Folge, Monotonie < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei a ∈ (0; 1) und [mm] (x_{n}) [/mm] definiert durch [mm] x_{0}=1 [/mm] , [mm] x_{n+1}=\bruch{a+x_{n}}{1+x_{n}} [/mm] Zeigen Sie
[mm] a.)\forall n\in \IN x_{n}^2>a
[/mm]
[mm] b.)(x_{n}) [/mm] ist eine monoton fallende Folge
[mm] c.)(x_{n}) [/mm] ist konvergent und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_{n}=\wurzel{a} [/mm] |
schönen guten abend :),
wieder mal ein Problem von mir....und zwar habe ich kaum bis gar keine Ahnung, wie ich a und b bearbeiten soll....c habe ich geschafft.
Bei b dachte ich, dass ich mit vollständiger Induktion rangehen könnten bzw. [mm] |\bruch{x_{n+1}}{x_{n}}|<1 [/mm] zeigen, damit gezeigt ist, dass die Folge fallend ist....
a. kann ich gar nicht, nicht mal eine Ahnung....
Danke und einen schönen Abend weiterhin.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:06 Mi 05.01.2011 | | Autor: | Hans11 |
Hallo
Versuche a) doch mal mit vollständiger Induktion nach n.
b) ist relativ einfach, wenn du a) verwendest.
Dann kannst du nämlich deinen Quotienten direkt nach oben durch 1 abschätzen.
Gruß
Hans
|
|
|
| |
|
Okay, danke erstmal, aber wie gehe ich mit der Induktion ran ??
Was ist mein IA usw. ??
Bin da seit gestern Abend dranne, dass rauszufinden, jedoch will es mir nicht gelingen, dass da was sinnvolles rauskommt, ganz zu schweigen vom geforderten Ergebnis.
|
|
|
| |
|
Hallo,
der Induktionsanfang ist natürlich [mm] x_0^2>a. [/mm] Das ist erfüllt.
Dann ist nur noch zu zeigen: [mm] x_n^2>a\Rightarrow x_{n+1}^2>a.
[/mm]
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
ich habe einfach mal angefangen und komme jetzt nicht weiter, mal wieder.
[mm] x^2_{n+1}>a
[/mm]
[mm] \Rightarrow (\bruch {a+x_{n}} {1+x_{n}})^2>a
[/mm]
[mm] \gdw ({a+x_{n}})^2>a*({1+x_{n}})^2
[/mm]
[mm] \gdw (a^2+2*a*x_{n}+x^2_{n})>a(1+2x_{n}+x^2_{n})
[/mm]
[mm] \gdw a^2+x^2_{n}>a*(1+x^2_{n})
[/mm]
so und nun stehe ich da, wie ein Schwein vorm Uhrwerk und weiß nicht wirklich weiter...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:39 Do 06.01.2011 | | Autor: | Hans11 |
Hallo
Wenn du a² auf die rechte Seite und [mm] a \cdot x_{n}^2 [/mm] auf die linke Seite schiebst, erhälst du gerade die die Induktionsvoraussetzung.
Gruß
Hans
|
|
|
| |
|
meinst du etwa [mm] ....x^2_{n}=a^2-a-a*x^2_{n}
[/mm]
was mache ich mit dem [mm] a*x^2_{n} [/mm] ??
Dann muss ich ja irgendwie zum Induktionsschluss kommen.
irgendwie wird mein "Durchblick" immer weniger -.-'
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:25 Do 06.01.2011 | | Autor: | Hans11 |
Hallo
Ich muss leider feststellen, dass es falsch von mir formuliert wurde.
Bringe jedenfalls jetzt [mm] a \cdot x_{n}^2 [/mm] auf die andere Seite (die dann natürlich von a abhängen wird).
Vielleicht siehst du dann die Induktionsvoraussetzung.
Gruß
Hans
|
|
|
| |
|
Gut, vielleicht habe ich es jetzt. Wäre ja toll -.-
[mm] a*x^2_{n}>a^2-a-x^2_{n} [/mm] das ist meine Induktionsvoraussetzung (IV)
und mit der IV gehe ich jetzt von n zu n+1 ?!?
Sodass dann dort steht [mm] a*x^2_{n+1}>a^2-a-x^2_{n+1}
[/mm]
so, hat er es jetzt ??
|
|
|
| |
|
Hallo BerlinerKindl,
> Gut, vielleicht habe ich es jetzt. Wäre ja toll -.-
>
> [mm]a*x^2_{n}>a^2-a-x^2_{n}[/mm] das ist meine
> Induktionsvoraussetzung (IV)
IV ist doch: [mm]x_n^2>a[/mm]
>
> und mit der IV gehe ich jetzt von n zu n+1 ?!?
>
> Sodass dann dort steht [mm]a*x^2_{n+1}>a^2-a-x^2_{n+1}[/mm]
> so, hat er es jetzt ??
Nein, dein erster Ansatz war doch gut.
Die Äquivalenzumformungen bis
[mm]a^2+2ax_n+x_n^2>a(1+2x_n+x_n^2)[/mm] sind doch richtig.
Rechne da weiter, rechterhand ausmult.
[mm]\gdw a^2+2ax_n+x_n^2>a+2ax_n+ax_n^2[/mm]
Alles mit [mm]x_n[/mm] auf die linke Seite, alles ohne auf die rechte:
[mm]\gdw x_n^2-ax_n^2>a-a^2[/mm]
Ausklammern:
[mm]\gdw x_n^2(1-a)>a(1-a)[/mm]
Nun ist [mm]1-a>0[/mm] nach Vor., teile also auf beiden Seiten durch [mm](1-a)[/mm], dann hast du
[mm]\gdw x_n^2>a[/mm]
Und das ist nach IV erfüllt!
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Vielen Dank. :)
Wie kann ich bei b. rangehen.
Wie kann ich da eine gute Abschätzung treffen ?? Um zu zeigen, dass [mm] (x_{n}) [/mm] fallend ist.
|
|
|
| |
|
> Vielen Dank. :)
> Wie kann ich bei b. rangehen.
> Wie kann ich da eine gute Abschätzung treffen ?? Um zu
> zeigen, dass [mm](x_{n})[/mm] fallend ist.
da a) schon gezeigt ist, reicht ja zu zeigen
[mm] x_n>x_{n+1}
[/mm]
gruß tee
|
|
|
| |
|
Hallo BerlinerKindl,
vorab: aus a>0 und [mm] x_n>0 [/mm] folgt doch auch [mm] x_{n+1}=\bruch{a+x_n}{1+x_n}>0.
[/mm]
Im Induktionsschritt ist nun zu zeigen:
[mm] x_{n}^2>a\quad\Rightarrow x_{n+1}^2>a
[/mm]
[mm] x_{n+1}^2=\bruch{(a+x_n)^2}{(1+x_n)^2}=\bruch{a^2+2ax_n+x_n^2}{1+2x_n+x_n^2}>a
[/mm]
Der Ungleichungsteil (also rechts) ist noch zu zeigen:
[mm] \Rightarrow a^2+2ax_n+x_n^2>a+2ax_n+ax_n^2
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_n^2-ax_n^2>a-a^2
[/mm]
[mm] \Rightarrow (1-a)x_n^2>a(1-a)
[/mm]
und jetzt...
Grüße
reverend
|
|
|
|
