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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:59 Mo 01.05.2006 | | Autor: | Janshi |
| Aufgabe | Gegeben sind die Folgen:
[mm] a_{n} [/mm] = 2n
[mm] b_{n}= \bruch{1}{n}
[/mm]
[mm] c_{n} [/mm] = [mm] \bruch{2n^{3} + 2n^{2} + n}{n^{2} +1}
[/mm]
[mm] d_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{(-1)^{n} \*n^{2}}
[/mm]
a.) Untersuchen Sie auf Konvergenz, Divergenz, bestimmte Divergenz:
[mm] a_{n} \* b_{n}
[/mm]
[mm] a_{n} [/mm] - [mm] c_{n}
[/mm]
[mm] \bruch{b_{n}}{g_{n}}
[/mm]
[mm] \bruch{g_{n}}{b_{n}}
[/mm]
b.)
Begründen Sie mit Hilfe dieser Erkenntnisse warum es nicht möglich ist, Ausdrücken wie: 0 [mm] \* \infty [/mm] , [mm] \infty [/mm] - [mm] \infty [/mm] , [mm] \bruch{\infty}{\infty} [/mm] , [mm] \bruch{0}{0} [/mm] einen vernünftigen Wert zuzuordnen. |
Hallöchen,
Ich bin neu in diesem Forum.
Die Teilaufgabe b.) bereitet mir schon seit einiger Zeit Probleme. Die Ausdrücke dort kommen ja dadurch zustande wenn ich versuche die Grenzwertsätze auf die Ausdrücke in a.) anzuwenden. Kombiniere ich die Folgen in a.) zuerst und untersuche diese dann auf ihre Konvergenz bzw. Divergenz, so ist das kein Problem. Jedoch komme ich auch nach längerer Überlegung nicht auf eine befriedigende Begründung für die Teilaufgabe b.), ich hoffe jm. kann mir erläutern weshalb man den Ausdrücken keinen vernünftigen Wert zuordnen kann.
Dankeschön,
mfg. Janshi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Janshi,
Ich denke dass, was bei Aufgabenteil b) herum kommen soll ist, dass du ein Gespühr für "unterschiedlich schnelles" Konvergieren bzw. Divergieren bekommst.
Beispiel: Du hast eine Folge die gegen 0 konvergiert und eine zweite, die gegen unendlich divergiert. Du multiplizierst sie und denkst "Egal, was ich mal 0 nehme, es kommt null raus!". Praktische Rechnen zeigt dir dann, dass du durch Kürzen und andere Schritte in der direkten Multiplikation der expliziten Folgebeschreibung dann ggf. sogar einen Grenzwert bekommst.
Ausdrücke wie "unendlich durch unendlich" sind eben trügerisch. Man meint sie kürzen zu können, weil ja vermeintlich das gleiche darsteht. Wenn aber beispielsweise der Nenner viel schneller divergiert, kannst du auch durchaus bei "0" landen.
Rein didaktisch würde ich vermuten, dass das der "Casus knacktus" dabei ist: In Teil a) sammelt ihr praktive Erfahrungen und Eindrücke mit verschiedenen Folgen und in Teil b) sollt ihr dafür sensibilisiert werden, lieber mit den expliziten Folgedarstellungen zu rechnen, als sowas wie
[mm] a_{n} [/mm] geht gegen x, [mm] b_{n} [/mm] geht gegen y, dann wird [mm] \bruch {a_{n}}{b_{n}} [/mm] wohl gegen [mm] \bruch{x}{y} [/mm] gehen zu "vermuten".
Namárie,
sagt ein Lary, wo denkt, dass das dahinter stecken dürfte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:53 Do 04.05.2006 | | Autor: | Janshi |
Vielen Dank für die ausführliche Antworten, denke ich habs verstanden ^^
gruß
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