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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:39 So 21.11.2004 | | Autor: | destiny |
Hallo!
Ich soll eine Aufgabe bearbeiten, aber ich weiß nicht genau, wie es geht.
Hier ist die Aufgabe:
Wir definieren rekursiv eine Folge von ineinander geschachtelten, immer kürzer werdenden Intervallen [ [mm] a_{n}, b_{n}] \subset \IR: [/mm] Wir fangen an mit [ [mm] a_{0}, b_{0}] [/mm] = [1,2]. Für n [mm] \in \IN [/mm] sei [mm] c_{n} [/mm] der Mittelpunkt von [ [mm] a_{n}, b_{n}]. [/mm] Ist [mm] c_{n}^{2} \ge2, [/mm] so setze [ [mm] a_{n+1}, b_{n+1}] [/mm] = [ [mm] a_{n}, c_{n}] [/mm] ; andernfalls [ [mm] a_{n+1}, b_{n+1}] [/mm] = [ [mm] c_{n}, b_{n}] [/mm] .
Zeigen Sie:
(a) [mm] \bigcap_{n \in \IN}^{}[ a_{n}, b_{n}] [/mm] = [mm] \{\wurzel{2} \}
[/mm]
(b) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}b_{n} [/mm] = [mm] \wurzel{2}
[/mm]
(c) Bestimmen Sie ein n, sodass [mm] \backslash a_{n} [/mm] - [mm] \wurzel{2} \backslash [/mm] < [mm] \bruch{1}{1000} [/mm] und berechnen Sie [mm] a_{n}; [/mm] dasselbe für [mm] b_{n}.
[/mm]
(d) Starten Sie mit [mm] x_{0} [/mm] = 2, bestimmen Sie ein n, sodass [mm] \backslash x_{n} [/mm] - [mm] \wurzel{2} \backslash [/mm] und berechnen Sie [mm] x_{n}.
[/mm]
Die Aufgabe a und b habe ich, denke ich. Könnte mir bitte jemand zeigen, wie ich die c und d lösen kann? Und wenn es geht, vielleicht einen Ansatz von der a und b, damit ich sehen kann, ob ich es richtig gemacht habe.
Danke.
Destiny
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Hallo destiny,
ist es nicht sinnvoller, wenn du deinen Ansatz schreibst und wir dann über diesen diskutieren?
Hugo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Mo 22.11.2004 | | Autor: | destiny |
Hallo!
Das hier ist mein Ansatz:
(a) Da [mm] c_{n} [/mm] laut Voraussetzung Mittelpunkt von [mm] [a_{n}, b_{n}] [/mm] ist, gilt:
[mm] c_{n} \in [a_{n}, b_{n}] [/mm] .
Das heíßt, dass die Länge der beiden Intervalle [mm] [a_{n}, c_{n}] [/mm] und [mm] [c_{n}, b_{n}] [/mm] gleich sein muss, da [mm] c_{n} [/mm] Mittelpunkt ist.
[mm] c_{n} [/mm] ist also in jedem Intervall für [mm] n\in\IN [/mm] enthalten.
Im Durchschnitt der ineinander geschachtelten, immer kürzer werdenden Intervallen [mm] [a_{n}, b_{n}] [/mm] für [mm] n\in\IN [/mm] muss also [mm] c_{n} [/mm] liegen, und zwar als einziges Element.
Da [mm] c_{n}^{2} \ge [/mm] 2 ist, gilt: [mm] c_{n}^{2} [/mm] = 2
Daraus folgt: [mm] c_{n} [/mm] = [mm] \wurzel{2}
[/mm]
Also: [mm] \bigcap_{n\in\IN}^{} [a_{n}, b_{n}] [/mm] = [mm] \wurzel{2}
[/mm]
Stimmt meine Lösung?
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Da ja [mm]c_n^2\ge2[/mm] ist gibt es für jedes positive [mm] \epsilon [/mm] ein Intervall, das ganz in [mm]]\sqrt{2}-\epsilon;\sqrt{2}+\epsilon][/mm] liegt. Somit kann der Durchschnitt nur noch Wurzel aus zwei sein.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 Mo 22.11.2004 | | Autor: | destiny |
zur aufgabe b)
Wenn [mm] a_{n} [/mm] und [mm] b_{n} [/mm] den gleichen Grenzwert haben, so gilt, dass die Differenzfolge [mm] (a_{n} [/mm] - [mm] b_{n}) [/mm] eine Nullfolge ist.
Das heißt: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (a_{n} [/mm] - [mm] b_{n}) [/mm] = 0
Hier hab ich ein Problem, weil ich nicht weiß, wie ich das beweisen soll. Kannst du mir da weiterhelfen, bitte?
danke!
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Weil die Differenz eine Nullfolge ist, gilt:
[mm]\lim a_n=\lim b_n[/mm]
Aus der Beziehung [mm]a_n\le c_n\le b_n[/mm] folgt das Gewünschte.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 Mo 22.11.2004 | | Autor: | destiny |
zur aufgabe c)
da [mm] c_{0} [/mm] = 1,5 ist, weil [mm] c_{0} [/mm] der Mittelpunkt von [mm] [a_{0}; b_{0}] [/mm] = [1;2] ist, ist [mm] c_{0}^{2} [/mm] = 2,25 [mm] \ge [/mm] 2.
[mm] |a_{0} [/mm] - [mm] \wurzel{2}| [/mm] < [mm] \bruch{1}{000} [/mm] ist falsch für [mm] a_{0}
[/mm]
Weiter:
[mm] [a_{1}; b_{1}] [/mm] = [mm] [a_{0}; c_{0}] [/mm]
[mm] c_{1} [/mm] = 1,25, also [mm] c_{1}^{2} [/mm] = 1,5625 [mm] \le [/mm] 2
[mm] |a_{1} [/mm] - [mm] \wurzel{2}| [/mm] < [mm] \bruch{1}{000} [/mm] ist falsch für [mm] a_{1}
[/mm]
Das mach ich jetzt so ewig weiter, bis ich bei [mm] a_{7} [/mm] ankomme, wo letztendlich gilt:
[mm] |a_{7} [/mm] - [mm] \wurzel{2}| [/mm] < [mm] \bruch{1}{000} [/mm] ist wahr!
wobei [mm] a_{7} [/mm] = 1,414063 ist.
Das gleiche mache ich für [mm] b_{n}, [/mm] wobei für n=10 das erste mal gilt:
[mm] |b_{10} [/mm] - [mm] \wurzel{2}| [/mm] < [mm] \bruch{1}{000}
[/mm]
wobei [mm] b_{10} [/mm] = 1,415039 ist.
So, das ist meine Lösung. Gibt es eine einfachere Lösung oder eine kürzere?
für die aufgabe d) hab ich überhaupt keine ahnung, weil ich nicht weiß, wie ich das Heron-Verfahren anwenden soll. Kannst du mit bitte helfen?
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Deine Antwort ist denke ich richtig. Allerdings kann ich mich gemeinsam mit dir verrechnet haben. Wenn du aber annimmst, dass du die Wurzel von 2 gar nicht kennst (und davon musst du ja eigentlich ausgehen), dann ist die Lösung derjenige Index, für den die Differenz zwischen [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] kleiner wird als 1/1000.
Leider hast du deine Grenze für den Fehler bei der d) nicht angegeben, aber eine iterative Lösung zum Wurzelziehen ist diese Methode:
[mm]x_0=0,\ x_n=\frac{x_{n-1}+\frac{2}{x_{n-1}}}{2}[/mm]
Das führt auf:
[mm]x_1=1,5,\ x_2=\frac{17}{12}[/mm] usw.
Das machst du auch etwa so lange, bis dein Fehler klein genug ist.
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