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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:21 Do 18.11.2004 | | Autor: | Yoko |
Hallo,
in der nächsten Übungsstunde soll ich folgende Aufgabe beweisen und vortragen.
Bewiesen werden soll [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_{n}^{r}=x^{r}
[/mm]
[mm] r\in \IR [/mm] fest [mm] x_{n} [/mm] eine Folge aus [mm] (0,\infty) [/mm] und [mm] x_{n}>0
[/mm]
Also der Grenzwert von [mm] x_{n} [/mm] konvergiert gegen x und logischerweise konvergiert der Grenzwert von [mm] x_{n}^{r} [/mm] gegen [mm] x^{r}
[/mm]
ich habe mir eine ganz simple Rechnung dazu ausgedacht, kann mir aber nicht vorstellen das das als Beweis reicht.
also:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_{n}^{r}=\limes_{n\rightarrow\infty} e^{r*ln(x_{n})}=x^{r} [/mm] weil [mm] x_{n} [/mm] ja gegen x konvergiert und r kontant ist
Tips sind sehr erwünscht
gruß Yoko
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:12 Do 18.11.2004 | | Autor: | zwerg |
Moin yoko!
der Weg ist soweit richtig, wenn [mm] x_{n} [/mm] eine konvergente Folge ist.
Wenn du das erklären mußt sag/schreib wann du was und warum machst bzw. machen darfst
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_{n}^{r}=\limes_{n\rightarrow\infty}e^{rln(x_n)}
[/mm]
wegen Stetigkeit von e
[mm] =e^{r\limes_{n\rightarrow\infty}(ln(x_n))}
[/mm]
wegen Stetigkeit von ln
[mm] =e^{r(ln[\limes_{n\rightarrow\infty}x_{n}])}
[/mm]
Konvergenz von [mm] x_{n}
[/mm]
[mm] =e^{rln(x)}
[/mm]
[mm] =x^{r}
[/mm]
doch gilt das auch wenn [mm] x_{n} [/mm] nicht konvergent ist?
MfG
zwerg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:52 Do 18.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo zusammen,
> Moin yoko!
>
> der Weg ist soweit richtig, wenn [mm]x_{n}[/mm] eine konvergente
> Folge ist.
> Wenn du das erklären mußt sag/schreib wann du was und
> warum machst bzw. machen darfst
>
Weil [mm] $x_n [/mm] >0$ [mm] $\forall [/mm] n [mm] \in \IN$ [/mm] (der reelle $ln_$ ist ja nur für echt positive Argumente definiert)
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x_{n}^{r}=\limes_{n\rightarrow\infty}e^{rln(x_n)}
[/mm]
> wegen Stetigkeit von e
> [mm]=e^{r\limes_{n\rightarrow\infty}(ln(x_n))}
[/mm]
> wegen Stetigkeit von ln
> [mm]=e^{r(ln[\limes_{n\rightarrow\infty}x_{n}])}
[/mm]
> Konvergenz von [mm]x_{n}
[/mm]
> [mm]=e^{rln(x)}
[/mm]
Ähm: Hier habe ich einen Einwand: Was ist denn, wenn $x=0$ ist?
Man braucht an dieser Stelle auch noch die Voraussetzung:
[mm] $(\star)$ [/mm] Es existiere [m]x=\limes_{n \to \infty}{x_n}[/m] und es sei $x>0$.
Andernfalls liefert die Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] definiert durch [mm] $a_n:=\frac{1}{n}$ [/mm] ein "Gegenbeispiel", weil dann nach dem letzten Gleichheitszeichen von Zwerg hier [mm] $e^{rln(\red{0})}$ [/mm] stehen würde.
Aber wenn man [mm] $(\star)$ [/mm] zusätzlich voraussetzt, dann ist das hier alles in Ordnung!
Also: Betrachte die zwei Fälle (unter der Voraussetzung, dass [m]x=\limes_{n \to \infty}{x_n}[/m] existiere):
1. Fall:
$x=0$. Dann gilt die Behauptung wegen ... ? (Na, eine Idee?)
2. Fall:
$x>0$. Dann siehe Zwergs Antwort (+ meine Ergänzungen).
> [mm]=x^{r}
[/mm]
> doch gilt das auch wenn [mm]x_{n}[/mm] nicht konvergent ist?
>
> MfG
> zwerg
PS: @ Yoko:
> Also der Grenzwert von [mm] x_{n} [/mm] konvergiert gegen x
Hier benutzt du eine falsche Sprechweise:
Entweder du sagst:
Der Grenzwert der Folge [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$ [/mm] ist $x$.
oder
Die Folge [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$ [/mm] konvergiert gegen $x$.
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:02 Fr 19.11.2004 | | Autor: | Yoko |
Hallo,
danke für die Antworten.
Gut das die Rechnung so an sich ok ist, für die Ausdrucksweise entschuldige mich. und danke für den Hinweis das ich den Fall x=0 noch beachten muss.
gruß Yoko
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