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Folge: Konvergenz oder Divergenz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:52 Mi 04.04.2007
Autor: barsch

Aufgabe
Konvergiert oder divergiert die Folge

[mm] a_{n}:=\bruch{2}{3}+\bruch{(11-n)^{9}}{(9-n)^{9}} [/mm]

Hi,

hier mangelt es mir schon am Verständnis der Herangehensweise. Vielleicht kann mir das mal jmd. genau erklären?!

Danke

MfG

        
Bezug
Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:59 Mi 04.04.2007
Autor: wauwau

[mm]a_{n}:=\bruch{2}{3}+\bruch{(11-n)^{9}}{(9-n)^{9}}[/mm]

[mm] \bruch{2}{3}+\bruch{n^9*(\bruch{11}{n}-1)^{9}}{n^9*(\bruch{9}{n}-1)^{9}} [/mm]

[mm] \bruch{2}{3}+\bruch{(\bruch{11}{n}-1)^{9}}{(\bruch{9}{n}-1)^{9}} [/mm]

jetz konvergiert der Zähler - 11/n konvergiert gegen 0 -gegen [mm] -1^9 [/mm] = -1 und der Nenner ebenfalls
also insgesamt konvergiert das ganze gegen - [mm] \bruch{1}{3} [/mm]

Bezug
                
Bezug
Folge: Ergebnis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:36 Mi 04.04.2007
Autor: barsch

Hallo,

vielen Dank für die schnelle Antwort.

Ich habe aber noch mal eine Frage zum Ergebnis.

Folgendes verstehe ich:

> [mm] \bruch{2}{3}+\bruch{(\bruch{11}{n}-1)^{9}}{(\bruch{9}{n}-1)^{9}} [/mm]

Wenn ich jetzt hieran weiter anknüpfe:

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2}{3}+\bruch{(\bruch{11}{n}-1)^{9}}{(\bruch{9}{n}-1)^{9}}, [/mm]

>jetz konvergiert der Zähler - 11/n konvergiert gegen 0 -gegen $ [mm] -1^9 [/mm] $ = -1 und der Nenner ebenfalls

Das verstehe ich auch, aber...

>also insgesamt konvergiert das ganze gegen - $ [mm] \bruch{1}{3} [/mm] $

...das verstehe ich nicht [keineahnung]

Wenn ich das von oben mal weiterführe:

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2}{3}+\bruch{(\bruch{11}{n}-1)^{9}}{(\bruch{9}{n}-1)^{9}} [/mm]

aus den oben angeführten Überlegungen [mm] \Rightarrow [/mm]

[mm] \bruch{2}{3}+\bruch{(-1)^{9}}{(-1)^{9}}=\bruch{2}{3}+\bruch{(-1)}{(-1)}=\bruch{2}{3}+1=1\bruch{2}{3} [/mm]

Wo ist mein Denkfehler?

MfG

Bezug
                        
Bezug
Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:42 Mi 04.04.2007
Autor: schachuzipus


> Hallo,
>  
> vielen Dank für die schnelle Antwort.
>
> Ich habe aber noch mal eine Frage zum Ergebnis.
>  
> Folgendes verstehe ich:
>  
> >
> [mm]\bruch{2}{3}+\bruch{(\bruch{11}{n}-1)^{9}}{(\bruch{9}{n}-1)^{9}}[/mm]
>  
> Wenn ich jetzt hieran weiter anknüpfe:
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2}{3}+\bruch{(\bruch{11}{n}-1)^{9}}{(\bruch{9}{n}-1)^{9}},[/mm]
>  
> >jetz konvergiert der Zähler - 11/n konvergiert gegen 0
> -gegen [mm]-1^9[/mm] = -1 und der Nenner ebenfalls
>
> Das verstehe ich auch, aber...
>  
> >also insgesamt konvergiert das ganze gegen - [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>  
> ...das verstehe ich nicht [keineahnung]
>  
> Wenn ich das von oben mal weiterführe:
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2}{3}+\bruch{(\bruch{11}{n}-1)^{9}}{(\bruch{9}{n}-1)^{9}}[/mm]
>  
> aus den oben angeführten Überlegungen [mm]\Rightarrow[/mm]
>  
> [mm]\bruch{2}{3}+\bruch{(-1)^{9}}{(-1)^{9}}=\bruch{2}{3}+\bruch{(-1)}{(-1)}=\bruch{2}{3}+1=1\bruch{2}{3}[/mm] [daumenhoch]
>  
> Wo ist mein Denkfehler?

nirgends

>  
> MfG

Hallo barsch,

du hast recht, war wohl ein kleiner Überseher.

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                
Bezug
Folge: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:45 Mi 04.04.2007
Autor: barsch

Hi,

jetzt ist mir ein [lichtaufgegangen] aufgegangen.

Danke.


Gruß

barsch

Bezug
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