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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:26 Mo 15.11.2010 | | Autor: | Nerix |
| Aufgabe | Vor: [mm] a_{0} [/mm] = 0 , [mm] a_{1} [/mm] = 1 , [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} (a_{n-1} [/mm] + [mm] a_{n-2})
[/mm]
zu zeigen: [mm] a_{n} [/mm] - [mm] \bruch{2}{3} [/mm] = [mm] \bruch{2}{3} \bruch{(-1)^{n-1}}{2^{n}} [/mm] |
Hallo,
komme einfach nicht drauf...Habe bis jetzt:
[mm] a_{n} [/mm] - [mm] \bruch{2}{3} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} (a_{n-1} [/mm] + [mm] a_{n-2}) [/mm] - [mm] \bruch{2}{3} [/mm] = - [mm] \bruch{3a_{n-1}+3a_{n-2}-4 }{6}
[/mm]
aber ich komme nicht weiter...kann bitte wer helfen??
danke
Nerix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:31 Mo 15.11.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Das ist lediglich nen bisschen Bruchrechnung.
$ [mm] \bruch{1}{2}(a_{n-1}+a_{n-2})-\bruch{2}{3} [/mm] $
$ [mm] \bruch{a_{n-1}+a_{n-2}}{2}-\bruch{2}{3} [/mm] $
$ [mm] \bruch{3(a_{n-1}+a_{n-2})}{6}-\bruch{4}{6} [/mm] $
Den Rest schaffst du jetzt selber 
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:36 Mo 15.11.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
...ist klar im Vorteil.
Ich hab die Frage zu schnell und falsch gelesen, und zwar so, dass du nur die Umformung nicht hinbekommst.
Marius
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:33 Mo 15.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Vor: [mm]a_{0}[/mm] = 0 , [mm]a_{1}[/mm] = 1 , [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2} (a_{n-1}[/mm]
> + [mm]a_{n-2})[/mm]
>
> zu zeigen: [mm]a_{n}[/mm] - [mm]\bruch{2}{3}[/mm] = [mm]\bruch{2}{3} \bruch{(-1)^{n-1}}{2^{n}}[/mm]
>
> Hallo,
>
> komme einfach nicht drauf...Habe bis jetzt:
> [mm]a_{n}[/mm] - [mm]\bruch{2}{3}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2} (a_{n-1}[/mm] + [mm]a_{n-2})[/mm]
> - [mm]\bruch{2}{3}[/mm] = - [mm]\bruch{3a_{n-1}+3a_{n-2}-4 }{6}[/mm]
>
> aber ich komme nicht weiter...kann bitte wer helfen??
Tipp: Induktion
FRED
>
> danke
> Nerix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:46 Mo 15.11.2010 | | Autor: | Nerix |
Hallo,
Induktion....Ich könnte schon zeigen,das [mm] a_{n} [/mm] mit induktionsanfang 0 und 1 geht und dann kann ich auch die Induktionsschritte nach n+1 und n+2 zeigen. aber was hilft mir des??will ja [mm] a_{n}-\bruch{2}{3} [/mm] beweisen....
sind die Umformungen so wie ich sie gemacht habe dann unnötig??
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:54 Mo 15.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Mach den Induktionsanfang für n=0 und n=1.
IV: Sei n [mm] \in \IN [/mm] und es gelte: $ [mm] a_{k} [/mm] $ - $ [mm] \bruch{2}{3} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{2}{3} \bruch{(-1)^{k-1}}{2^{k}} [/mm] $ für k=n-1 und k=n
n [mm] \to [/mm] n+1:
[mm] a_{n+1}=1/2(a_n+a_{n-1})= [/mm] .... jetzt IV und Du
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:57 Mo 15.11.2010 | | Autor: | Nerix |
Hallo Fred97,
erst mal danke,glaub ich weiß jetzt wo ich hin muss! werde das heute rechnen und abends online posten. Muss jetzt nur wieder Vorlesung  ))
Danke erstmal
Nerix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:27 Mo 15.11.2010 | | Autor: | Nerix |
Hallo,
so nun meine Arbeit:
Induktionsanfang: [mm] n_{0} [/mm] = 0
[mm] a_{0} [/mm] - [mm] \bruch{2}{3} [/mm] = 0 - [mm] \bruch{2}{3} [/mm] = - [mm] \bruch{2}{3} [/mm] = [mm] \bruch{2}{3}*-1 =\bruch{2}{3}* \bruch{-1^{-1}}{2^{0}} [/mm] q.e.d
Induktionsanfang: [mm] n_{0} [/mm] = 1
[mm] a_{1} [/mm] - [mm] \bruch{2}{3} [/mm] = 1 - [mm] \bruch{2}{3} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] = [mm] \bruch{2}{3}*\bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \bruch{2}{3}* \bruch{-1^{0}}{2^{1}} [/mm] q.e.d
analog für [mm] a_{n-1}-\bruch{2}{3} [/mm] = [mm] \bruch{2}{3}*\bruch{-1^{n-2}}{2^{n-1}} [/mm]
--> Induktionsannahme sei richtig für bel./festes n
nun soll ich den Induktionsschritt machen für n --> n+1:
> [mm]a_{n+1}=1/2(a_n+a_{n-1})=[/mm] .... jetzt IV
aber das hat doch nichts mit meiner Induktionsannahme ( [mm] a_{n}-\bruch{2}{3} [/mm] = [mm] \bruch{2}{3}* \bruch{-1^{n-1}}{2^{n}} [/mm] ) zu tun??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Mi 17.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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