Folge ; Häufungswert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:31 Sa 23.06.2007 | | Autor: | bjoern.g |
| Aufgabe | an= [mm] (-1)^n [/mm] - [mm] 1/n^2
[/mm]
soll bestimmen ob sie einen grenzwert hat oder wieviele häufungswerte sie hat
|
also grenzw. hat sie schonmal keinen , sie hat häufungswerte ......
nur wie bestimme ich die bekomms nicht hin ......
also wie schreibt man das auf und generell wieviele häufungswerte kann denn eine Folge haben?
thx im vorraus
|
|
| |
|
> an= [mm](-1)^n[/mm] - [mm]1/n^2[/mm]
>
> soll bestimmen ob sie einen grenzwert hat oder wieviele
> häufungswerte sie hat
>
>
> also grenzw. hat sie schonmal keinen ,
Gut, aber weshalb? - Weil der Term [mm](-1)^n[/mm] ewig zwischen den Werten [mm]+1[/mm] (für [mm]n[/mm] gerade) und [mm]-1[/mm] (für [mm]n[/mm] ungerade) hin und herpendelt und dieses Pendeln durch den schnell kleiner werdenden Term [mm]\frac{1}{n^2}[/mm] nicht aufgefangen werden kann.
> sie hat häufungswerte ......
>
> nur wie bestimme ich die bekomms nicht hin ......
Aufgrund der oben ausformulierten Begründung dafür, dass kein Grenzwert existiert, scheint mir einigermassen klar zu sein, wo sich Folgenwerte "häufen": bei [mm]-1[/mm] und bei [mm]+1[/mm]. Gegen diese beiden Häufungspunkte konvergieren die beiden Teilfolgen [mm]\underline{a}_n := a_{2n-1}[/mm] (sogar streng monoton fallend) bzw. [mm]\overline{a}_n := a_{2n}[/mm] (sogar streng monoton wachsend).
> also wie schreibt man das auf
Ich vermute, Du erwartest, wie so viele, eine Art Algorithmus für die Bestimmung der Häufungswerte einer beliebigen Folge. Ich muss Dich (wie alle anderen) bitter enttäuschen: es gibt keinen Algorithmus. Nun bin ich versucht, etwas Diffuses apropos "gesunder Menschenverstand" zu schreiben, verkneife mir aber solche Belehrigkeiten besser...
> und generell wieviele
> häufungswerte kann denn eine Folge haben?
(Überabzählbar) unendlich viele. Zum Beispiel gibt es eine Folge rationaler Zahlen, die alle reellen Zahlen als Häufungswerte hat.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 Sa 23.06.2007 | | Autor: | bjoern.g |
ok gut danke :)
dann hab ich noch was
(2n(n+1) / (n+2)) - [mm] (2n^3/(n²+2)
[/mm]
1. term geht gegen unendlich , genau so wie der 2. ( durch ausklammern bestimmt zähler grösser als nenner bei beiden )
aber der 2. term hat ein [mm] n^3 [/mm] das heist er müsste insgesammt ins [mm] -\infty [/mm] laufen oder
wie schreib ich das mit lim auf ? bzw. das das eine ne höhere potenz hat als ne andere
thx
|
|
|
| |
|
> ok gut danke :)
>
> dann hab ich noch was
>
>
> (2n(n+1) / (n+2)) - [mm](2n^3/(n²+2)[/mm]
>
> 1. term geht gegen unendlich , genau so wie der 2. ( durch
> ausklammern bestimmt zähler grösser als nenner bei beiden
> )
>
> aber der 2. term hat ein [mm]n^3[/mm] das heist er müsste insgesammt
> ins [mm]-\infty[/mm] laufen oder
Vorsicht: sowohl der erste Summand als auch der zweite Summand verhalten sich weit aussen wie eine nicht-konstante lineare Funktion.
Bei einem solchen Fall, dass das allgemeine Glied einer Folge eine rationale Funktion des Folgenindex ist, tust Du gut daran, alles auf einen Bruch zu nehmen, eventuell zu kürzen (ist hier nicht möglich) und dann nur auf das Verhalten des Terms mit der grössten Potenz von [mm]n[/mm] im Zähler bzw. Nenner zu schauen (denn dieser Term dominiert das Verhalten des Zählers bzw. des Nenners "weit aussen").
> wie schreib ich das mit lim auf ?
Also, wie gesagt, schreibe das allgemeine Folgenglied [mm]a_n[/mm] zunächst als eine rationale Funktion des Folgenindex [mm]n[/mm] mit einem einzigen Bruchstrich. Dann schau Dir das Verhalten dieser (so geschriebenen) rationalen Funktion von [mm]n[/mm] für [mm]n\rightarrow +\infty[/mm] an.
> bzw. das das eine ne
> höhere potenz hat als ne andere
Du solltest nicht vergessen, dass in dem Term, in dem eine höhere Potenz von [mm]n[/mm] auftritt, dafür im Nenner ebenfalls eine höhere Potenz von [mm]n[/mm] auftritt als im anderen Term. Dies bremst die Wachstumsgeschwindigkeit so, dass die beiden Terme für grosse [mm]n[/mm] beide ungefähr linear wachsen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:43 So 24.06.2007 | | Autor: | bjoern.g |
wie soll ich das gehen das bekomm ich ja nie im leben auf einen nenner
wenn ich das auf einen bruchstrich schreiben will
oder seh ich das gerad völlig falsch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:49 So 24.06.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Björn!
Im Zweifelsfalle ist immer das Produkt der Einzelnenner ein gemeinsamer Nenner:
[mm] $\bruch{2n*(n+1)}{n+2}-\bruch{2n^3}{n^2+2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2n*(n+1)*\blue{\left(n^2+2\right)} }{(n+2)*\blue{\left(n^2+2\right)}}-\bruch{2n^3*\red{(n+2)} }{\left(n^2+2\right)*\red{(n+2)}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2n*(n+1)*\left(n^2+2\right)-2n^3*(n+2) }{\left(n^2+2\right)*(n+2)} [/mm] \ = \ ...$
Gruß
Loddar
|
|
|
|
