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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 22:25 So 24.07.2005 | | Autor: | KaiAhnung |
Hallo allerseits.
Gegeben sei eine Folge [mm]a_1,a_2,...[/mm]. Sei [mm]a_1=2[/mm] und [mm]a_n[/mm] mit n>1 der größte Primteiler von [mm]a_1a_2...a_{n-1}+1[/mm]. Man beweise, dass 5 nicht in der Folge vorkommt.
MfG
Jan
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:45 So 24.07.2005 | | Autor: | jbulling |
> Hallo allerseits.
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> Gegeben sei eine Folge [mm]a_1,a_2,...[/mm]. Sei [mm]a_1=2[/mm] und [mm]a_n[/mm] mit
> n>1 der größte Primteiler von [mm]a_1a_2...a_{n-1}+1[/mm]. Man
> beweise, dass 5 nicht in der Folge vorkommt.
>
> MfG
> Jan
Hallo Jan,
stimmt das so:
[mm] a_1=2, [/mm]
[mm] a_2=a_1+1=3
[/mm]
[mm] a_3=2*3+1=7
[/mm]
[mm] a_4=6*7+1=43
[/mm]
[mm] a_5=139 [/mm] (2*3*7*43=13*139)
Gruß
Jürgen
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Hallo Jürgen.
Stimmt genau!
MfG
Jan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:29 So 24.07.2005 | | Autor: | jbulling |
Hallo Jan,
okeee ich geh mal davon aus, dass meine Annahme stimmt und damit also gilt:
[mm]a_1=2[/mm]
[mm]a_2=3[/mm]
[mm]a_3=7[/mm]
Da für [mm] a_j [/mm] mit j > 3 damit gilt:
[mm]a_j[/mm] teilt [mm]1+\prod_{i=1}^{j-1}a_i=1+6*\prod_{i=3}^{j-1}a_i[/mm]
Muß also gelten
[mm]q=1+\prod_{i=1}^{j-1}a_i=6k+1[/mm] für ein k [mm] \in \IN
[/mm]
Da für alle Primzahlen p [mm] \ge [/mm] 5 gilt
p [mm] \equiv \pm [/mm] 1 (6)
Das ist nur eine bequemere Schreibweise, als zu schreiben [mm]p=6r\pm1[/mm] für ein [mm]r \in \IN[/mm]
und
5 [mm] \equiv [/mm] -1 (6)
muss es also eine weitere Primzahl p' geben, die [mm] 1+\prod_{i=1}^{j-1}a_i [/mm] teilt und für die gilt:
p' [mm] \equiv [/mm] -1 (6)
den dann gilt
p*p' [mm] \equiv [/mm] (-1)(-1)=1 (6)
Fall A: [mm] p'\not= [/mm] 5 dann gibt es ein k [mm] \in \IN [/mm] für das gilt p'=6k-1 und [mm] k\not=1. [/mm] Da -1 keine Primzahl ist muss damit gelten k>1 und damit auch p'>5 also ist 5 nicht der größte Primfaktor.
Fall B: p'=5
Sei [mm] q=\prod_{i=1}^{j-1}a_i
[/mm]
Die Zahl 1+q ist also teilbar durch [mm] p*p'=5^2.
[/mm]
Man kann zeigen, dass 1+q in diesem Fall nur aus einer Potenz von 5 besteht, wobei der Exponent gerade ist.
Da gilt 6 teilt q kann weder 2 noch 3 ein Teiler von q+1 sein und wir haben angenommen, dass 5 der größte Primfaktor ist, also muss gelten. [mm] q+1=5^m [/mm] für ein m [mm] \in \IN. [/mm] Wegen 5 [mm] \equiv [/mm] -1 (6) muss m gerade sein.
Eigentlich muss man das aber gar nicht wissen fällt mir gerade auf :o)
Wenn q tatsächlich eine Potenz von 5 ist, dann kann man schreiben:
[mm] q+1=5^n=(4+1)^n
[/mm]
Es gilt
4 + 1 [mm] \equiv [/mm] 1 (4)
daraus folgt
[mm] q+1=(4+1)^n \equiv 1^n=1 [/mm] (4)
Damit müsste also gelten, dass 4 ein Teiler von q ist. Das kann aber nicht sein, denn 2 taucht in der Folge [mm] a_i [/mm] mit i>1 nie wieder auf, weil alle weiteren Zahlen ungerade sind (siehe oben)
Gruß
Jürgen
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Hallo Jürgen.
Deine Antwort scheint mir korrekt zu sein und unterscheidet sich im Endeffekt auch nicht großartig von meiner. Gratuliere 
Dann gebe ich mal meine Lösung zum Besten:
Wäre 5 der größte Primteiler von [mm]a_1a_2...a_n+1[/mm], so wäre dieser Term eine 5er Potenz, da keine kleineren Primteiler vorkommen können ([mm]a_1=2, a_2=3[/mm], der Term lässt also den Rest 1 modulo 2 und 3) und keine größeren Primteiler vorkommen dürfen.
5er Potenzen lassen den Rest 1 modulo 4, [mm]a_1a_2...a_n+1[/mm] lässt aber den Rest 3 (das Produkt der Folgenglieder ist nur durch 2, nicht aber durch 4 Teilbar).
MfG
Jan
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