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| Aufgabe | [mm] $c_{n+1}= \bruch{c_{n}}{1+c_{n}} [/mm] >0 $ für n>=1
Folge mit [mm] $c_{1}>1$
[/mm]
Untersuche die Folge auf Konvergenz. |
Die Folge ist monoton fallend und nach unten beschränkt. -> konvergent.
Zur Monotonie:
Die Kriterien [mm] $c_{n+1}-c_{n}<0$ [/mm] und [mm] $\bruch{c_{n+1}}{c_{n}}<1$ [/mm] sind doch gleichwertig, oder?
Zur Beschränktheit: (oder heisst es Beschränkung?)
Wie kann man denn jetzt ganz ausdrücklich und eindeutig zeigen, dass die Folge immer >0 ist? Man sieht es ja, aber wie hinschreiben?
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> [mm]c_{n+1}= \bruch{c_{n}}{1+c_{n}} >0 [/mm] für n>=1
>
> Folge mit [mm]c_{1}>1[/mm]
>
> Untersuche die Folge auf Konvergenz.
> Die Folge ist monoton fallend und nach unten beschränkt.
> -> konvergent.
>
> Zur Monotonie:
>
> Die Kriterien [mm]c_{n+1}-c_{n}<0[/mm] und [mm]\bruch{c_{n+1}}{c_{n}}<1[/mm]
> sind doch gleichwertig, oder?
Ja, falls es sich um positive Werte für [mm] c_n [/mm] und [mm] c_{n+1}
[/mm]
handelt, stimmt dies. Aber in einem Beweis geht
es genau darum, sich solche Folgerungen im Detail
zu überlegen und zu Papier zu bringen. Gib also die
Umformungen Schritt um Schritt an, die von der
einen zur anderen Ungleichung führen !
> Zur Beschränktheit: (oder heisst es Beschränkung?)
"Beschränktheit" einer Folge ist schon richtig.
> Wie kann man denn jetzt ganz ausdrücklich und eindeutig
> zeigen, dass die Folge immer >0 ist? Man sieht es ja, aber
> wie hinschreiben?
Na, woran siehst du es denn ? Auch hier geht es darum,
eine einfache Überlegung zu Papier zu bringen.
LG , Al-Chw.
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Dass die Folge immer >0 ist, folgt aus der Voraussetzung [mm] c_1>1. [/mm] Reicht das?
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Hallo,
> Dass die Folge immer >0 ist, folgt aus der Voraussetzung
> [mm]c_1>1.[/mm] Reicht das?
Noch nicht ganz. Das wäre in einem Induktionsbeweis jetzt der Induktionsanfang. Jetzt nimm [mm] c_n>0 [/mm] an und wende die gleiche Logik an wie oben, dann ist das, was sich für [mm] c_{n+1} [/mm] ergibt doch ein vollwertiger Induktionssschluss...
Gruß, Diophant
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also MUSS man es regelrecht induktiv machen?!
Reicht wirklich nicht:
Mit den Voraussetzungen
1. c_(n+1)>0
2. [mm] c_1>1
[/mm]
->
Dadurch steht im Bruch [mm] c_n/(1+c_n) [/mm] nie etwas Negatives, woraus
folgt, dass alle [mm] c_n>0 [/mm] sind. (?)
Andersherum: Man kann fragen:
Warum steht im Bruch nie was Negatives?
Antwort:
Da
1. c_(n+1)>0
2. [mm] c_1>1
[/mm]
-> [mm] c_n>0
[/mm]
(OK, wird dadurch auch nicht besser)
Offenbar muss man immer bis zu Adam und Eva zurück.
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Hallo,
mach dir doch das Leben nicht so schwer:
angenommen sei [mm] c_n>0. [/mm] Daraus folgt sofort
[mm] c_{n+1}=\bruch{c_n}{1+c_n}>0
[/mm]
Zusammen mit [mm] c_1>1>0 [/mm] ergibt das doch schon eine vollständige Induktion (und der Himmel hängt voller Geigen  )!
Gruß, Diophant
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Wäre so die ausführliche Induktion?
Behauptung: [mm] c_n>0
[/mm]
I-Anfang: n=1
[mm] c_1>1>0
[/mm]
I-Schritt: n=n+1
[mm] c_{n+1}=\bruch{c_n}{1+c_n}>0
[/mm]
und wenn ich jetzt die Behauptung einsetze, passt das?
(Bei dieser mathemat. Strahlkraft haut es mir den Geigenzaehler zusammen.)
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Ja, Schubert (-der arme Hund-) hat schöne Stücke!
Ich stehe - wohl eher hormonell bedingt - auf Liszt, Skrjabin, Rachmaninoff.
Hab mir kürzlich ![[]](/images/popup.gif) diesen Kracher hier ausgedruckt! Jetzt spiel ich hier mal 3 Takte, da mal 5 Takte, wunderbar. Aber bevor ich das Stück ganz spiele, hole ich aller Wahrscheinlichkeit nach die Fields Medal. Also das eine weniger, das andere noch weniger. Heiter weiter!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:18 Do 04.09.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Ja, Schubert (-der arme Hund-) hat schöne Stücke!
>
> Ich stehe - wohl eher hormonell bedingt - auf Liszt,
> Skrjabin, Rachmaninoff.
Lol. Mir gefällt ja RACH 3 so arg...
> Hab mir kürzlich
> diesen Kracher
> hier ausgedruckt!
HAMMER!!! Vielen Dank für den Link! (Wenn ich das probieren würde, sollte ich erst einen Termin in der örtlichen Chirurgie klarmachen...)
> Jetzt spiel ich hier mal 3 Takte, da mal
> 5 Takte, wunderbar. Aber bevor ich das Stück ganz spiele,
> hole ich aller Wahrscheinlichkeit nach die Fields Medal.
> Also das eine weniger, das andere noch weniger. Heiter
> weiter!
In diesem Sinne: einen schönen Abend. Und verzähl dich nicht. 
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:16 Do 04.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> also MUSS man es regelrecht induktiv machen?!
>
> Reicht wirklich nicht:
>
> Mit den Voraussetzungen
>
> 1. c_(n+1)>0
> 2. [mm]c_1>1[/mm]
> ->
> Dadurch steht im Bruch [mm]c_n/(1+c_n)[/mm] nie etwas Negatives,
> woraus
>
> folgt, dass alle [mm]c_n>0[/mm] sind. (?)
>
> Andersherum: Man kann fragen:
> Warum steht im Bruch nie was Negatives?
>
> Antwort:
>
> Da
> 1. c_(n+1)>0
> 2. [mm]c_1>1[/mm]
> -> [mm]c_n>0[/mm]
>
> (OK, wird dadurch auch nicht besser)
>
> Offenbar muss man immer bis zu Adam und Eva zurück.
nach einer gewissen Zeit (ab dem 3., 4. Semester) darfst Du das auch ein
wenig schlampiger machen, wobei das Ganze eigentlich auch nur eine
Andeutung dessen ist, was man im Induktionsbeweis macht:
Aus
[mm] $c_1 [/mm] > 1 [mm] \ge 0\,$ [/mm] (edit: hier hatte ich fälschlicherweise [mm] $c_1=1$ [/mm] eben stehen)
folgt
[mm] $c_2=\frac{c_1}{1+c_1} [/mm] > 0$ wegen [mm] $c_1 [/mm] > 0$
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[mm] $c_3=\frac{c_2}{1+c_2} [/mm] > 0$ wegen [mm] $c_2 [/mm] > 0$
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] ...
.
.
.
[mm] $\Rightarrow$ $c_k=\frac{c_{k-1}}{1+c_{k-1}} [/mm] > 0$ wegen [mm] $c_{k-1} [/mm] > 0$
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
.
.
.
Hier ist solch' eine Vorgehensweise relativ unnötig, aber manchmal kann
so etwas hilfreich sein. Zum Beispiel braucht man keinen Induktionsbeweis,
um
[mm] $\produkt_{k=1}^n \frac{a_{k+1}}{a_k}=\frac{a_{n+1}}{a_1}$
[/mm]
einzusehen (wobei man das auch anders machen kann).
P.S. Du siehst oben aber auch, dass die Voraussetzung [mm] $c_1 [/mm] > 0$
unverzichtbar ist. (Was aber auch klar ist: Wie sollten denn alle [mm] $c_n [/mm] > 0$ sein,
wenn [mm] $c_1 \le [/mm] 0$ wäre? Aber Du siehst auch, wie sich das *fortträgt*... und
insofern muss man bis [mm] $c_1=\text{Adam und Eva}$ [/mm] zurück, egal, wie man es
macht...)
( Edit: Al hat hier natürlich recht, dass man genauer
begründen sollte. Meine *obigen Begründungen* darfst Du so eigentlich
auch erst ab dem 3. Semester aufschreiben... - bzw. erst dann darfst Du
Dich beschweren, wenn ein Korrekteur das ankreidet. )
Gruß,
Marcel
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> Dass die Folge immer >0 ist, folgt aus der Voraussetzung
> [mm]c_1>1.[/mm] Reicht das?
Nein, es reicht nicht, das einfach so zu sagen !
Warum willst du denn dies nicht einfach sauber und klar
beweisen ? Schwer ist es wirklich nicht, aber man soll
den kurzen Weg halt Schritt für Schritt gehen.
Falls [mm] c_1>1 [/mm] ist, folgt auch (wegen 1>0 und der Tran-
sitivität der > - Relation), dass auch [mm] c_1>0 [/mm] .
Dann muss auch [mm] c_1+1 [/mm] > 0 sein (weshalb genau ??).
Dividiert man dann die beiden positiven Werte [mm] c_1 [/mm] und [mm] (c_1+1)
[/mm]
bzw. [mm] c_n [/mm] und [mm] (c_{n}+1) [/mm] durcheinander , erhält man ein
positives Resultat (warum ?).
Es lohnt sich wirklich, bei so grundlegenden Übungen jeweils
bis zu "Adam und Eva" zurück zu gehen, denn damit eignet
man sich ein wichtiges Werkzeug des logischen Schließens
an, über dessen Fehlen man sonst immer und immer und immer
wieder stolpern wird !
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:00 Do 04.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]c_{n+1}= \bruch{c_{n}}{1+c_{n}} >0 [/mm] für n>=1
>
> Folge mit [mm]c_{1}>1[/mm]
>
> Untersuche die Folge auf Konvergenz.
> Die Folge ist monoton fallend und nach unten beschränkt.
> -> konvergent.
> ...
> Zur Beschränktheit: (oder heisst es Beschränkung?)
>
> Wie kann man denn jetzt ganz ausdrücklich und eindeutig
> zeigen, dass die Folge immer >0 ist? Man sieht es ja, aber
> wie hinschreiben?
führe einen (einfachen) Induktionsbeweis!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:24 Do 04.09.2014 | | Autor: | reverend |
Hallo,
> führe einen (einfachen) Induktionsbeweis!
Mit anderen Worten: zeige
[mm] c_n>0 \Rightarrow c_{n+1}>0
[/mm]
Grüße
reverend
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