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Hi
Heute hab ich deswegen schon den Professor gefragt, aber er konnte mir
nicht helfen, vielleicht aber auch nur nicht verstehen:
Behauptung: [mm] a_{n} [/mm] < 100 , wobei [mm] a_{n+1} [/mm] = 6* [mm] \wurzel{a_{n} +7} [/mm] und [mm] a_{0}=2 [/mm] und n element natürlicher, nicht-negativer zahlen.
beweis mittels vollständiger induktion:
1. A(0) ist offensichtlich wahr denn 2 < 100
2. n --> n+1; [mm] a_{n+1} [/mm] = 6* [mm] \wurzel{a_{n} +7}
[/mm]
und jetzt kommt mein problem: das nächste an der Tafel war [mm] a_{n} [/mm] < 100 also auch [mm] a_{n} [/mm] +7 < 100 + 7 und durch die Monotonie der Wurzelfkt. [mm] \wurzel{a_{n} + 7} [/mm] < [mm] \wurzel{100 + 7} [/mm] und damit
[mm] a_{n+1}=6* \wurzel{a_{n} +7} [/mm] < 6* [mm] \wurzel{100 + 7} [/mm] < 6* [mm] \wurzel{144} [/mm] = 72 <100
natürlich kann auch eine andere quadratzahl am ende stehen, die 144 nur zur verdeutlichung.
und ich sehe das eben so (das ist mein problem): er hat es als bedingung genommen dass [mm] a_{n} [/mm] < 100 ist, aber gerade das soll doch bewiesen werden!
bitte helft mir, wer auch immer mich versteht *g*
mfg
Michi
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> Hi
> Heute hab ich deswegen schon den Professor gefragt, aber
> er konnte mir
> nicht helfen, vielleicht aber auch nur nicht verstehen:
Hallo,
da ich kein Professor bin, verstehe ich Dich. Glaube ich zumindest:
Ich habe den Eindruck, daß Du zwischendurch vergessen hast, daß hier ein Induktionsbeweis am Laufen ist.
Ruf' Dir nochmal das Prinzip der vollständigen Induktion ins Gedächtnis:
Von einer Behauptung B(n) ist zu zeigen, daß sie für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt.
Dazu zeigt man zuerst, daß B(0) gilt. (I.A)
Als nächstes zeigt man: unter der Annahme, daß für beliebiges n B(n) gilt (I.V.) , gilt die Annahme auch für n+1, d.h. es gilt dann B(n+1). (I.S.)
Und hiermit ist die Aussage bewiesen.
Denn
was hat man nun? Man weiß, wenn B(n) wahr ist, dann auch B(n+1). Und jetzt kommt der Witz: man hat ja seinen Induktionsanfang. Der ist wie ein Anker für die Behauptung. Es gilt B(0) , das wurde im Induktionsanfang gezeigt. Aufgrund des Induktionsschlusses wissen wir ==>B(1) ist wahr ==> B(2) ist wahr ==> und immer so weiter. Immer wieder der Induktionsschluß.
Langer Rede kurzer Sinn: das [mm] a_n<100, [/mm] welches Dich straucheln ließ, ist die Induktionsvoraussetzung. (Könnt schon sein, das die Tatsache, daß das jemanden nicht klar ist, fern vom Vorstellungsvermögen des großen Chefs ist...)
Gruß v. Angela
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> Behauptung: [mm]a_{n}[/mm] < 100 , wobei [mm]a_{n+1}[/mm] = 6* [mm]\wurzel{a_{n} +7}[/mm]
> und [mm]a_{0}=2[/mm] und n element natürlicher, nicht-negativer
> zahlen.
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> beweis mittels vollständiger induktion:
> 1. A(0) ist offensichtlich wahr denn 2 < 100
> 2. n --> n+1; [mm]a_{n+1}[/mm] = 6* [mm]\wurzel{a_{n} +7}[/mm]
>
> und jetzt kommt mein problem: das nächste an der Tafel war
> [mm]a_{n}[/mm] < 100 also auch [mm]a_{n}[/mm] +7 < 100 + 7 und durch die
> Monotonie der Wurzelfkt. [mm]\wurzel{a_{n} + 7}[/mm] < [mm]\wurzel{100 + 7}[/mm]
> und damit
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> [mm]a_{n+1}=6* \wurzel{a_{n} +7}[/mm] < 6* [mm]\wurzel{100 + 7}[/mm] < 6*
> [mm]\wurzel{144}[/mm] = 72 <100
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> natürlich kann auch eine andere quadratzahl am ende stehen,
> die 144 nur zur verdeutlichung.
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> und ich sehe das eben so (das ist mein problem): er hat es
> als bedingung genommen dass [mm]a_{n}[/mm] < 100 ist, aber gerade
> das soll doch bewiesen werden!
>
> bitte helft mir, wer auch immer mich versteht *g*
>
> mfg
> Michi
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ja genau das ist es ja. er nimmt das als Induktionsvoraussetzung. wieso darf er das? er nimmt etwas als voraussetzung, was gezeigt werden soll! und das begreif ich nicht, wieso er das verwenden darf.
ich will einfach, dass er das, was bewiesen werden soll (a(n) < 100) beweist, ohne es zu verwenden. das muss doch irgendwie gehen!
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> ja genau das ist es ja. er nimmt das als
> Induktionsvoraussetzung. wieso darf er das? er nimmt etwas
> als voraussetzung, was gezeigt werden soll! und das begreif
> ich nicht, wieso er das verwenden darf.
Hallo,
hast Du Dir meinen Beitrag richtig durchgelesen?
Ich habe da versucht, Dir das Prinzip der vollständigen Induktion zu erklären. (Du solltest es eigentlich bereits kennen...)
Nochmal in Kürze: eine Behauptung ist für alle n zu zeigen.
Man zeigt, daß sie für n=1 gilt.
Man zeigt, daß sie, wenn sie für ein beliebiges n gilt, auch für das drauffolgende gilt.
Ist einem das gelungen, ist die Beh. für alle n gezeigt: denn weil sie für n=1 gilt, folgt die Gültigkeit für n=2, darauf die Gültigkeit für n=3 usw.
Das ist das Prinzip der vollständigen Induktion. Und es ist doch einsichtig, oder etwa nicht?
Der Induktionsanfang ist hierbei ganz wichtig, wie Du siehst. Sonst wäre wirklich alles Quatsch.
Setz Dich nochmal mit dem Prinzip der vollständigen Induktion auseinander.
Der Beweis jedenfalls ist richtig.
> ich will einfach, dass er das, was bewiesen werden soll
> (a(n) < 100) beweist, ohne es zu verwenden. das muss doch
> irgendwie gehen!
Es steht Dir sicher frei, einen Beweis ohne Induktion zu suchen, aber Du kannst dem Prof kaum vorschreiben, mit welchen Methoden er seine Sätzchen beweisen soll.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:02 Fr 02.12.2005 | | Autor: | spit.fire |
das prinzip ist mir schon bewusst und auch bekannt. sorry, dass ich das nicht erwähnt hatte und du nochmal so viel erklären musstest.
ich denk dass es an mir liegt, aber ich versteh das mit dem a(n) < 100 nicht.
er soll das beweisen, benutzt es aber um das zu beweisen.. vielleicht ist das nicht so aber so kommts mir vor...
egal
danke trotzdem.
mfg
michi
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