Folge von Primzahlen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:24 Di 06.11.2007 | | Autor: | Ole-Wahn |
| Aufgabe | Definiere eine Folge [mm] (p_n) [/mm] von Primzahlen.
Sei [mm] p_1 = 2 [/mm] und [mm] p_n [/mm] sei der größte Primfaktor von
[mm] m = p_1 * p_2 * ... * p_{n-1} +1 . [/mm]
Zeige: die 5 kommt nicht vor |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also prinzipiell ist die Aufgabe klar, auch dass die Fünf kein Folgenglied ist. Aber das zu zeigen fällt mir schwer.
Ich bin bislang so weit:
Also die ersten Folgenglieder sind
[mm] p_1 = 2 ,\; p_2 =3 ,\; p_3 = 7 ,\; p_4 = 43 ,\; p_5 =139 ,\; p_6 = 50207 ,\; p_7=340999 ,\;... [/mm]
Es fallen einem zwei Dinge sofort auf:
1. Die Folgenglieder wachsen ziemlich schnell, was darauf schließen lässt, dass die Fünf nicht mehr größter Primfaktor einer Zahl m wird.
2. Alle Folgenglieder sind Primzahlen der Form [mm] p=4 k +3 , k \in \IN [/mm]
Das sind auch die Lösungsansätze, über die ich nachgedacht habe :
1. Ich zeige, dass [mm] p_{n+1} > p_n \;\forall n [/mm]
2. Ich zeige, dass [mm] p_n \equiv 3 \; (mod\; 4) [/mm]
Problem, bei beiden Ansätzen ist, dass ich weder eine explizite, noch eine vernünftige rekursive Darstellung von [mm] p_n [/mm] habe mit der ich konkret arbeiten kann.
Was also tun? Fallunterscheidung ? Induktion mit viel Argumentation ?
Ich hoffe auf eure Hilfe!!
Danke. Ole
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:48 Di 06.11.2007 | | Autor: | statler |
Hi Ole, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Definiere eine Folge [mm] (p_{n}) [/mm] von Primzahlen.
Sei [mm] p_{1} [/mm] = 2 und [mm] p_{n} [/mm] sei der größte Primfaktor von
> m = [mm] p_{1} [/mm] * [mm] p_{2} [/mm] * ... * [mm] p_{n-1} [/mm] + 1 .
>
> Zeige: die 5 kommt nicht vor
Du kannst dir leicht überlegen, daß m immer [mm] \equiv [/mm] 3 mod 4 ist. Das liegt an dem Faktor 2 und dem Summanden 1. Wenn alle Primfaktoren [mm] \equiv [/mm] 1 wären, dann auch das Produkt, also gibt es einen Primfaktor [mm] \equiv [/mm] 3. Der muß größer als 3 sein, also auch größer als 5, weil ja Primzahl. Aber dann kommt 5 nicht vor.
Ich hoffe, ich habe nix übersehen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:03 Di 06.11.2007 | | Autor: | Ole-Wahn |
Erst mal danke, für die unfassbar schnelle Antwort.
Allerdings bin ich mir nicht sicher ob [mm] m \equiv 3 \;(mod\; 4) [/mm] immer zutrifft, weil ich kann ja mit [mm] 2 * p_2 *... *p_{n-1} [/mm] auch eine Zahl $ [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] ~(mod\;4) [/mm] $ treffen, oder? Dann wäre aber $m [mm] \equiv [/mm] 1~(mod~4) $!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:15 Di 06.11.2007 | | Autor: | statler |
Hi!
> Erst mal danke, für die unfassbar schnelle Antwort.
>
> Allerdings bin ich mir nicht sicher ob [mm]m \equiv 3 \;(mod\; 4)[/mm]
> immer zutrifft, weil ich kann ja mit [mm]2 * p_2 *... *p_{n-1}[/mm]
> auch eine Zahl [mm]\equiv 0 ~(mod\;4)[/mm] treffen, oder?
Nie, dann müßte ja die 2 noch mal als Faktor auftauchen, aber das andere sind alles ungerade Primzahlen, die 2 kommt genau wie die 5 auch nicht wieder vor.
Dieter
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