Folgen Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuchen Sie, ob die angegebene Folge [mm] $(a_n)$ [/mm] konvergiert und berechnen Sie gegebenenfalls ihren Grenzwert.
Entscheiden Sie bei einer divergenten Folge, ob alle Folgenglieder [mm] $a_n$ [/mm] mit $n [mm] \geq [/mm] N$ für ein geeignetes $N [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] größer bzw. kleiner als jede vorgegebene Schranke werden oder nicht.
[mm] 1)a_{n}= e^n [/mm]
[mm] 2)$a_n [/mm] = [mm] \frac{n^52^n-4n^9+8}{2n-3^n} \qquad \qquad$ [/mm] |
Hallo.
Ich soll o.g Aufgabe berechnen und bin mir nicht sicher wie ich da rangehen soll.
An der Uni haben wir definiert, dass eine Folge konvergent ist, sobald sie einen Grenzwert a hat.
Für den Grenzwert a muss gelten, dass es zu jedem [mm] \epsilon>0 [/mm] ein [mm] n_{0}>0 [/mm] gibt, so dass für alle [mm] n>n_{0} [/mm]
[mm] |a_{n}.a|<\epsilon [/mm] ist.
Leider habe ich bei den gegebenen Funktionen weder ein [mm] \epsilon, [/mm] noch einen Grenzwert gegeben.
Das einzige, was ich machen kann ist Funktionswerte einsetzen und schauen, wie sich die Folgen verhalten.
Ferner ist nicht mal gegeben, wie n definiert ist, also ob [mm] n\in \IR [/mm] oder [mm] \IN [/mm] oder [mm] \IC [/mm] liegt, wobei ich davon ausgehe, dass es in [mm] \IN [/mm] liegt.
Wie geht man bei solchen Aufgaben vor?
Danke im Vorraus.
Ps: Ich nutze schon google, finde aber meist andere Aufgabentypen, bzw. verstehe die Rechenwege dort nicht.
Grüße
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Hallo Masseltof,
> Untersuchen Sie, ob die angegebene Folge [mm](a_n)[/mm] konvergiert
> und berechnen Sie gegebenenfalls ihren Grenzwert.
>
> Entscheiden Sie bei einer divergenten Folge, ob alle
> Folgenglieder [mm]a_n[/mm] mit [mm]n \geq N[/mm] für ein geeignetes [mm]N \in \mathbb{N}[/mm]
> größer bzw. kleiner als jede vorgegebene Schranke werden
> oder nicht.
>
> [mm]1)a_{n}= e^n[/mm]
> 2)[mm]a_n = \frac{n^52^n-4n^9+8}{2n-3^n} \qquad \qquad[/mm]
> Hallo.
>
> Ich soll o.g Aufgabe berechnen und bin mir nicht sicher wie
> ich da rangehen soll.
>
> An der Uni haben wir definiert, dass eine Folge konvergent
> ist, sobald sie einen Grenzwert a hat.
> Für den Grenzwert a muss gelten, dass es zu jedem
> [mm]\epsilon>0[/mm] ein [mm]n_{0}>0[/mm] gibt, so dass für alle [mm]n>n_{0}[/mm]
> [mm]|a_{n}.a|<\epsilon[/mm] ist.
>
> Leider habe ich bei den gegebenen Funktionen weder ein
> [mm]\epsilon,[/mm] noch einen Grenzwert gegeben.
Das [mm]\varepsilon[/mm] ist nicht explizit vorgegeben, du musst (bei Konvergenz) zu beliebigem, dann aber festen [mm]\varepsilon>0[/mm] ein [mm]n_0\in\IN[/mm] angeben, so dass ...
> Das einzige, was ich machen kann ist Funktionswerte
> einsetzen und schauen, wie sich die Folgen verhalten.
> Ferner ist nicht mal gegeben, wie n definiert ist, also ob
> [mm]n\in \IR[/mm] oder [mm]\IN[/mm] oder [mm]\IC[/mm] liegt, wobei ich davon
> ausgehe, dass es in [mm]\IN[/mm] liegt.
Na, was ist denn eine Folge??
Eine Abbildung von [mm]\IN\to\IR[/mm] (oder [mm]\IN\to\IC[/mm]) mit [mm]n\mapsto a_n=a(n)[/mm]
Das [mm]n[/mm] ist also [mm]\in\IN[/mm]
Ihr habt sicher gezeigt, dass die Folgen des Typs [mm]\left(q^n\right)_{n\in\IN}[/mm] für [mm]|q|<1[/mm] konvergieren und für [mm]|q|\ge1[/mm] divergieren.
Damit weißt du, dass die Folge in a) divergiert. (und zwar monoton steigend)
Also steht der Plan, was zu tun ist. Zeige, dass jede beliebig vorgegebene Schranke [mm]M\in\IR^+[/mm] ab einem gewissen [mm]n_0[/mm] übertroffen wird.
Was bedeutet dies mathematisch formuliert? Was ist zu zeigen?
Bei der b) klammere im Zähler [mm]2^n[/mm], im Nenner [mm]3^n[/mm] aus, dann [mm]n\to\infty[/mm] und du hast den Grenzwert.
Das ist der einfache Weg (über die Grenzwertsätze)
Wenn du den GW hast und unbedingt den Betrag [mm]|a_n-GW|[/mm] abschätzen musst, dann bitte, den GW kennst du ja dann ...
>
> Wie geht man bei solchen Aufgaben vor?
Bei der b) wenn nicht anders verlangt durch Ausklammern und Anwendung der Grenzwertsätze.
Genau dazu zeigt man die ja in der VL. Damit man nicht immer beim Urknall anfangen muss
>
> Danke im Vorraus.
Bitte bitte bitte nur ein "r"
> Ps: Ich nutze schon google, finde aber meist andere
> Aufgabentypen, bzw. verstehe die Rechenwege dort nicht.
Es gibt 100.000e gute und gut vorgerechnete Beispiele im Netz.
Da solltest du konkret angeben, was du dir gesucht hast und welche Rechnung du konkret nicht verstehst...
> Grüße
Ebenso
schachuzipus
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Hallo und danke für die Antwort :).
Das mit dem "Voraus" passiert mir aber auch immer wieder :o
Ihr habt sicher gezeigt, dass die Folgen des Typs $ [mm] \left(q^n\right)_{n\in\IN} [/mm] $ für |q|<1 konvergieren und für $ [mm] |q|\ge1 [/mm] $ divergieren.
->Leider haben wir dies nicht gemacht. Ich bin meine Uni-Unterlagen durchgegangen und habe dazu nichts gefunden.
Könntest du/Sie mir den Beweis dafür möglicherweise verlinken?
Unter google.de mit [mm] q^n [/mm] |q|<1 finde ich auf den ersten Seiten nichts :/
Also steht der Plan, was zu tun ist. Zeige, dass jede beliebig vorgegebene Schranke $ [mm] M\in\IR^+ [/mm] $ ab einem gewissen $ [mm] n_0 [/mm] $ übertroffen wird.
-> Bis dato bin ich davon ausgegangen, dass die Schranke der n-Wert ist, an welchem [mm] \epsilon [/mm] > [mm] |a_{n}-a| [/mm] zu gelten beginnt.
Gilt jedoch, dass die Folge divergiert als keinen Grenzwert hat, so kann dies auch nicht der Fall sein.
Was ich mir noch vorstellen könnte, ist eine zu jedem n existierende Schranke M, bis zu der [mm] a_{n} [/mm] Werte annehmen kann und die von [mm] a_{n+1} [/mm] übertroffen werden muss, sodass die Funktion gegen unendlich läuft.
Zur 2. Funktion:
Ich habe ausgekalmmert und komme auf folgendes: [mm] \bruch{2^n*(n^5-\bruch{4n^9}{2^n}+\bruch{8}{2^n}}{3^n*(\bruch{2n}{3^n}.1)}
[/mm]
Wie ich hier weiter vereinfachen soll, weiß ich nicht so recht.
Und noch eine Frage: -> Da im Nenner ja nicht Null stehen darf, bpsw. in der Klammer.
Man würde ja hier davon ausgehen, dass [mm] \bruch{2n}{3^n}=1 [/mm] ist, sodass 1-1=0 folgt.
[mm] \bruch{2n}{3^n}=1 [/mm]
Könnte ich dies folgendermaßen berechnen? (um mal kurz log Kenntnisse zu erfrischen)
[mm] \bruch{2n}{3^n}=1 [/mm] -> [mm] 2n=3^n log_{3}(2n)=n [/mm] ?
Viele Grüße und danke im Voraus!
Ps: Ich habe öfters Links gefunden, in denen Summen/Teilsummen von Folgen berechnet worden sind, komplexe Folgen usw und ich ja nicht mal die Basics verstehe , wie es scheint :/
Im Papula sind die Beispiele durch Wertetabellen berechnet, wobei ich nicht denke, dass jede Folge so berechenbar ist (z.B [mm] \bruch{an}{bn}).
[/mm]
Grüße
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Hallo nochmal,
> Hallo und danke für die Antwort :).
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> Das mit dem "Voraus" passiert mir aber auch immer wieder :o
>
> Ihr habt sicher gezeigt, dass die Folgen des Typs
> [mm]\left(q^n\right)_{n\in\IN}[/mm] für |q|<1 konvergieren und für
> [mm]|q|\ge1[/mm] divergieren.
>
> ->Leider haben wir dies nicht gemacht. Ich bin meine
> Uni-Unterlagen durchgegangen und habe dazu nichts
> gefunden.
> Könntest du/Sie mir den Beweis dafür möglicherweise
> verlinken?
> Unter google.de mit [mm]q^n[/mm] |q|<1 finde ich auf den ersten
> Seiten nichts :/
Das sollte in jedem Ana1-Skript stehen bzw. in jedem themenverwandten Buch stehen.
Du kannst es dir auch leicht selbst überlegen.
Für $q=1$ hast du die Folge 1,1,1,1,... die konstante Eins-Folge (konvergent gegen 1)
Für $q=-1$ hast du $-1,1,-1,1,...$ also Divergenz
Für $|q|<1$ konvergiert die Folge gegen 0.
Probiere einen [mm] $\varepsilon$-Beweis
[/mm]
Für $q>1$ hast du eine monoton steigende unbeschränkte Folge --> Divergenz
Für $q<-1$ was alternierendes, das betraglich wächst --> Divergenz
>
> Also steht der Plan, was zu tun ist. Zeige, dass jede
> beliebig vorgegebene Schranke [mm]M\in\IR^+[/mm] ab einem gewissen
> [mm]n_0[/mm] übertroffen wird.
>
> -> Bis dato bin ich davon ausgegangen, dass die Schranke
> der n-Wert ist, an welchem [mm]\epsilon[/mm] > [mm]|a_{n}-a|[/mm] zu gelten
> beginnt.
> Gilt jedoch, dass die Folge divergiert als keinen
> Grenzwert hat, so kann dies auch nicht der Fall sein.
>
> Was ich mir noch vorstellen könnte, ist eine zu jedem n
> existierende Schranke M, bis zu der [mm]a_{n}[/mm] Werte annehmen
> kann und die von [mm]a_{n+1}[/mm] übertroffen werden muss, sodass
> die Funktion gegen unendlich läuft.
Umgekehrt! Zu jeder noch so großen Schranke (positiven Zahl) $M>0$ existiert ein Index [mm] $n_0$, [/mm] so dass für alle [mm] $n\ge n_0$ [/mm] gilt: [mm] $e^{n}>M$
[/mm]
Dieses [mm] $n_0$ [/mm] kannst du doch leicht in Abh. von $M$ konstruieren ...
>
> Zur 2. Funktion:
>
> Ich habe ausgekalmmert und komme auf folgendes:
> [mm]\bruch{2^n*(n^5-\bruch{4n^9}{2^n}+\bruch{8}{2^n}}{3^n*(\bruch{2n}{3^n}.1)}[/mm]
Mea Culpa! Hatte den Vorfaktor [mm] $n^5$ [/mm] übersehen.
Hier hast du den Fall [mm] $0\cdot{}\infty$, [/mm] was nur bedingt hilft 
Klammere im Zähler besser mal auch [mm] $3^n$ [/mm] aus!
>
> Wie ich hier weiter vereinfachen soll, weiß ich nicht so
> recht.
> Und noch eine Frage: -> Da im Nenner ja nicht Null stehen
> darf, bpsw. in der Klammer.
>
> Man würde ja hier davon ausgehen, dass [mm]\bruch{2n}{3^n}=1[/mm]
Nee, das ist doch [mm] $\left(\frac{2}{3}\right)^n=q^n$ [/mm] mit $|q|<1$, das konvergiert also gegen 0!
> ist, sodass 1-1=0 folgt.
>
> [mm]\bruch{2n}{3^n}=1[/mm]
>
> Könnte ich dies folgendermaßen berechnen? (um mal kurz
> log Kenntnisse zu erfrischen)
>
> [mm]\bruch{2n}{3^n}=1[/mm] -> [mm]2n=3^n log_{3}(2n)=n[/mm] ?
>
> Viele Grüße und danke im Voraus!
>
> Ps: Ich habe öfters Links gefunden, in denen
> Summen/Teilsummen von Folgen berechnet worden sind,
Sicher, dass du da nicht bie Reihen geschaut hast?!
Oder meinst du Teilfolgen?
> komplexe Folgen usw und ich ja nicht mal die Basics
> verstehe , wie es scheint :/
> Im Papula sind die Beispiele durch Wertetabellen
> berechnet, wobei ich nicht denke, dass jede Folge so
> berechenbar ist (z.B [mm]\bruch{an}{bn}).[/mm]
> Grüße
Gruß
schachuzipus
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Hallo und wieder danke für die Antwort.
Ok diese Folge habe ich auch im Buch stehen, in den Vorlesungsaufzeichnungen jedoch nicht.
Hab mich irgendwie verlesen und das mit q falsch verstanden.
[mm] a_{n}=(q)^n [/mm] mit [mm] n\in\IN [/mm] und |q|<1
[mm] |a_{n}-a|<\epsilon [/mm]
Es muss ja gelten, dass |q|<1 ist. Somit ist n=0 ausgeschlossen.
D.h n>0 sein. Da [mm] n\ge n_{0} [/mm] gilt [mm] n\ge n_{0}>0 [/mm]
[mm] a_{n}=q^n [/mm] also gilt [mm] |a_{n}-a|<\epsilon \rightarrow q^n<\epsilon
[/mm]
Ist das richtig so? Wie komme ich denn dann auf das n? Mt dem Logarithmus,oder?
>Umgekehrt! Zu jeder noch so großen Schranke (positiven Zahl) M>0
>existiert ein Index $ [mm] n_0 [/mm] $, so dass für alle $ [mm] n\ge n_0 [/mm] $ gilt: $ [mm] e^{n}>M [/mm] $
>Dieses $ [mm] n_0 [/mm] $ kannst du doch leicht in Abh. von M konstruieren ...
Irgendwie kann ich mir das bildlich gerade nicht vorstellen.
Das heißt ich bestimme eine Schranke, also einen Punkt [mm] P(n_{0}/a_{n_{0}}) [/mm] und alle folgenden n und dazugehörigen [mm] a_{n} [/mm] übersteigen diese Schranke?
D.h ich suche ein n, für das, [mm] a_{n}=e^n [/mm] > [mm] a_{n_{0}} [/mm] wird?
Zu: $ [mm] \bruch{2^n\cdot{}(n^5-\bruch{4n^9}{2^n}+\bruch{8}{2^n}}{3^n\cdot{}(\bruch{2n}{3^n}.1)} [/mm] $ habe mich verschrieben -> sollte:
$ [mm] \bruch{2^n\cdot{}(n^5-\bruch{4n^9}{2^n}+\bruch{8}{2^n}}{3^n\cdot{}(\bruch{2n}{3^n}-1)} [/mm] $ heißen.
Und das ist nicht [mm] (\bruch{2}{3})^n [/mm] , sondern [mm] \bruch{2n}{3^n}.
[/mm]
Dieser Bruch könnte einen Wert annehmen, der 1 entspricht und somit würde in der Klammer 1-1=0 stehen, womit die Funktion eine Polstelle hätte -> Das meinte ich.
Noch [mm] 3^n [/mm] im Zähler ausklammer ergibt folgendes:
$ [mm] \bruch{3^n*2^n\cdot{}(\bruch{n^5}{3n}-\bruch{1}{3^n}*\bruch{4n^9}{2^n}+\bruch{8}{2^n}*\bruch{1}{3^n}}{3^n\cdot{}(\bruch{2n}{3^n}-1)} [/mm] $
Grüße
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Hallo nochmal,
> Hallo und wieder danke für die Antwort.
>
> Ok diese Folge habe ich auch im Buch stehen, in den
> Vorlesungsaufzeichnungen jedoch nicht.
> Hab mich irgendwie verlesen und das mit q falsch
> verstanden.
>
> [mm]a_{n}=(q)^n[/mm] mit [mm]n\in\IN[/mm] und |q|<1
>
> [mm]|a_{n}-a|<\epsilon[/mm]
Es ist [mm]\left(q^n\right)_{n\in\IN}[/mm] für [mm]|q|<1[/mm] eine Nullfolge
Für [mm]q=0[/mm] ist es die konstante Folge 0,0,0,... Die konvergiert gegen 0
Für [mm]|q|<1, q\neq 0[/mm] schätzt man den Betrag [mm]\left|q^n-GW\right|=\left|q^n-0\right|[/mm] doch leicht ab.
Das ist [mm]\left|q^n\right|=|q|^n\overset{!}{<}\varepsilon[/mm] (das liest sich: "soll kleiner Epsilon sein")
Also [mm]n\cdot{}\ln(|q|)<\ln(\varepsilon)[/mm]
Nun ist [mm]\ln(|q|)<0[/mm], wegen [mm]|q|<1[/mm], also [mm]n>\frac{\ln(\varepsilon)}{\ln(|q|)}[/mm]
>
> Es muss ja gelten, dass |q|<1 ist. Somit ist n=0
> ausgeschlossen.
?? Wieso das denn?
Die Folge lautet doch [mm]|q|^0,|q|^1,|q|^2,|q|^3,|q|^4,...[/mm]
> D.h n>0 sein. Da [mm]n\ge n_{0}[/mm] gilt [mm]n\ge n_{0}>0[/mm]
>
> [mm]a_{n}=q^n[/mm] also gilt [mm]|a_{n}-a|<\epsilon \rightarrow q^n<\epsilon[/mm]
Wie das aus dem ersten folgt, sehe ich nicht, es muss am Ende aber auch [mm]|q|^n<\varepsilon[/mm] lauen, was dann nach n aufzulösen ist, um das [mm]n_0[/mm] zu konstruieren (siehe oben)
>
> Ist das richtig so? Wie komme ich denn dann auf das n? Mt
> dem Logarithmus,oder?
>
> >Umgekehrt! Zu jeder noch so großen Schranke (positiven
> Zahl) M>0
> >existiert ein Index [mm]n_0 [/mm], so dass für alle [mm]n\ge n_0[/mm] gilt:
> [mm]e^{n}>M[/mm]
>
> >Dieses [mm]n_0[/mm] kannst du doch leicht in Abh. von M
> konstruieren ...
>
>
> Irgendwie kann ich mir das bildlich gerade nicht
> vorstellen.
> Das heißt ich bestimme eine Schranke, also einen Punkt
> [mm]P(n_{0}/a_{n_{0}})[/mm] und alle folgenden n und dazugehörigen
> [mm]a_{n}[/mm] übersteigen diese Schranke?
>
> D.h ich suche ein n, für das, [mm]a_{n}=e^n[/mm] > [mm]a_{n_{0}}[/mm] wird?
>
> Zu:
> [mm]\bruch{2^n\cdot{}(n^5-\bruch{4n^9}{2^n}+\bruch{8}{2^n}}{3^n\cdot{}(\bruch{2n}{3^n}.1)}[/mm]
> habe mich verschrieben -> sollte:
>
> [mm]\bruch{2^n\cdot{}(n^5-\bruch{4n^9}{2^n}+\bruch{8}{2^n}}{3^n\cdot{}(\bruch{2n}{3^n}-1)}[/mm]
> heißen.
Ja, das war klar!
> Und das ist nicht [mm](\bruch{2}{3})^n[/mm] , sondern
> [mm]\bruch{2n}{3^n}.[/mm]
???
Die größten Terme sind doch [mm]2^n[/mm] im Zähler und [mm]3^n[/mm] im Nenner, da steht [mm]\frac{2^n}{3^n}\cdot{}\text{irgendwas, das gegen} \ -\infty \ \text{geht}[/mm]
Und [mm]\frac{2^n}{3^n}=\left(\frac{2}{3}\right)^n[/mm], das meinte ich damit
Nun ist [mm]\left|\frac{2}{3}\right|<1[/mm]
Also [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^n=0[/mm]
Das haben wir ja oben geklärt ...
Also hast du sowas wie [mm]0\cdot{}\infty[/mm] im Grenzprozess - nicht gut!
> Dieser Bruch könnte einen Wert annehmen, der 1 entspricht
> und somit würde in der Klammer 1-1=0 stehen, womit die
> Funktion eine Polstelle hätte -> Das meinte ich.
>
> Noch [mm]3^n[/mm] im Zähler ausklammer ergibt folgendes:
Nein, nicht "noch" ausklammern, sondern anstatt [mm]2^n[/mm] im Zähler direkt [mm]3^n[/mm] ausklammern.
Das war aber auch keine sonderlich gute Idee. Es bleibt dann immer noch zu zeigen, dass [mm] $\left(\frac{2}{3}\right)^n\cdot{}n^5$ [/mm] gegen 0 konvergiert für [mm] $n\to\infty$
[/mm]
Das muss geschickter gehen, ich bin aber gerade betriebsblind.
Ich überlege mir noch was, wie man das [mm] $n^5$ [/mm] wegschätzen kann
Stelle es einstweilen auf "teilweise beantwortet"
Vllt. ist ja jemand schlaueres schneller ...
>
> [mm]\bruch{3^n*2^n\cdot{}(\bruch{n^5}{3n}-\bruch{1}{3^n}*\bruch{4n^9}{2^n}+\bruch{8}{2^n}*\bruch{1}{3^n}}{3^n\cdot{}(\bruch{2n}{3^n}-1)}[/mm]
>
> Grüße
Ebenso
schachuzipus
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Hallo und danke für die Antwort.
Für $ |q|<1, [mm] q\neq [/mm] 0 $ schätzt man den Betrag $ [mm] \left|q^n-GW\right|=\left|q^n-0\right| [/mm] $ doch leicht ab.
-> Also du meinst damit, dass man sieht, dass der Betrag dann gegen 0 läuft.
Denn wirkich abschätzen kann man (bzw. ich^^) Werte wie [mm] 0.4^{100} [/mm] doch nicht im Kopf?
Also $ [mm] n\cdot{}\ln(|q|)<\ln(\varepsilon) [/mm] $
Nun ist $ [mm] \ln(|q|)<0 [/mm] $, wegen |q|<1, also $ [mm] n>\frac{\ln(\varepsilon)}{\ln(|q|)} [/mm] $
-> Den Schritt kann ich gerade denke ich nicht nachvollziehen.
Ich muss mir nochmal den natürlichen Logarithmus anschauen. Ich verstehe das gerade irgendwie überhaupt nicht, so ein Mist!
> Es muss ja gelten, dass |q|<1 ist. Somit ist n=0
> ausgeschlossen.
?? Wieso das denn?
Die Folge lautet doch $ [mm] |q|^0,|q|^1,|q|^2,|q|^3,|q|^4,... [/mm] $
Hier habe ich mich vertan. Habe mich leider verlesen.
Zu [mm] (\bruch{2}{3})^n [/mm] -> Warum läuft das gegen [mm] -\infty?
[/mm]
Wenn n immer größer wird, so wird zwar die immer kleiner, aber nicht negativ?
Es wird ja immer [mm] \bruch{positiv}{positiv}=positiv [/mm] dort stehen oder irre ich mich?
Grüße und danke für die Mühe.
Echt krass, was ich alles in der Oberstufe verpasst habe :(
Sobald ich genug wissen habe, kann ich das dann auch mal gezielt einsetzen um anderen Leuten zu helfen (hoffe ich).
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Hallo nochmal,
> Hallo und danke für die Antwort.
>
> Für [mm]|q|<1, q\neq 0[/mm] schätzt man den Betrag
> [mm]\left|q^n-GW\right|=\left|q^n-0\right|[/mm] doch leicht ab.
>
> -> Also du meinst damit, dass man sieht, dass der Betrag
> dann gegen 0 läuft.
> Denn wirkich abschätzen kann man (bzw. ich^^) Werte wie
> [mm]0.4^{100}[/mm] doch nicht im Kopf?
Na, das ist doch [mm]\left(\frac{2}{5}\right)^{100}[/mm] und das ist doch sehr sehr klein, der Nenner wächst doch immens schneller als der Zähler, das wird also gegen 0 streben.
Hier betrachtest du aber allg. [mm]q[/mm] mit [mm]|q|<1[/mm]
Wenn du irgendwas, das betraglich kleiner als 1 ist, potenzierst, wird es doch noch kleiner ...
[mm]n\cdot{}\ln(|q|)<\ln(\varepsilon)[/mm]
[mm]\ln(|q|)<0 [/mm]lso
> [mm]n>\frac{\ln(\varepsilon)}{\ln(|q|)}[/mm]
>
> -> Den Schritt kann ich gerade denke ich nicht
> nachvollziehen.
Davor den schon?
Es ist ja [mm]|q|^n=e^{\ln\left(|q|^n\right)}=e^{n\ln(|q|)}[/mm]
Damit dann die Ungleichung logarithmieren und du bist bei [mm]n\ln(|q|)<\ln(\varepsilon)[/mm]
>
> Ich muss mir nochmal den natürlichen Logarithmus
> anschauen. Ich verstehe das gerade irgendwie überhaupt
> nicht, so ein Mist!
Na, der Log. wird Null bei 1 und für Argumente, die kleiner als 1 sind (und das ist [mm]|q|[/mm] ja), ist er negativ.
Schaue dir den Graphen der Logfunktion an.
Und was passiert, wenn du eine Ungleichung mit einer neg. Zahl multiplizierst?
>
>
> > Es muss ja gelten, dass |q|<1 ist. Somit ist n=0
> > ausgeschlossen.
>
> ?? Wieso das denn?
>
> Die Folge lautet doch [mm]|q|^0,|q|^1,|q|^2,|q|^3,|q|^4,...[/mm]
>
> Hier habe ich mich vertan. Habe mich leider verlesen.
>
> Zu [mm](\bruch{2}{3})^n[/mm] -> Warum läuft das gegen [mm]-\infty?[/mm]
Das hat keiner behauptet.
Da steht [mm]\left(\frac{2}{3}\right)^n\cdot{}\text{ein Bruch}[/mm]
Das [mm]\left(\frac{2}{3}\right)^n[/mm] geht gegen 0, der Bruch gegen [mm]-\infty[/mm]
Das Produkt also gegen [mm]0\cdot{}(-\infty)[/mm] - schlecht!
> Wenn n immer größer wird, so wird zwar die immer
> kleiner, aber nicht negativ?
> Es wird ja immer [mm]\bruch{positiv}{positiv}=positiv[/mm] dort
> stehen oder irre ich mich?
>
> Grüße und danke für die Mühe.
>
> Echt krass, was ich alles in der Oberstufe verpasst habe :(
> Sobald ich genug wissen habe, kann ich das dann auch mal
> gezielt einsetzen um anderen Leuten zu helfen (hoffe ich).
>
>
Gruß
schachuzipus
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Hallo.
So wir haben die Aufgaben besprochen und für
$ [mm] a_n [/mm] = [mm] \frac{n^52^n-4n^9+8}{2n-3^n} \qquad \qquad [/mm] $
meinte die zuständige Tutorin, dass im Zähler und im Nenner die Faktoren fokusiert werden sollten, welches n als Exponenten besitzen und der Rest des Termes zu vernachlässigen sei.
Damit würde dort noch [mm] \bruch{2^n}{3^n} [/mm] stehen.
Da [mm] 3^n [/mm] schneller wächst als [mm] 2^n [/mm] und dadurch Nenner>Zähler ist, ist der Grenzwert 0.
Ist das eine für euch plausible Antwort?
Ist das mathematisch überhaupt korrekt? ALso hat der Rest des Termes wirklich so wenig Einfluss auf die Gesamtfunktion?
Viele Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:28 Di 07.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
korrekt ist das nicht, man muss zeigen, dass [mm] n^5 [/mm] und [mm] n^9 [/mm] langsamer wachsen als [mm] 3^n [/mm] bzw [mm] 2^n, [/mm] dass es also ein n gibt, ab dem der hintere Teil viel kleiner ist als [mm] (2/3)^n
[/mm]
ausserdem, einfach, dass [mm] 3^n [/mm] schneller wächst als [mm] 2^n [/mm] ist auch kein Argument! 3*n wächst schneller als 2*n aber 2n/3n konvergiert gegen 2/3 nocht gegen 0-
man muss schon eigentlich wissen oder zeigen, dass für q<1 [mm] q^n [/mm] gegen 0 geht, und hier auch noch dass [mm] n^5*q^n [/mm] auch gegen 0 geht.Das müsste bewiesen werden, ist auch nicht zu schwer.
aber was die tutorin gesagt hat ist wen man eben nicht schon irgendwann vewiesen hat, dass [mm] n^k*q^n [/mm] k fest auch gegen 0 konvergiert nicht richtig:
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:37 Mo 06.12.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo schachuzipus,
> Also hast du sowas wie $ [mm] 0\cdot{}\infty [/mm] $ im Grenzprozess - nicht gut!
Aber wieso denn? Das lässt sich doch sicher umformen zu "sowas wie" [mm] 0*\tfrac{1}{0} [/mm] bzw. sauberer [mm] \tfrac{1}{\infty}*\infty [/mm] - und dann ist entweder etwas zu kürzen oder Monsieur de l'Hospital zu befragen.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:22 Di 07.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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