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| Aufgabe | Konstruiere eine Folge von Treppenfunktionen auf [-1,1], die in der sup-Norm gegen [mm] f(x)=\wurzel{1-x^{2}} [/mm] konvergiert, und leite daraus eine Formel für PI her.
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Guten Morgen liebes Matheforum.net,
ich habe ein größeres Problem mit der oben stehenden Aufgabe, die im Zusammenhang mit der Supremumsnorm, mit Regelfunktionen und mit dem Intergral einer stetigen Funktion (f [mm] \varepsilon [/mm] R([a,b]): [mm] \integral {f}:=\limes_{n\rightarrow\infty} \integral {C_{n}} [/mm] , wobei [mm] C_{n}Folge [/mm] von Treppenfunktionen, für die gilt: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} ||C_{n}-f||=0) [/mm] steht.
Nur leider weiß ich überhaupt nicht, wie ich da vorgehen muss und wie auf eine Folge von Treppenfunktionen überhaupt im Allgemeinen komme.
Eine Funktion C: [mm] [a,b]-->\IR [/mm] heißt Treppenfunktion, falls eine Unterteilung [mm] a=x_{0} [/mm] < [mm] x_{1} [/mm] < ... < [mm] x_{n}=b [/mm] existiert, so dass C auf jedem offenen Teilintervall [mm] (x_{k-1}, x_{k}) [/mm] konstant ist. Nur irgendwie hilft es mir nicht weiter bzgl. einer Folge von Treppenfunktion.
Ich vermute, man muss hier mit der eulerischen Formel bzw. mit [mm] 1=cos(x)^{2}+sin(x)^{2} [/mm] hantieren muss. Nur wie gesagt ich weiß nicht wirklich wie. Deswegen wäre ich um jede Hilfe dankbar!
Mit freundlichen Grüßen
rubstudent88
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:54 Sa 01.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Konstruiere eine Folge von Treppenfunktionen auf [-1,1],
> die in der sup-Norm gegen [mm]f(x)=\wurzel{1-x^{2}}[/mm]
> konvergiert, und leite daraus eine Formel für PI her.
>
> Guten Morgen liebes Matheforum.net,
>
> ich habe ein größeres Problem mit der oben stehenden
> Aufgabe, die im Zusammenhang mit der Supremumsnorm, mit
> Regelfunktionen und mit dem Intergral einer stetigen
> Funktion (f [mm]\varepsilon[/mm] R([a,b]): [mm]\integral {f}:=\limes_{n\rightarrow\infty} \integral {C_{n}}[/mm]
> , wobei [mm]C_{n}Folge[/mm] von Treppenfunktionen, für die gilt:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} ||C_{n}-f||=0)[/mm] steht.
>
> Nur leider weiß ich überhaupt nicht, wie ich da vorgehen
> muss und wie auf eine Folge von Treppenfunktionen
> überhaupt im Allgemeinen komme.
> Eine Funktion C: [mm][a,b]-->\IR[/mm] heißt Treppenfunktion, falls
> eine Unterteilung [mm]a=x_{0}[/mm] < [mm]x_{1}[/mm] < ... < [mm]x_{n}=b[/mm]
> existiert, so dass C auf jedem offenen Teilintervall
> [mm](x_{k-1}, x_{k})[/mm] konstant ist. Nur irgendwie hilft es mir
> nicht weiter bzgl. einer Folge von Treppenfunktion.
Nun, hier darfst du deiner Fantasie freien Lauf lassen...
> Ich vermute, man muss hier mit der eulerischen Formel bzw.
> mit [mm]1=cos(x)^{2}+sin(x)^{2}[/mm] hantieren muss. Nur wie gesagt
> ich weiß nicht wirklich wie. Deswegen wäre ich um jede
Nein, die eulersche Formel brauchst du nicht. Um eine Formel fuer [mm] $\pi$ [/mm] zu finden, beachte [mm] $\pi [/mm] = 2 [mm] \int_{-1}^1 \sqrt{1 - x^2} [/mm] dx$.
LG Felix
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