Folge einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:48 Mi 02.01.2013 | | Autor: | piriyaie |
| Aufgabe | | Sei [mm] (a_{n})_{n\ge n_{0}} [/mm] eine reelle Folge positiver Zahlen mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}=0, [/mm] so divergiert [mm] (\bruch{1}{a_{n}})_{n \ge n_{0} } [/mm] bestimmt gegen [mm] \infty. [/mm] |
Hallo,
obigen Satz soll ich beweisen. Und mal wieder stellt sich die Frage: ABER WIE???
Ich verstehe den Satz voll und ganz. Wenn ich eine Nullfolge hab und eine neue Folge nehme die 1 durch die Nullfolge ist, ist diese bestimmt divergent gegen [mm] \infty.
[/mm]
Aber den Beweis verstehe ich ned.
Danke schonmal.
Grüße
Ali
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> Sei [mm](a_{n})_{n\ge n_{0}}[/mm] eine reelle Folge positiver Zahlen
> mit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}=0,[/mm] so divergiert
> [mm](\bruch{1}{a_{n}})_{n \ge n_{0} }[/mm] bestimmt gegen [mm]\infty.[/mm]
> Hallo,
>
> obigen Satz soll ich beweisen. Und mal wieder stellt sich
> die Frage: ABER WIE???
>
> Ich verstehe den Satz voll und ganz. Wenn ich eine
> Nullfolge hab und eine neue Folge nehme die 1 durch die
> Nullfolge ist, ist diese bestimmt divergent gegen [mm]\infty.[/mm]
>
> Aber den Beweis verstehe ich ned.
Hallo Ali,
da musst du halt wohl auf die Definitionen der Begriffe
"Nullfolge" und "bestimmt divergente Folge" zurückgehen.
Stichwort: epsilon !
LG, Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:37 Mi 02.01.2013 | | Autor: | piriyaie |
Ok.
Also bei der Nullfolge ist es so, dass es ein [mm] \varepsilon [/mm] > 0 gibt bei dem alle Folgegieder ab einem bestimmten [mm] n_{0} [/mm] kleiner sind als [mm] \varepsilon. [/mm] D. h. [mm] |a_{n} [/mm] - 0|< [mm] \varepsilon [/mm] für alle n [mm] \ge n_{0}.
[/mm]
Und eine bestimmt divergente Folge ist eine Folge die für jedes [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ein [mm] n_{0} \in \IN [/mm] hat bei der alle folgeglieder also alle [mm] (x_{n})_{n \ge n_{0}} [/mm] > [mm] \varepsilon [/mm] sind. Analog gilt das auch umgekehrt bei negativen Folgen.
Ist das so richtig?
Wie kombiniere ich das ganze jetzt so, dass ich obigen Satz beweisen kann?
Grüße
Ali
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:38 Mi 02.01.2013 | | Autor: | piriyaie |
Sorry. Die letzte Mitteilung sollte eine Frage sein.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:29 Mi 02.01.2013 | | Autor: | piriyaie |
Kann mir hier niemand helfen? :-(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:44 Mi 02.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Kann mir hier niemand helfen? :-(
doch, sogar sehr einfach: Weil $0 < [mm] a_k \to [/mm] 0$ ($k [mm] \to \infty$), [/mm] gibt es
insbesondere für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] ein [mm] $N=N_n \in \IN$ [/mm] so, dass $0 < [mm] a_k [/mm] < 1/n$
für alle $k [mm] \ge N\,.$
[/mm]
Und bedenke nun, dass Du nur zu zeigen hast: Für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] gibt
es ein [mm] $N=N_n$ [/mm] so, dass
[mm] $$b_k:=\frac{1}{a_k} \ge [/mm] n$$
für alle $k [mm] \ge N\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 Do 03.01.2013 | | Autor: | piriyaie |
Ok. Ich finde es echt super, dass ihr euch mühe gibt mir das zu erklären aber ich verstehe es einfach nicht.
Also ich nehme die Definitionen. Und diese definieren mir eine nullfolge und eine bestimmt divergente folge.
Der Satz sagt mir, dass wenn ich 1 durch eine gegen 0 konvergierende folge teile ich eine bestimmt divergente folge bekomme die gegen [mm] \infty [/mm] geht.
Ich bin gestern echt lange dran gesessen und ich versteh es einfach nicht. ich bin vorm schlafen nochmals alles druchgegangen aber ich komme einfach ned drauf.
ich will den beweis so können, dass er mir spass macht. und er macht mir zur zeit garkein spass :-(
bitte kann jemand versuchen mir das nochmals zu erklären und falls ich es dann ned verstehe werd ich am montag meinen prof fragen.
danke schonmal.
grüße
ali
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:32 Do 03.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Ali,
> Ok. Ich finde es echt super, dass ihr euch mühe gibt mir
> das zu erklären aber ich verstehe es einfach nicht.
>
> Also ich nehme die Definitionen. Und diese definieren mir
> eine nullfolge und eine bestimmt divergente folge.
dann sag' uns mal, welche Definitionen ihr benutzt. Es gilt für eine Folge
[mm] ${(a_n)}_n$ [/mm] reeller Zahlen:
Die Folge [mm] ${(a_n)}_n$ [/mm] konvergiert genau dann gegen 0, wenn es zu jedem [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$
ein [mm] $N=N_\varepsilon$ [/mm] so gibt, dass [mm] $|a_n-0|=|a_n| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] für alle $n [mm] \ge N\,.$
[/mm]
Zudem gilt: Die Folge [mm] ${(a_n)}_n$ [/mm] konvergiert genau dann gegen [mm] $\infty\,,$
[/mm]
wenn es zu jedem $C > [mm] 0\,$ [/mm] ein [mm] $\tilde{N}=\tilde{N}_C$ [/mm] so gibt, dass [mm] $a_n \ge [/mm] C$ für
alle $n [mm] \ge \tilde{N}_C\,.$
[/mm]
Ich habe nun nicht strikt diese Definitionen genommen, sondern dazu
äquivalente. Willst Du rein mit diesen Definitionen arbeiten, oder wie sehen
Eure aus? (Es kann durchaus sein, dass bei Euch irgendwo ein [mm] $>\,$ [/mm]
anstatt eines [mm] $\ge$ [/mm] steht (etwa $n > [mm] N\,$ [/mm] anstatt $n [mm] \ge [/mm] N$), oder dass
ihr ein [mm] $\le$ [/mm] anstatt eines [mm] $<\,$ [/mm] benutzt bei [mm] $|a_n| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] - das
einzige, wo man aufpassen muss, ist, dass man nicht "... für alle [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ..."
ersetzt durch "... für alle [mm] $\varepsilon \ge [/mm] 0$ ..." - denn das wäre dann
eine Definition, die nicht äquivalent zu Eurer (bzw. einer gängigen) ist.
Beachte:
Man darf eine Definition "durch eine andere 'ersetzen'", wenn die neue
Definition unter allen Voraussetzungen, die es bei der ursprünglichen gibt,
äquivalent zur ursprünglichen Definition ist. Sowas hatte ich bei meiner
ersten Antwort indirekt auch getan. Denn eine Folge [mm] ${(a_n)}_n$ [/mm] reeller
Zahlen ist genau dann eine Nullfolge, wenn es zu jedem $n [mm] \in \IN$ [/mm] ein
[mm] $N\,$ [/mm] gibt, so dass [mm] $|a_k| \le [/mm] 1/n$ für alle $k [mm] \ge N\,.$)
[/mm]
> Der Satz sagt mir, dass wenn ich 1 durch eine gegen 0
> konvergierende folge teile ich eine bestimmt divergente
> folge bekomme die gegen [mm]\infty[/mm] geht.
Also machen wir es mal mit obigen Definitionen, ich hoffe, dass diese dann
auch ziemlich wörtlich den Dir bekannten entsprechen (über den anderen
Vorschlag meinerseits können wir ja danach nochmal diskutieren):
Sei also $0 < [mm] a_n \to 0\,$ [/mm] und wir definieren [mm] $b_n:=1/a_n$ [/mm] für alle [mm] $n\,.$
[/mm]
Sei nun $C > [mm] 0\,$ [/mm] beliebig, aber fest. Wir haben zu zeigen:
Es gibt ein [mm] $\tilde{N}=\tilde{N}_C$ [/mm] so, dass
[mm] $$b_n \ge [/mm] C$$
für alle $n [mm] \ge \tilde{N}\,.$
[/mm]
Was wissen wir? Zu JEDEM [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ existiert ein [mm] $N=N_\varepsilon$
[/mm]
so, dass
[mm] $$|a_n| [/mm] < [mm] \varepsilon$$
[/mm]
für alle $n [mm] \ge N\,.$
[/mm]
Wegen $0 < [mm] a_n$ [/mm] also: Zu JEDEM [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ existiert ein [mm] $N=N_\varepsilon$
[/mm]
so, dass
[mm] $$a_n [/mm] < [mm] \varepsilon$$
[/mm]
für alle $n [mm] \ge N\,.$
[/mm]
Betrachte nun speziell [mm] $\varepsilon_0:=1/C\,.$ [/mm] Wegen $C > 0$ ist [mm] $\varepsilon_0 [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Insbesondere existiert
dann zu diesem [mm] $\varepsilon_0=1/C$ [/mm] ein [mm] $N_0$ [/mm] mit
[mm] $$a_n [/mm] < [mm] \varepsilon_0$$
[/mm]
für alle $n [mm] \ge N_0\,.$
[/mm]
Es gilt also wegen [mm] $\varepsilon_0=1/C$ [/mm] sodann
[mm] $$(\*)\;\;\;a_n [/mm] < 1/C [mm] \text{ für alle }n \ge N_0\,.$$
[/mm]
Jetzt schau' Dir nochmal an, wo wir hinwollen: Wir wollen zeigen, dass es
ein [mm] $\tilde{N}=\tilde{N}_C$ [/mm] so gibt, dass
[mm] $$(\*\*)\;\;\;b_n \ge [/mm] C [mm] \text{ für alle } [/mm] n [mm] \ge \tilde{N}\,.$$
[/mm]
Um ein solches [mm] $\tilde{N}_C$ [/mm] zu definieren, schau'Dir mal [mm] $(\*)$ [/mm] an - Du
kannst [mm] $(\*)$ [/mm] erstmal äquivalent umschreiben. Dann hast Du zwar noch
nicht direkt [mm] $(\*\*)\,,$ [/mm] aber eine Aussage, aus der insbesondere [mm] $(\*\*)$
[/mm]
folgt: Denn es gilt für $r,s [mm] \in \IR$: [/mm] Aus $r > [mm] s\,$ [/mm] folgt insbesondere stets $r [mm] \ge s\,.$ [/mm]
(Umgekehrtes wäre falsch: Aus $r [mm] \ge s\,$ [/mm] folgt i.a. keinesweges stets $r > [mm] s\,.$
[/mm]
Grund: $r [mm] \ge [/mm] s$ bedeutet per Definitionem, dass [mm] $r=s\,$ [/mm] oder $r > [mm] s\,$ [/mm]
gilt - d.h. $r [mm] \ge [/mm] s$ gilt auch im Falle [mm] $r=s\,,$ [/mm] und im Falle [mm] $r=s\,$ [/mm] kann nicht
mehr $r > [mm] s\,$ [/mm] zudem wahr sein.)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:09 Do 03.01.2013 | | Autor: | piriyaie |
Ok.
vielen dank für deine Hilfe.
ich habe jetzt hier mal einen lösungsvorschlag:
Sei [mm] (a_{n})_{n \in \IN} [/mm] eine Nullfolge bzw. eine gegen Null konvergierende Folge. Dann gibt es zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] beliebig aber fest ein [mm] n_{0} [/mm] bei dem [mm] |a_{n} [/mm] - 0| < [mm] \varepsilon [/mm] für alle n [mm] \ge n_{0}.
[/mm]
Dann gibt es ein [mm] m_{0} [/mm] > 0. Und wir definieren nun [mm] \varepsilon [/mm] als:
[mm] \varepsilon [/mm] := [mm] \bruch{1}{m_{0}} [/mm] auch dieses [mm] \varepsilon [/mm] ist größer als Null und existiert.
Somit gilt auch folgendes: | [mm] a_{n} [/mm] - 0 | < [mm] \bruch{1}{m_{0}} [/mm] für alle n [mm] \ge m_{0}.
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] | [mm] a_{n} [/mm] | < [mm] \bruch{1}{m_{0}} \gdw a_{n} [/mm] < [mm] \bruch{1}{m_{0}} \gdw m_{0} [/mm] < [mm] \bruch{1}{a_{n}} [/mm]
damit ist [mm] \bruch{1}{a_{n}} [/mm] bestimmt divergent gegen [mm] \infty.
[/mm]
hab ich das richtig verstanden? passt das jetzt???
grüße
ali
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:32 Do 03.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenndu noch statt dann gibt es ein [mm] m_0
[/mm]
besser: zu jedem [mm] m_0 [/mm] gibt es ein [mm] \epsilon=1/m_0
[/mm]
ist alles richtig
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:44 Do 03.01.2013 | | Autor: | piriyaie |
alles klar. super. DANKE! :-D
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:20 Do 03.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Ali,
> Ok.
>
> vielen dank für deine Hilfe.
>
> ich habe jetzt hier mal einen lösungsvorschlag:
da gibt's (noch) einiges zu korrigieren!
> Sei [mm](a_{n})_{n \in \IN}[/mm] eine Nullfolge bzw. eine gegen Null
> konvergierende Folge. Dann gibt es zu jedem [mm]\varepsilon[/mm]
> beliebig aber fest ein [mm]n_{0}[/mm] bei dem [mm]|a_{n}[/mm] - 0| <
> [mm]\varepsilon[/mm] für alle n [mm]\ge n_{0}.[/mm]
Das ist so falsch: Zu jedem beliebigen, aber festen, [mm] $\varepsilon \red{\;>\;0}$
[/mm]
musst Du schreiben. Dies sieht aus wie eine Kleinigkeit, ist aber von
enormer Wichtigkeit!!
> Dann gibt es ein [mm]m_{0}[/mm] > 0.
Das ist so ein etwas sinnloser Satz: Ein [mm] $m_0 [/mm] > 0$ gibt es immer, etwa
[mm] $m_0:=1\,.$ [/mm] Was Du hier meinst, ist sicher: Sei [mm] $m_0 [/mm] > 0$ beliebig, aber
fest. (Dein [mm] $m_0$ [/mm] hatte bei mir den Namen [mm] $C\,$ [/mm] gehabt!)
> Und wir definieren nun
> [mm]\varepsilon[/mm] als:
>
> [mm]\varepsilon[/mm] := [mm]\bruch{1}{m_{0}}[/mm] auch dieses [mm]\varepsilon[/mm] ist
> größer als Null und existiert.
Warum betonst Du dessen Existenz? Wenn Du das unbedingt betonen
willst: Wegen [mm] $m_0 [/mm] > 0$ ist [mm] $m_0 \in \IR \setminus \{0\}\,,$ [/mm] und weil [mm] $(\IR,+,\cdot)$ [/mm] ein Körper ist,
gibt's zu diesem [mm] $m_0 \in \IR$ [/mm] ein multiplikativ inverses Element,
welches wir - wie üblich - als [mm] $1/m_0$ [/mm] schreiben...
> Somit gilt auch folgendes: | [mm]a_{n}[/mm] - 0 | < [mm]\bruch{1}{m_{0}}[/mm]
> für alle n [mm]\ge \red{\;m_{0}\;}.[/mm]
Das ist nun Unsinn: Warum steht bei Dir $n [mm] \ge \red{m_0}$? [/mm] Richtig ist:
Es gibt vielmehr ein [mm] $\text{\blue{N}}\,$ [/mm] so, dass
[mm] $$|a_n-0| [/mm] < [mm] 1/m_0 \text{ für alle }n \ge \blue{\text{N}}\,.$$
[/mm]
Nun solltest Du schreiben: Für alle $n [mm] \ge \blue{\text{N}}$ [/mm] gilt (das
erspart es Dir dann, jedesmal bei den Umformungen dazuzuschreiben,
dass dort $n [mm] \ge \text{N}$ [/mm] gelten soll, wenn wir es "universell"
voranstellen):
> [mm]\gdw[/mm] | [mm]a_{n}[/mm] | < [mm]\bruch{1}{m_{0}} \gdw a_{n}[/mm] <
> [mm]\bruch{1}{m_{0}} \gdw m_{0}[/mm] < [mm]\bruch{1}{a_{n}}[/mm]
>
> damit ist [mm]\bruch{1}{a_{n}}[/mm] bestimmt divergent gegen
> [mm]\infty.[/mm]
>
> hab ich das richtig verstanden? passt das jetzt???
Fast.
Ich schreib's jetzt nochmal in Kurzfassung auf, ohne Zwischenschritte, was
ich gerne gesehen hätte:
Sei $C > [mm] 0\,.$ [/mm] Dann ist $1/C > [mm] 0\,,$ [/mm] und es existiert nach Voraussetzung
zu [mm] $\varepsilon_0:=1/C [/mm] > 0$ daher zu [mm] $\varepsilon_0$ [/mm] ein [mm] $N=N_{\varepsilon_0}$ [/mm] so, dass
[mm] $$|a_n-0|=|a_n|=a_n [/mm] < [mm] \varepsilon_0$$
[/mm]
für alle $n [mm] \ge N\,.$
[/mm]
Definieren wir [mm] $\tilde{N}=\tilde{N}_C:=\blue{\text{N}}\,,$ [/mm] so folgt daher für alle $n [mm] \ge \tilde{N}\,,$ [/mm] dass
[mm] $$a_n [/mm] > [mm] 1/\varepsilon_0=1/(1/C)=C$$
[/mm]
und damit insbesondere
[mm] $$a_n \ge [/mm] C$$
für alle diese $n [mm] \ge \tilde{N}\,.$
[/mm]
Also folgt [mm] $1/a_n=:b_n \to \infty\,.$
[/mm]
P.S. Beachte, dass ich zwei Fehler bei Dir korrigiert habe:
1.) Anstatt "beliebiges [mm] $\varepsilon$" [/mm] muss dort "beliebiges [mm] $\varepsilon \red{\;>\;0}$ [/mm] stehen"!
2.) Du schreibst
[mm] $$|a_n-0| \le 1/m_0 \text{ für alle }n \ge \red{\;m_0\,},$$
[/mm]
und das [mm] $\red{\;m_0\;}$ [/mm] ist dabei falsch.
Beispiel:
Betrachte etwa [mm] $a_n:=1/\sqrt{n}\,.$ [/mm] Für [mm] $m_0=4$ [/mm] würdest Du behaupten,
dass
[mm] $$|a_n|\le [/mm] 1/4$$
für alle $n [mm] \ge m_0=4$ [/mm] ist. Für [mm] $n=m_0=4$ [/mm] ist aber
[mm] $$a_n=a_4=1/\sqrt{4}=1/2$$
[/mm]
und es ist dann sicher
[mm] $$a_4=1/\sqrt{4}=1/2 \not< 1/4=1/m_0\,.$$ [/mm]
(Genauer gesagt ist ja $1/2 > [mm] 1/4\,.$)
[/mm]
P.S. Trotz der Fehler: Ich denke, dass das mehr oder weniger nur kleine
"Patzer" waren. Daher lass' Dich nicht entmutigen. Es ist normal, dass man
ein wenig Übung und Erfahrung braucht und sammeln muss, bis man
sowas direkt hinbekommt. Wichtiger ist mir an dieser Stelle vor allem, dass
Du Dir klar machst, dass da falsches gestanden hast. Denn auch, wenn das
ganze formal noch korrekturbedürftig war, scheint's mir doch so, dass Du
das Wesentliche des Beweises nun verstanden hast. Nur hast Du manches
vielleicht einfach ein wenig unbedacht oder 'vorschnell' hingeschrieben.
Aber wie gesagt: Im Laufe der Zeit wird sich das wesentlich verbessern,
und Du wirst solche Fehler dann auch selbst erkennen, wenn Du Deine
Lösungen nochmal überarbeitest. Wie sagt man so schön: "Es ist noch kein
Meister vom Himmel gefallen." Und um "Meister" zu werden, bedarf es
gerade in der Mathematik einfach ein wenig Durchhaltevermögen und man
muss ein wenig hartnäckig sein - die Penibilität und das formal saubere
Arbeiten entwickelt sich dann im Laufe der Zeit ein wenig von alleine mit.
( Wobei nicht jeder so pingelig ist wie ich; das sei dazugesagt.  )
Gruß,
Marcel
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Hallo Ali,
ein paar Umbenennungen könnten helfen...
Nennen wir [mm] \left(\bruch{1}{a_n}\right)_n [/mm] doch erst einmal [mm] (x_n)_n.
[/mm]
> Also bei der Nullfolge ist es so, dass es ein [mm]\varepsilon[/mm] >
> 0 gibt bei dem alle Folgegieder ab einem bestimmten [mm]n_{0}[/mm]
> kleiner sind als [mm]\varepsilon.[/mm] D. h. [mm]|a_{n}[/mm] - 0|<
> [mm]\varepsilon[/mm] für alle n [mm]\ge n_{0}.[/mm]
OK. Dieses [mm] \varepsilon [/mm] behält seinen Namen.
> Und eine bestimmt divergente Folge ist eine Folge die für
> jedes [mm]\varepsilon[/mm] > 0 ein [mm]n_{0} \in \IN[/mm] hat bei der alle
> folgeglieder also alle [mm](x_{n})_{n \ge n_{0}}[/mm] > [mm]\varepsilon[/mm]
> sind. Analog gilt das auch umgekehrt bei negativen Folgen.
Dieses [mm] \varepsilon [/mm] braucht eine andere Bezeichnung, meinetwegen [mm] \mu.
[/mm]
Außerdem würde ich hier noch über Betragsstriche nachdenken, wie bei der Definition der Nullfolge.
Und schließlich muss noch [mm] \mu=\bruch{1}{\varepsilon} [/mm] festgelegt werden.
> Ist das so richtig?
Ja.
> Wie kombiniere ich das ganze jetzt so, dass ich obigen Satz
> beweisen kann?
Versuchs mal mit der Umbenennung, dann geht es eigentlich wie von selbst.
Grüße
reverend
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