Beziehung zweischen arithmetischem und geometrischem Mittel
> von jeweils n Zahlen zur Verfügung?
>  Dann wird die Aufgabe äußerst simpel.

leider nein :-(

Bezug
                        
Bezug
Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:17 Do 24.04.2014
Autor: leduart

Hallo
arithmetisches Mittel' [mm] AM=\bruch{\summe_{i=1}^{n} a_i}{n} [/mm]

geometrisches Mittel GM= [mm] \wurzel[n]{\produkt_{i=1}^{n}a_i} [/mm]

Ungleichung [mm] GM\leq [/mm] AM
die Frage war ob ir das schon hattet?
Gruß leduart

Bezug
                                
Bezug
Folge: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:46 Sa 26.04.2014
Autor: Hasi1

Hey
ja das hatten wir schon. aber in wie weit hilft mir dies hier weiter? :-)

LG
Bezug
                                        
Bezug
Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:51 Sa 26.04.2014
Autor: abakus


> Hey
> ja das hatten wir schon. aber in wie weit hilft mir dies
> hier weiter? :-)

>
> LG

Hallo,
das Produkt der ganzen Brüche ist 1, denn es kürzt sich alles weg.
Wie groß ist dann die n-te Wurzel dieses Produkts (und was stellt die n-te Wurzel dieses Produkts dar)?
Gruß Abakus
Bezug
                                                
Bezug
Folge: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:31 Sa 26.04.2014
Autor: Hasi1

Hey

aber wieso ist das Produkt der Brüche =1 ?
denn wenn ich beispielsweise
[mm] \frac{a_2}{a_1}+ \frac{a_3}{a_2} [/mm] addiere und nennergleich mache erhalte ich:
[mm] \frac{a_{2}*a_{2}+a_{3}*a_{1}}{a_{2}*a_{1}} [/mm] und hier kann ich ja auch nicht viel kürzen


>  Wie groß ist dann die n-te Wurzel dieses Produkts

die wäre ja dann =1

>und was stellt die n-te Wurzel dieses Produkts dar?
das geometrische Mittel, oder?

aber wie hängt =n (also die linke Seite) dann mit dem arithmetischen Mittel zusammen?


LG


Bezug
                                                        
Bezug
Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:41 Sa 26.04.2014
Autor: leduart

Hallo
du fasst deine Summe der Brüche als n* ihr arithmetisches Mittel auf, dann bildest du das geometrische Mittel aus den Brüchen, das ist nte Wurzel aus ihrem Produkt.
du sollst NICHT  die Summe umformen!
Gruss leduart
Bezug
                                                                
Bezug
Folge: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:45 Sa 26.04.2014
Autor: Hasi1

Hey
es tut mir echt leid, aber ich stehe echt am Schlauch was gemeint ist. Wie soll ich die Summe denn als n * ihr arithmtisches Mittel auffassen bzw. dann umformen?


LG
Bezug
                                                                        
Bezug
Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:48 Sa 26.04.2014
Autor: leduart

Hallo
wie bildest du denn das arithmetische Mittel der  Zahlen [mm] b_1= a_1/an; b_2=a_2/a_1, b_2=a_2/a_2...... b_n= [/mm]
und wie ihr geometrisches Mittel?
Gruss leduart
Bezug
                                                                                
Bezug
Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:03 Sa 26.04.2014
Autor: Hasi1

Hey
also das arithmetische:
[mm] \frac{\frac{a_{1}}{a_{n}}+..+\frac{a_n}{a_{n-1}}}{n} [/mm]

und das geometrische:
[mm] \wurzel[n]\frac{a_{1}}{a_{n}}+..+\frac{a_n}{a_{n-1}} [/mm]

oder ist das falsch?

nur wieso ergibt das =1?

LG :-)
Bezug
                                                                                        
Bezug
Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:08 Sa 26.04.2014
Autor: leduart

Hallo
jeder Zähler im Produkt tritt auch im Nenner auf! dann kürzen die meisten!
Gruß leduart
Bezug
                                                                                                
Bezug
Folge: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:57 Sa 26.04.2014
Autor: Hasi1

Hey
aber aus einer Summe darf ich doch nicht kürzen. Wie kann es dann sein, dass ich die Summen im Zähler [mm] (a_{1}, [/mm] ...)
mit den Summen im Nenner [mm] (a_{1}...) [/mm] kürzen darf?


LG
Bezug
                                                                                                        
Bezug
Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:04 Sa 26.04.2014
Autor: leduart

Hallo
du liest die posts nicht richtig. es geht um das geometrische Mittel deiner Brüche! da kommt keine Summe vor!
Gruß leduart
Bezug
                                                                                                                
Bezug
Folge: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:16 Sa 26.04.2014
Autor: Hasi1

Hey
doch ich lese sie richtig und schreibe mir das alles auch auf. Allerdings verstehe ich nicht, was es genau bringt wenn ich alle Summanden durch n teile (arith. Mittel) oder die n-te Wurzel ziehe?


LG
Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:33 Sa 26.04.2014
Autor: leduart

Hallo
geh zu deinem ursprünglichen Anliegen  n< [mm] \summe_{i=1}^{n}... [/mm]
zurück, dividiere  di Ungleichung durch n, dann steht rechts das aritmetische Mittel der Brüche, links 1= geometrisches Mittel der Brüche und du bist fertig.
du hast dein Ziel aus den Augen verloren!
Gruss leduart
Bezug
                                                                                                                                
Bezug
Folge: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:08 So 27.04.2014
Autor: Hasi1

Hey
danke für deine Geduld, ich denke ich verstehe was gemeint ist. die n-te Wurzel ( also das geometrische Mittel) von 1 ist ja schließlich 1. Allerding verstehe ich noch nicht wieso die Brüche addiert alle zusammen 1 geben. Kannst du mir das vielleicht erklären?


LG
Bezug
                                                                                                                                        
Bezug
Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:47 So 27.04.2014
Autor: abakus


> Hey
> danke für deine Geduld, ich denke ich verstehe was
> gemeint ist. die n-te Wurzel ( also das geometrische
> Mittel) von 1 ist ja schließlich 1. Allerding verstehe ich
> noch nicht wieso die Brüche addiert alle zusammen 1 geben.

Das hat keiner behauptet.
Das PRODUKT der Brüche [mm]\frac{a_1}{a_2}[/mm],  [mm]\frac{a_2}{a_3}[/mm],  [mm]\frac{a_3}{a_4}[/mm],..., [mm]\frac{a_n}{a_1}[/mm] ergibt 1.

Dann ist die n-te Wurzel dieses Produkts (also das geometrische Mittel der Brüche) auch 1.

Das arithmetische Mittel der Brüche ist [mm] \frac{\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\frac{a_3}{a_4}+...+\frac{a_n}{a_1}}{n}[/mm] und darf niemals kleiner sein als das geometrische Mittel dieser Brüche (welches 1 beträgt). DESHALB gilt [mm] \frac{\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\frac{a_3}{a_4}+...+\frac{a_n}{a_1}}{n}\ge1[/mm].
Daraus folgt die zu beweisende Aussage.
Gruß Abakus
> Kannst du mir das vielleicht erklären?

>
>
> LG
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Induktion"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de