Folge Wurzelberechnung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:02 Di 15.11.2011 | | Autor: | saendra |
| Aufgabe | | hey! Ich soll diese folge [mm] a_{n+1}=0,5\left(a_n+\frac {x}{a_n} \right) [/mm] mit [mm] a_0,x \in \IR^+ [/mm] auf Konvergenz überprüfen... den grenzwert muss ich aber nicht bestimmen |
hat mir jemand ne idee wie ich das schaffen kann? mit dem gtr z.B. konvergiert es, das ist aber kein beweis...
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Hallo saendra,
> hey! Ich soll diese folge [mm]a_{n+1}=0,5\left(a_n+\frac {x}{a_n} \right)[/mm]
> mit [mm]a_0,x \in \IR^+[/mm] auf Konvergenz überprüfen... den
> grenzwert muss ich aber nicht bestimmen
> hat mir jemand ne idee wie ich das schaffen kann? mit dem
> gtr z.B. konvergiert es, das ist aber kein beweis...
Nun, zeige, dass die Folge monoton und beschränkt ist:
Ist eine Folge monoton steigend und nach oben beschränkt, so ist sie konvergen.
Ebenso, wenn sie monoton fallend und nach unten beschränkt ist.
Wenn sie konvergent ist, so gilt mit [mm]\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a[/mm]:
[mm]a=\frac{1}{2}\cdot{}\left(a+\frac{x}{a}\right)=\ldots=\sqrt{x}[/mm]
Damit hast du einen Anhaltspunkt:
Zeige, dass die Folge durch [mm]\sqrt{x}[/mm] nach oben beschränkt ist, also [mm]a_n\le\sqrt{x}[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm]
und dass sie monoton wachsend ist, also [mm]a_{n+1}\ge a_n[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:04 Di 15.11.2011 | | Autor: | saendra |
ich fang damit an: also [mm] a_{n+1}\ge a_n
[/mm]
[mm] a_{n+1}\ge a_n \gdw [/mm]
[mm] 0,5\left(a_n+\frac {x}{a_n} \right) \ge 0,5\left(a_{n-1}+\frac {x}{a_{n-1}} \right) \gdw
[/mm]
[mm] 0,5\left(a_{n-1}+\frac {x}{a_{n-1}} \right)+\frac {x}{0,5\left(a_{n-1}+\frac {x}{a_{n-1}} \right)} \ge a_{n-1}+\frac {x}{a_{n-1}} \gdw
[/mm]
[mm] a_{n-1}+\frac {x}{a_{n-1}}+\frac {4x}{a_{n-1}+\frac {x}{a_{n-1}}} \ge 2a_{n-1}+\frac {2x}{a_{n-1}} \gdw
[/mm]
[mm] \frac {4x}{a_{n-1}+\frac {x}{a_{n-1}}} \ge a_{n-1}+\frac {x}{a_{n-1}} \gdw
[/mm]
[mm] \frac {4x\cdot a_{n-1}}{a_{n-1}^2+x} \ge a_{n-1}+\frac {x}{a_{n-1}} \gdw
[/mm]
[mm] \frac {4x\cdot a_{n-1}}{a_{n-1}^2+x} \ge \frac {a_{n-1}^2+x}{a_{n-1}} \gdw
[/mm]
[mm] 4x\cdot a_{n-1}^2 \ge (a_{n-1}^2+x)^2 \Rightarrow
[/mm]
[mm] 2\wurzel{x}\cdot a_{n-1} \ge a_{n-1}^2+x
[/mm]
und jetzt steck ich im sand fest :(
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Hallo nochmal,
nach genauerem Lesen fällt mir auf, dass eine entscheidende Angabe bzgl. [mm] $a_0$ [/mm] und $x$ fehlt.
Ist etwa [mm] $a_0\ge\sqrt{x}$ [/mm] ??
Dann wäre nämlich die Folge monoton fallend und nach unten durch [mm] $\sqrt{x}$ [/mm] beschränkt ...
Prüfe das mal bitte ..
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:25 Di 15.11.2011 | | Autor: | saendra |
also mehr als das x und [mm] a_0 [/mm] positive reelle zahlen sind und das diese folge ein verfahren sein soll, um [mm] \wurzel{x} [/mm] zu berechnen, steht nicht da
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Hallo saendra,
> ich fang damit an: also [mm]a_{n+1}\ge a_n[/mm]
>
> [mm]a_{n+1}\ge a_n \gdw[/mm]
>
> [mm]0,5\left(a_n+\frac {x}{a_n} \right) \ge 0,5\left(a_{n-1}+\frac {x}{a_{n-1}} \right) \gdw[/mm]
>
> [mm]0,5\left(a_{n-1}+\frac {x}{a_{n-1}} \right)+\frac {x}{0,5\left(a_{n-1}+\frac {x}{a_{n-1}} \right)} \ge a_{n-1}+\frac {x}{a_{n-1}} \gdw[/mm]
>
> [mm]a_{n-1}+\frac {x}{a_{n-1}}+\frac {4x}{a_{n-1}+\frac {x}{a_{n-1}}} \ge 2a_{n-1}+\frac {2x}{a_{n-1}} \gdw[/mm]
>
> [mm]\frac {4x}{a_{n-1}+\frac {x}{a_{n-1}}} \ge a_{n-1}+\frac {x}{a_{n-1}} \gdw[/mm]
>
> [mm]\frac {4x\cdot a_{n-1}}{a_{n-1}^2+x} \ge a_{n-1}+\frac {x}{a_{n-1}} \gdw[/mm]
>
> [mm]\frac {4x\cdot a_{n-1}}{a_{n-1}^2+x} \ge \frac {a_{n-1}^2+x}{a_{n-1}} \gdw[/mm]
>
> [mm]4x\cdot a_{n-1}^2 \ge (a_{n-1}^2+x)^2 \Rightarrow[/mm]
>
> [mm]2\wurzel{x}\cdot a_{n-1} \ge a_{n-1}^2+x[/mm]
>
>
> und jetzt steck ich im sand fest :(
Hier gilt die ganze Zeit das umgekehrte Relationszeichen [mm] (n\geq2).
[/mm]
Es gilt
[mm] a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_n+\frac{x}{a_n}\right)\geq\sqrt{x}$ [/mm]
nach der Ungleichung vom arithmetisch-geometrischen Mittel. Also ist [mm] a_n\geq\sqrt{x} [/mm] für [mm] n\geq1.
[/mm]
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:00 Di 15.11.2011 | | Autor: | donquijote |
> Hallo saendra,
> > ich fang damit an: also [mm]a_{n+1}\ge a_n[/mm]
> >
> > [mm]a_{n+1}\ge a_n \gdw[/mm]
> >
> > [mm]0,5\left(a_n+\frac {x}{a_n} \right) \ge 0,5\left(a_{n-1}+\frac {x}{a_{n-1}} \right) \gdw[/mm]
>
> >
> > [mm]0,5\left(a_{n-1}+\frac {x}{a_{n-1}} \right)+\frac {x}{0,5\left(a_{n-1}+\frac {x}{a_{n-1}} \right)} \ge a_{n-1}+\frac {x}{a_{n-1}} \gdw[/mm]
>
> >
> > [mm]a_{n-1}+\frac {x}{a_{n-1}}+\frac {4x}{a_{n-1}+\frac {x}{a_{n-1}}} \ge 2a_{n-1}+\frac {2x}{a_{n-1}} \gdw[/mm]
>
> >
> > [mm]\frac {4x}{a_{n-1}+\frac {x}{a_{n-1}}} \ge a_{n-1}+\frac {x}{a_{n-1}} \gdw[/mm]
>
> >
> > [mm]\frac {4x\cdot a_{n-1}}{a_{n-1}^2+x} \ge a_{n-1}+\frac {x}{a_{n-1}} \gdw[/mm]
>
> >
> > [mm]\frac {4x\cdot a_{n-1}}{a_{n-1}^2+x} \ge \frac {a_{n-1}^2+x}{a_{n-1}} \gdw[/mm]
>
> >
> > [mm]4x\cdot a_{n-1}^2 \ge (a_{n-1}^2+x)^2 \Rightarrow[/mm]
> >
> > [mm]2\wurzel{x}\cdot a_{n-1} \ge a_{n-1}^2+x[/mm]
> >
> >
> > und jetzt steck ich im sand fest :(
> Hier gilt die ganze Zeit das umgekehrte Relationszeichen
> [mm](n\geq2).[/mm]
>
> Es gilt
>
> [mm]a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_n+\frac{x}{a_n}\right)\geq\sqrt{x}$[/mm]
>
> nach der Ungleichung vom arithmetisch-geometrischen Mittel.
> Also ist [mm]a_n\geq\sqrt{x}[/mm] für [mm]n\geq1.[/mm]
>
Und dann folgt [mm] $a_n-a_{n+1}=a_n-\frac{1}{2}\left(a_n+\frac{x}{a_n}\right)=\frac{1}{2}\left(a_n-\frac{x}{a_n}\right)\ge [/mm] 0$
> LG
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 Di 15.11.2011 | | Autor: | saendra |
vielen dank!
also meinst du, dass [mm] a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_n+\frac{x}{a_n}\right)\geq\sqrt{x} [/mm] und [mm] \frac{1}{2}\left(x_1+x_2\right)\geq\sqrt{x_1\cdot x_2} [/mm] sich entsprechen? (ich seh den zusammenhang nicht ganz  )
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> vielen dank!
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> also meinst du, dass
> [mm]a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_n+\frac{x}{a_n}\right)\geq\sqrt{x}[/mm]
> und [mm]\frac{1}{2}\left(x_1+x_2\right)\geq\sqrt{x_1\cdot x_2}[/mm]
> sich entsprechen? (ich seh den zusammenhang nicht ganz )
Setze [mm] x_1=a_n [/mm] und [mm] x_2=\frac{x}{a_n} [/mm] in deiner AM-GM Ungleichung ein.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:20 Di 15.11.2011 | | Autor: | saendra |
ohhh man natürlich :( warum hab ich das nicht gesehen?
jetzt beweis ich am besten noch die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel für n=2 oder?
ps: danke euch allen schon mal für die hilfe!
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> ohhh man natürlich :( warum hab ich das nicht gesehen?
> jetzt beweis ich am besten noch die Ungleichung vom
> arithmetischen und geometrischen Mittel für n=2 oder?
Für den Fall n=2 ist die Am-GM Ungleichung einfach zu beweisen:
Quadriere die Ungleichung einfach einmal und du wirst sehen, dass sie aus einer binomischen Formel folgt.
>
> ps: danke euch allen schon mal für die hilfe!
Gern geschehen
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:00 Di 15.11.2011 | | Autor: | saendra |
achso ja danke das hab ich schon lang geschafft :D, das war mehr eine frage an mich, weil weiß nicht mehr ob wir die allgemein mal bewiesen haben. wie auch immer:
vielen lieben Dank euch! :))
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