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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:02 Do 22.01.2009 | | Autor: | physicus |
| Aufgabe | Zeige:
[mm] \produkt_{i=2}^{n} (1-\bruch{1}{n^2}) \to \bruch{1}{2} [/mm] für n [mm] \to [/mm] Unendlich
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Mir ist klar, dass man hier ein Teleskopprodukt anwenden muss. Wenn man 3er Gruppen bidlet, sieht man, dass sich alles schön rauskürzt. z.B.
n=1,2,3
[mm] \bruch{3}{4}*\bruch{8}{9}*\bruch{15}{16} [/mm] = [mm] 1*1*\bruch{5}{8}
[/mm]
die [mm] \bruch{5}{8} [/mm] streichen sich dann wieder weg mit n=3,4,5. Also kommt es nur auf die letzten 3 Glieder an. Für diese erhlate ich allerdings einen falschen Limes. Wie komme ich dann auf die [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo physicus,
das ist ein bisschen wirr. Steht in der Aufgabe wirklich i=2? Taucht das i im Produkt wirklich nicht auf? Du rechnest ja so, als ob es das täte.
In jedem Fall dürfte die folgende Zerlegung von Nutzen sein:
[mm] \left(1-\bruch{1}{k^2}\right)=\bruch{k+1}{k}*\bruch{k-1}{k}
[/mm]
Ich verstehe auch nicht, was Du da rechnest: 1,2,3... - wenn Dein i=2 stimmt, ist n=1 ein nicht erlaubter Fall. Die Rechnung führt aber auch i=2,3,4 für die Formel mit [mm] \bruch{1}{i^2} [/mm] vor. Wieso kürzt sich dann [mm] \bruch{5}{8} [/mm] weg? Hast Du das auch für größere Zahlen probiert oder nur das "Gesetz der kleinen Zahl" ermittelt? Wie ist es denn bei 17,18,19 etc.?
Wenn Du wirklich meinst, dass sich in einem Teleskopprodukt "fast alles" weggkürzt, dann stell dafür mal eine allgemeine Regel auf.
Liebe Grüße,
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:57 Do 22.01.2009 | | Autor: | physicus |
Entschuldiung, das war mein Fehler. Natürlich sollte da stehen
[mm] \produkt_{i=2}^{n} (1-\bruch{1}{i^2})
[/mm]
Deine Zerlegung habe ich auch vorgenommen, bin damit aber auch nicht weitergekommen.
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> Entschuldiung, das war mein Fehler. Natürlich sollte da
> stehen
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> [mm]\produkt_{i=2}^{n} (1-\bruch{1}{i^2})[/mm]
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> Deine Zerlegung habe ich auch vorgenommen, bin damit aber
> auch nicht weitergekommen.
>
Hallo,
wenn Du Hilfe möchtest, solltest Du mal genau zeigen, was Du getan hast.
Gruß v. Angela
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