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| Aufgabe | A6.)
Eine Frau spaziert eine Distanz $d$ mit Geschwindigkeit $v$ nach Hause. Ihr Hund freut sich und rennt mit Geschwindigkeit [mm] $\frac{3v}{2}$ [/mm] immer zwischen Frau und Haus hin und her.
a) Bei welchen Distanzen [mm] $(d_n)_{n\geq 1}$ [/mm] begegnen sich Frau und Hund?
b) Bestimmen Sie mithilfe der in a erstellten Folge die Gesamtweglänge des Hundes. |
Hallo zusammen,
arbeite gerade an dem aktuellen Übungsblatt und habe soweit alles hingekriegt bis auf diese vermeintlich einfache Aufgabe :)
Mir ist klar, dass ich es sich hierbei um eine Folge handeln wird, die ich wahrscheinlich mit der geometrischen Reihe bei b aufsummieren kann. Ich weiß dennoch nicht, wie ich im Allgemeinen auf die Schnittpunkte komme. Alles was ich weiß, ist dass der Hund $3/2$ des Weges der Frau zurücklegt, aber irgendwie komme ich trotzdem auf nichts sinnvolles.
Freue mich auf eure Ratschläge :)
Grüße
Joe
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Hallo Joe,
das liest sich doch schonmal alles gut.
> A6.)
>
> Eine Frau spaziert eine Distanz [mm]d[/mm] mit Geschwindigkeit [mm]v[/mm]
> nach Hause. Ihr Hund freut sich und rennt mit
> Geschwindigkeit [mm]\frac{3v}{2}[/mm] immer zwischen Frau und Haus
> hin und her.
Lahmes Viech.
> a) Bei welchen Distanzen [mm](d_n)_{n\geq 1}[/mm] begegnen sich
> Frau und Hund?
> b) Bestimmen Sie mithilfe der in a erstellten Folge die
> Gesamtweglänge des Hundes.
>
> arbeite gerade an dem aktuellen Übungsblatt und habe
> soweit alles hingekriegt bis auf diese vermeintlich
> einfache Aufgabe :)
Eine Variante der klassischen griechischen Aufgabe von Achill und der Schildkröte.
> Mir ist klar, dass ich es sich hierbei um eine Folge
> handeln wird, die ich wahrscheinlich mit der geometrischen
> Reihe bei b aufsummieren kann.
Jawoll!
> Ich weiß dennoch nicht, wie
> ich im Allgemeinen auf die Schnittpunkte komme. Alles was
> ich weiß, ist dass der Hund [mm]3/2[/mm] des Weges der Frau
> zurücklegt,
Das würde auch schon reichen, um b) zu lösen. Sogar die in a) geforderte Folge lässt sich aus dieser Information erstellen.
> aber irgendwie komme ich trotzdem auf nichts
> sinnvolles.
Na, bestimm doch mal den ersten Treffpunkt. Die Frau läuft bis dahin die Distanz [mm] a_1, [/mm] der Hund natürlich [mm] \bruch{3}{2}a_1. [/mm] Außerdem gilt für die Strecke des Hundes:
[mm] 2d-a_1=\bruch{3}{2}a_1
[/mm]
Entsprechend geht das bei den weiteren Treffpunkten.
Jetzt Du.
Grüße
reverend
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Hallo reverend,
> Lahmes Viech.
:)
> Na, bestimm doch mal den ersten Treffpunkt. Die Frau läuft
> bis dahin die Distanz [mm]a_1,[/mm] der Hund natürlich
> [mm]\bruch{3}{2}a_1.[/mm] Außerdem gilt für die Strecke des
> Hundes:
>
> [mm]2d-a_1=\bruch{3}{2}a_1[/mm]
>
> Entsprechend geht das bei den weiteren Treffpunkten.
>
> Jetzt Du.
>
Wir hätten also für [mm] $a_1 [/mm] = [mm] \frac{4}{5}d$. [/mm] Jetzt könnte ich rekursiv annehmen, dass [mm] $a_{n+1}=\frac{4a_n}{5}$, [/mm] da sich der Gesamtweg verkürzt, also sprich im zweiten Fall [mm] $2a_1-a_2=\frac{3}{2}a_2$ [/mm] gilt. Also gilt explizit für die Folge [mm] $a_n [/mm] = [mm] d*(\frac{4}{5})^n$ [/mm] und das kann ich bei mit der geometrischen Reihe lösen, in dem ich den konstanten Faktor vor die Reihe ziehe.
Liege ich damit richtig?
> Grüße
> reverend
Grüße
Joe
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Hallo nochmal,
hier muss man doch nichts mehr annehmen, alles ist determiniert.
> > Lahmes Viech.
> :)
>
> > Na, bestimm doch mal den ersten Treffpunkt. Die Frau läuft
> > bis dahin die Distanz [mm]a_1,[/mm] der Hund natürlich
> > [mm]\bruch{3}{2}a_1.[/mm] Außerdem gilt für die Strecke des
> > Hundes:
> >
> > [mm]2d-a_1=\bruch{3}{2}a_1[/mm]
> >
> > Entsprechend geht das bei den weiteren Treffpunkten.
>
> Wir hätten also für [mm]a_1 = \frac{4}{5}d[/mm].
Ja, klar.
> Jetzt könnte ich
> rekursiv annehmen,
Das meine ich. Du kannst es auch gleich allgemein berechnen, oder wenigstens erstmal [mm] a_2 [/mm] und [mm] a_3 [/mm] und dann auf ein allgemeines Gesetz schließen.
Besser gleich allgemein: [mm] 2a_n-a_{n+1}=\bruch{3}{2}a_{n+1}
[/mm]
Daraus folgt unmittelbar: [mm] a_{n+1}=\bruch{4}{5}a_n
[/mm]
Das sollte sich jetzt noch in eine explizite Formel für [mm] a_k [/mm] umwandeln lassen, womit wir die Treffpunkte hätten.
Die Laufstrecke des Hundes ist dann [mm] d+2\summe_{i=1}^{\infty}a_i.
[/mm]
> dass [mm]a_{n+1}=\frac{4a_n}{5}[/mm], da sich der
> Gesamtweg verkürzt, also sprich im zweiten Fall
> [mm]2a_1-a_2=\frac{3}{2}a_2[/mm] gilt.
Das ist richtig. Also schreib nicht "annehmen". Du zeigst es doch.
> Also gilt explizit für die
> Folge [mm]a_n = d*(\frac{4}{5})^n[/mm] und das kann ich bei mit der
> geometrischen Reihe lösen, in dem ich den konstanten
> Faktor vor die Reihe ziehe.
>
> Liege ich damit richtig?
Ja, völlig.
Grüße
reverend
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