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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:19 Do 18.11.2010 | | Autor: | Random |
| Aufgabe | Die folgenden Summen können entweder absolut konvergent sein oder devergent.
Überprüfen Sie dies:
d) [mm] \summe_{v=1}^{\infty}\bruch{cos(\pi*v)}{v^2+2} [/mm] |
Guten morgen Matheraum!!!
Also ich weiss nicht welches Kriterium ich hier anwenden kann. Ich habe bisher nur:
[mm] \summe_{v=1}^{\infty}\bruch{cos(\pi*v)}{v^2+2}=\summe_{v=1}^{\infty}cos(\pi*v)\bruch{1}{v^2+2}
[/mm]
Kann ich vielleicht für den Ausdruck hier das Vergleichskriterium verwenden und:
[mm] 0\le\bruch{1}{v^2+2}<\bruch{1}{v}
[/mm]
Oder kann ich einfach sagen [mm] \bruch{1}{v^2+2} [/mm] --> 0
Also geht alles gegen 0. Und dann? xD
Gibt es vielleicht eine Möglichkeit über den [mm] cos(\pi*v) [/mm] etwas zu sagen?
Vielen Dank im Voraus!!!
Ilya
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Hallo Ilya,
> Die folgenden Summen können entweder absolut konvergent
> sein oder devergent.
Das heißt immer noch divergent, daran hat sich seit gestern nichts geändert!
>
> Überprüfen Sie dies:
>
> d) [mm]\summe_{v=1}^{\infty}\bruch{cos(\pi*v)}{v^2+2}[/mm]
> Guten morgen Matheraum!!!
>
> Also ich weiss nicht welches Kriterium ich hier anwenden
> kann. Ich habe bisher nur:
>
> [mm]\summe_{v=1}^{\infty}\bruch{cos(\pi*v)}{v^2+2}=\summe_{v=1}^{\infty}cos(\pi*v)\bruch{1}{v^2+2}[/mm]
>
> Kann ich vielleicht für den Ausdruck hier das
> Vergleichskriterium verwenden
Das ist eine gute Idee!
> und:
>
> [mm]0\le\bruch{1}{v^2+2}<\bruch{1}{v}[/mm]
Was sollte das bringen? Du kannst doch keine Aussage treffen, wenn du gegen eine divergente Majorante abschätzt.
Du solltest gegen eine konvergente Majorante oder eine divergente Minorante abschätzen ...
>
> Oder kann ich einfach sagen [mm]\bruch{1}{v^2+2}[/mm] --> 0
>
> Also geht alles gegen 0.
Was alles?
> Und dann? xD
>
> Gibt es vielleicht eine Möglichkeit über den [mm]cos(\pi*v)[/mm]
> etwas zu sagen?
Betrachte mal die Reihe der Beträge, also [mm]\sum\limits_{v=1}^{\infty}\left|\frac{\cos(\pi\cdot{}v)}{v^2+2}\right|[/mm]
Bedenke, dass [mm]|\cos(z)| \ \le \ 1[/mm] für alle [mm]z\in\IR[/mm] ...
Klappt es damit?
>
> Vielen Dank im Voraus!!!
>
> Ilya
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:29 Do 18.11.2010 | | Autor: | Random |
Guten Morgen schachuzipus!!!
Danke für deine schnelle Antwort!
Okay, also war der Ansatz mit Vergleichskriterium nicht schlecht. Wie bestimme ich denn generell eine konvergente Majorante oder eine diiiiiiiivergente Minorante =)
Worauf muss ich denn bei abschätzen achten. Muss ich es vielleicht wissen? Also einen gewissen Vorrat an Majoranten und Minoranten haben?
Also ich meinte, dass wenn [mm] 1/v^2+v [/mm] gegen 0 geht, geht auch cos(xy)*0 gegen 0 oder?
LG
Ilya
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Hallo nochmal,
> Guten Morgen schachuzipus!!!
>
> Danke für deine schnelle Antwort!
>
> Okay, also war der Ansatz mit Vergleichskriterium nicht
> schlecht. Wie bestimme ich denn generell eine konvergente
> Majorante oder eine diiiiiiiivergente Minorante =)
>
> Worauf muss ich denn bei abschätzen achten. Muss ich es
> vielleicht wissen?
Ja, das solltest du!
> Also einen gewissen Vorrat an Majoranten
> und Minoranten haben?
Als Minorante zieht man meist die harmonische Reihe heran - von der weiß man, dass sie divergent ist ...
Ist dir bekannt, dass die Reihen des Typs [mm]\sum\limits_{v=1}^{\infty}\frac{1}{v^s}[/mm] für [mm]s\le 1[/mm] divergent und für [mm]s>1[/mm] konvergent sind?
Die harmonische Reihe mit [mm]s=1[/mm] ist also genau die "Grenz"reihe zwischen den konvergenten und divergenten Reihen dieses Typs.
Schätze hier gegen die konvergente majorante Reihe [mm]\sum\frac{1}{v^2}[/mm] ab ...
Dazu hatte ich einen Anfang geschreiben: "Beachte, ... usw."
Benutze diesen Tipp!
>
>
> Also ich meinte, dass wenn [mm]1/v^2+v[/mm] gegen 0 geht, geht auch
> cos(xy)*0 gegen 0 oder?
Ja, die Folge der Reihenglieder ist eine Nullfolge, das muss für Konvergenz auch so sein, wäre das keine Nullfolge, wüsstest du direkt, dass die zugeh. Reihe DIVERGENT ist. (Trivialkriterium)
> LG
>
> Ilya
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:09 Do 18.11.2010 | | Autor: | Random |
Also ich denke ich verstehe das nicht ganz. xD
Das Vergleichskriterium ist ja: [mm] 0\le\bruch{1}{v^2+v}<\bruch{1}{v^2}
[/mm]
Was ist denn mein nächster Schritt? Wie kann ich [mm] cos(xy)\le1 [/mm] da einbinden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:18 Do 18.11.2010 | | Autor: | fred97 |
[mm] $|\frac{\cos(\pi\cdot{}v)}{v^2+2}| \le \frac{1}{v^2+2} \le \frac{1}{v^2}$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:26 Do 18.11.2010 | | Autor: | Random |
Es heisst doch [mm] v^2+v [/mm] im Nenner nicht +2 und könntest du das bitte ein Stück weit erläutern.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:32 Do 18.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Es heisst doch [mm]v^2+v[/mm] im Nenner nicht +2 und könntest du
> das bitte ein Stück weit erläutern.
Hier Dein eigener Text:
"Die folgenden Summen können entweder absolut konvergent sein oder devergent.
Überprüfen Sie dies:
d) $ [mm] \summe_{v=1}^{\infty}\bruch{cos(\pi\cdot{}v)}{v^2+2} [/mm] $"
Steht da nicht [mm] v^2+2 [/mm] ?????
FRED
>
>
>
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:35 Do 18.11.2010 | | Autor: | Random |
Oh sorry hab mich beim Eintippen der Aufgabe vertippt =).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:32 Do 18.11.2010 | | Autor: | Random |
Ja das habe ich eig verstanden da cos nicht größer als 1 werden kann kann ich auch einfach 1 oben einsetzen und haben die gleichen Ausdrücke links und in der Mitte recht [mm] 1\bruch{1}{v^2} [/mm] ist größer.Ist es somit nach dem Vergleichskriterium bewiesen, dass die Reihe konvergent ist.
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