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| Aufgabe | | Testen Sie die angegebene Folge [mm] $(an)_{n \in \IN}$ [/mm] auf Konvergenz. |
Hi,
ich habe die Aufgabe versucht zu lösen, hänge aber beim arctan(n) da ich mir hier nicht sicher bin, ob das stimmt was ich raus habe, bzw. wie ich es auch begründen soll:
[mm] $a_n=\bruch{n+2+cos(n)}{n*arctan(n)}$
[/mm]
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} a_n=\bruch{n+2+cos(n)}{n*arctan(n)}$ [/mm] erweitert mit [mm] $\bruch{1}{n}$
[/mm]
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} a_n=\bruch{1+2*\bruch{1}{n}+cos(n)*\bruch{1}{n}}{arctan(n)}$
[/mm]
[mm] $a_n=\bruch{1+2*0+cos(\infty)*0}{arctan(\infty)}$
[/mm]
[mm] $a_n=\bruch{1}{\red{arctan(\infty)}}$
[/mm]
Der arctan hat einen ![[]](/images/popup.gif) solchen Verlauf Das heißt er schneidet die x-Achse immer bei [mm] \bruch{\pi}{2},\bruch{3 \pi}{2}... [/mm]
Null darf er nicht werden, da er unter dem Bruch steht.
Auch wenn ich das mit dem Taschenrechner für beliebig große Werte versuche, gibt es keinen Grenzwert. Er verhält sich wie ein sind, cos, der einfach nur "springt" aber nie einen festen Wert annimmt.
Stimmt das so?
Danke
Grüße Thomas
ana1_15.pdf : Aufgabe15.1 , a
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:51 Mo 04.06.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Testen Sie die angegebene Folge [mm](an)_{n \in \IN}[/mm] auf
> Konvergenz.
> ich habe die Aufgabe versucht zu lösen, hänge aber beim
> arctan(n) da ich mir hier nicht sicher bin, ob das stimmt
> was ich raus habe, bzw. wie ich es auch begründen soll:
>
> [mm]a_n=\bruch{n+2+cos(n)}{n*arctan(n)}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n=\bruch{n+2+cos(n)}{n*arctan(n)}[/mm]
> erweitert mit [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n=\bruch{1+2*\bruch{1}{n}+cos(n)*\bruch{1}{n}}{arctan(n)}[/mm]
>
> [mm]a_n=\bruch{1+2*0+cos(\infty)*0}{arctan(\infty)}[/mm]
>
> [mm]a_n=\bruch{1}{\red{arctan(\infty)}}[/mm]
>
>
> Der arctan hat einen
> solchen Verlauf
Nee, der arctan hat einen anderen Verlauf, der hat waagerechte Asymptoten, und deswegen existiert der Grenzwert.
arctan ist auf deinem Taschenrechner (vermutlich) [mm] tan^{-1}.
[/mm]
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Guten Morgen Dieter,
ok dann stimmt das Bild nicht! Ich hatte das zuvor in Derive gezeichnet und da hab ich folgendes Bild herausbekomme:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich muss die Aufgabe ohne Taschenrecher lösen können, da wir in der Klausur auch keinen bekommen --> Falls da ein Grenzwert in Form einer Zahl [mm] \in \IR [/mm] existiert, brauch ich das sicher nicht ausrechnen, muss dann nur sagen gegen 0, [mm] -\infty, \infty
[/mm]
Also wenn ich mir das Bild anschaue dann läuft der [mm] atan(\infty) [/mm] --> [mm] \infty, [/mm] in meinem Fall würde er dann gegen 0 laufen, da wir [mm] 1/atan(\infty) [/mm] haben.
Was mich aber wundert, ist wenn ich den atan(x) in meinem Taschenrechner eingebe, dann komme ich nie größer als 89,999...
Könntest du oder jemand anders mir sagen ob das stimmt bzw. wenn das nicht stimmt, zu dem prinzipiellen Verlauf des atan(x) etwas sagen?
Danke
Grüße
> Guten Morgen!
>
> > Testen Sie die angegebene Folge [mm](an)_{n \in \IN}[/mm] auf
> > Konvergenz.
>
> > ich habe die Aufgabe versucht zu lösen, hänge aber beim
> > arctan(n) da ich mir hier nicht sicher bin, ob das stimmt
> > was ich raus habe, bzw. wie ich es auch begründen soll:
> >
> > [mm]a_n=\bruch{n+2+cos(n)}{n*arctan(n)}[/mm]
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n=\bruch{n+2+cos(n)}{n*arctan(n)}[/mm]
> > erweitert mit [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n=\bruch{1+2*\bruch{1}{n}+cos(n)*\bruch{1}{n}}{arctan(n)}[/mm]
>
> >
> > [mm]a_n=\bruch{1+2*0+cos(\infty)*0}{arctan(\infty)}[/mm]
> >
> > [mm]a_n=\bruch{1}{\red{arctan(\infty)}}[/mm]
> >
> >
> > Der arctan hat einen
> > solchen Verlauf
>
> Nee, der arctan hat einen anderen Verlauf, der hat
> waagerechte Asymptoten, und deswegen existiert der
> Grenzwert.
>
> arctan ist auf deinem Taschenrechner (vermutlich)
> [mm]tan^{-1}.[/mm]
>
> Gruß aus HH-Harburg
> Dieter
>
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:15 Mo 04.06.2007 | | Autor: | statler |
Hi!
> Ich muss die Aufgabe ohne Taschenrecher lösen können, da
> wir in der Klausur auch keinen bekommen --> Falls da ein
> Grenzwert in Form einer Zahl [mm]\in \IR[/mm] existiert, brauch ich
> das sicher nicht ausrechnen, muss dann nur sagen gegen 0,
> [mm]-\infty, \infty[/mm]
>
> Also wenn ich mir das Bild anschaue dann läuft der
> [mm]atan(\infty)[/mm] --> [mm]\infty,[/mm] in meinem Fall würde er dann gegen
> 0 laufen, da wir [mm]1/atan(\infty)[/mm] haben.
Paß auf, der arctan ist der an x = y gespiegelte mittlere Zweig des tan. Seine beiden waagerechten Asymptoten sind y = [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] und y = [mm] -\bruch{\pi}{2}. [/mm] Für n [mm] \to \infty [/mm] ergibt sich also [mm] \bruch{\pi}{2}.
[/mm]
> Was mich aber wundert, ist wenn ich den atan(x) in meinem
> Taschenrechner eingebe, dann komme ich nie größer als
> 89,999...
Dein TR rechnet in °, wir rechnen hier in Bogenmaß!
Gruß
Dieter
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Hi Dieter,
danke für die Hilfe!
Also stimmt das Bild, das ich mit Derive gezeichnet habe nicht?
Kannst du mir einen Verlauf des tan und arctan zeigen, dass ich es mir vorstellen kann? Ich weiß ehrlich gesagt nicht wie der aussieht.
Danke
Grüße Thomas
> Hi!
>
> > Ich muss die Aufgabe ohne Taschenrecher lösen können, da
> > wir in der Klausur auch keinen bekommen --> Falls da ein
> > Grenzwert in Form einer Zahl [mm]\in \IR[/mm] existiert, brauch ich
> > das sicher nicht ausrechnen, muss dann nur sagen gegen 0,
> > [mm]-\infty, \infty[/mm]
> >
> > Also wenn ich mir das Bild anschaue dann läuft der
> > [mm]atan(\infty)[/mm] --> [mm]\infty,[/mm] in meinem Fall würde er dann gegen
> > 0 laufen, da wir [mm]1/atan(\infty)[/mm] haben.
>
> Paß auf, der arctan ist der an x = y gespiegelte mittlere
> Zweig des tan. Seine beiden waagerechten Asymptoten sind y
> = [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] und y = [mm]-\bruch{\pi}{2}.[/mm] Für n [mm]\to \infty[/mm]
> ergibt sich also [mm]\bruch{\pi}{2}.[/mm]
>
> > Was mich aber wundert, ist wenn ich den atan(x) in meinem
> > Taschenrechner eingebe, dann komme ich nie größer als
> > 89,999...
>
> Dein TR rechnet in °, wir rechnen hier in Bogenmaß!
>
> Gruß
> Dieter
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:07 Mo 04.06.2007 | | Autor: | statler |
Hi!
> Also stimmt das Bild, das ich mit Derive gezeichnet habe
> nicht?
Doch, aber die Einheiten sind ungeschickt! Nimm von -5 bis +5 auf der x-Achse und von -2 bis +2 auf der y-Achse.
Andere Möglichkeit: Nimm in deinem ursprünglichen Bild die Kurve, die durch den Nullpunkt geht, und radier den Rest aus. Diese (Teil-)Kurve spiegelst du an der Winkelhalbierenden y = x, dann geht sie nicht mehr von unten nach oben, sondern von links nach rechts.
Oder guck hier!
Gruß
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:24 Mo 04.06.2007 | | Autor: | KnockDown |
Hi Dieter,
danke! Das Bild ist super! Also das kann ich aber nicht unbedingt im Kopf ausrechnen bis zum "Schluss"!
Danke!
Grüße Thomas
> Hi!
>
> > Also stimmt das Bild, das ich mit Derive gezeichnet habe
> > nicht?
>
> Doch, aber die Einheiten sind ungeschickt! Nimm von -5 bis
> +5 auf der x-Achse und von -2 bis +2 auf der y-Achse.
>
> Andere Möglichkeit: Nimm in deinem ursprünglichen Bild die
> Kurve, die durch den Nullpunkt geht, und radier den Rest
> aus. Diese (Teil-)Kurve spiegelst du an der
> Winkelhalbierenden y = x, dann geht sie nicht mehr von
> unten nach oben, sondern von links nach rechts.
>
> Oder guck hier!
>
> Gruß
> Dieter
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![[]](http://de.wikipedia.org/wiki/Bild:Tangens_Kotangens.PNG){kind=small}
solchen Verlauf