Folgen / Grenzwertbestimmung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:07 Di 31.10.2006 | | Autor: | marlei |
| Aufgabe | Ist diese Folge konvergent? Wenn ja geben Sie einen Grenzwert an.
[mm] \wurzel[3]{1 - n^3} [/mm] + n |
Kann mir bitte beim bestimmen des Grenzwertes jemand behilflich sein, ich komm einfach nicht weiter und weiß auch nicht wie ich das Ganze anfangen soll.
Ich bin für jede Hilfe dankbar
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
[mm]\sqrt[3]{1-n^3} \, + \, n = n - \left( n^3 - 1 \right)^{\frac{1}{3}}[/mm]
Intuitiv ist der Grenzwert klar: Wenn man eine große Zahl in die dritte Potenz erhebt, wird sie sehr groß: [mm]n^3[/mm]. Subtrahiert man dann 1, ändert das so gut wie nichts mehr: [mm]n^3 - 1[/mm]. Zieht man schließlich die dritte Wurzel, so ist man fast wieder bei der Startzahl: [mm]\left( n^3 - 1 \right)^{\frac{1}{3}} \approx n[/mm]; die linke Seite ist nur unwesentlich kleiner als die rechte, also ist [mm]n - \left( n^3 - 1 \right)^{\frac{1}{3}} \approx 0[/mm].
Setze in
[mm](x-y)(x^2 + xy + y^2) = x^3 - y^3[/mm]
für [mm]x = n[/mm] und für [mm]y = \left( n^3 - 1 \right)^{\frac{1}{3}}[/mm] ein und löse nach der ersten Klammer auf. Dann bekommst du einen Nenner, dem man sofort ansieht, was für [mm]n \to \infty[/mm] passiert.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:42 Do 02.11.2006 | | Autor: | marlei |
danke für die rasche antwort, dass hat mir sehr weitergeholfen.
|
|
|
|
