Folge Verständnisproblem (neu) < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:42 So 08.02.2009 | | Autor: | Xenos. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Es geht um die Folge:
[mm] a_{0} [/mm] = 0, [mm] a_{1} [/mm] = 1 und [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{a_{n-1}+a_{n-2}}{2}
[/mm]
Für einen Beweis nach Induktion brauche ich
[mm] a_{n+2} [/mm] - [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch {a_{n+1}+a_{n}-2a_{n+1}}{2}
[/mm]
(Teillösung)
Ich habe aber so gerechnet:
[mm] a_{n+2} [/mm] - [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch {a_{n+1}+a_{n}-a_{n}-a_{n-1}}{2}
[/mm]
und komme nicht auf das gleiche Ergebnis.
Danke für einen Tipp...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:01 So 08.02.2009 | | Autor: | Xenos. |
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Hallo Xenos,
Du bist an sich auf dem richtigen Weg:
> [mm]a_{0}[/mm] = 0, [mm]a_{1}[/mm] = 1 und [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\bruch{a_{n-1}+a_{n-2}}{2}[/mm]
[mm] \gdw 2a_n=a_{n-1}+a_{n-2} \gdw a_{n-2}=2a_n-a_{n-1}
[/mm]
Jetzt eine Idexverschiebung: [mm] a_{n-2}=2a_n-a_{n-1} \gdw a_{n-1}=2a_{n+1}-a_{n}
[/mm]
> Für einen Beweis nach Induktion brauche ich
>
> [mm]a_{n+2}[/mm] - [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]\bruch {a_{n+1}+a_{n}-2a_{n+1}}{2}[/mm]
Wenn du das jetzt einsetzt kommst du genau auf das was du suchst!
> Ich habe aber so gerechnet:
> [mm]a_{n+2}[/mm] - [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]\bruch {a_{n+1}+a_{n}-a_{n}-a_{n-1}}{2}[/mm]
lg Kai
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 So 08.02.2009 | | Autor: | Xenos. |
Stimmt. danke 
Damit wird [mm] a_{n-1} [/mm] ersetzt. Jetzt ergibt es einen Sinn.
Kann man das nur bei rekursiven Folgen machen?
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Ich nehme an du meinst das Indexverschieben...
Ich möcht jetzt nicht sofor ja sagen, es kann möglicherweise Fälle geben, bei denen gehts nicht, aber ich kenne keinen Fall.
Bei rekursiven Folgen geht sowas eigentlich immer, und bei einer expliziten Vorschrift auch (die sind ja extra so gebaut). Weiterhin kannst du sowas auch bei endlichen Summen und Produkten machen.
Ist dir eig. aufgefallen, dass deine Folge stark den Fibonacci-Zahlen ähnelt?
lg Kai
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