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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:12 Mo 22.11.2010 | | Autor: | hilbert |
Wir sollen zeigen, dass jede Teilfolge einer Konvergenten Folge ebenfalls konvergent ist und gegen den gleichen Grenzwert läuft.
Ich habe leider überhaupt keine Ahnung.
Alles was ich weiß ist folgendes:
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists n_0 \forall n\ge n_0 [/mm] : | [mm] a_n [/mm] - a| < [mm] \varepsilon
[/mm]
und
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists n_0 \forall [/mm] n,m [mm] \ge n_0 [/mm] : | [mm] a_n [/mm] - [mm] a_m| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Dann weiß ich ja, dass jede monotone Folge, konvergente Teilfolgen besitzt.
Zu zeigen, dass diese dann auch gegen den gleichen Grenzwert laufen bekomm ich glaube noch hin.
Aber wie zeige ich, dass es auf alle Teilfolgen zutrifft?
Vielen, vielen Dank im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:29 Mo 22.11.2010 | | Autor: | Damasus |
Guten Abend Hilbert,
ich weiß nicht, was ihr alle benutzen dürft. Aber ich schreib dir mal einen Vorschlag auf.
zu zeigen: Sei [mm] $(a_n)$ [/mm] eine konvergente Folge mit [mm] $a_n\to [/mm] a$. Jede Teilfolge [mm] $(a_{n_{k}})$ [/mm] ist dann ebenfalls konvergent und hat den Grenzwert a.
Beweis
Jede konvergente Folge [mm] $(a_n)$ [/mm] ist beschränkt (*) und damit auch [mm] $(a_{n_{k}})$. [/mm] Also hat [mm] $(a_{n_{k}})$ [/mm] einen Häufungspunkt, der auch Häufungspunkt von [mm] $(a_n)$ [/mm] ist. Dabei muss es sich um a handeln, da anderfalls [mm] (a_n) [/mm] zwei Häufungspunkte hätte im Wiederspruch zu ("Eine konvergente Folge hat genau einen Häufungspunkt, ihren Grenzwert")(*). Damit ist nach ("Eine Folge ist genau dann konvergent, wenn sie beschränkt ist und nur einen Häufungspunkt besitzt")(*) die Behauptung bewiesen.
Das wäre ein Vorschlag. Wobei man die mit (*)-markierten Stellen noch beweisen müsste. Falls ihr die Sätze hattet, dann natürlich nicht. Ansonsten kann ich dir gerne noch die 3 kleinen Beweise machen ;)
Mfg, Damasus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:48 Mo 22.11.2010 | | Autor: | hilbert |
Häufungspunkte hatten wir noch nicht^^
Ich komm da auch auf keinen grünen Zweig =(
Aber schonmal danke für den Versuch :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:52 Mo 22.11.2010 | | Autor: | Damasus |
Hmmm, dann weiß ich leider nicht wie ihr die Aufgabe lösen sollt. Aber theoretisch gehört das Thema Häufungspunkte zu konvergenten Folgen.
Naja, vll. hat jemand anderes ein Rat.
Mfg, Damasus
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Hallo Hilbert,
> Wir sollen zeigen, dass jede Teilfolge einer Konvergenten
> Folge ebenfalls konvergent ist und gegen den gleichen
> Grenzwert läuft.
Das gilt nur für unendliche Teilfolgen!
> Ich habe leider überhaupt keine Ahnung.
Wenn wir noch wen drittes finden, könnten wir nach belgischem Recht schon einen Verein gründen.
> Alles was ich weiß ist folgendes:
>
> [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists n_0 \forall n\ge n_0[/mm] :
> | [mm]a_n[/mm] - a| < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> und
>
> [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists n_0 \forall[/mm] n,m [mm]\ge n_0[/mm]
> : | [mm]a_n[/mm] - [mm]a_m|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
Ich würde nach dem ersten [mm] n_0 [/mm] jeweils ein Komma setzen. Aber das ist leider nicht einheitlich üblich. Ansonsten richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Mal sehen, ob wir das auch gebrauchen können.
> Dann weiß ich ja, dass jede monotone Folge, konvergente
> Teilfolgen besitzt.
Oh, ist das so einfach? Woher weißt Du das denn?
> Zu zeigen, dass diese dann auch gegen den gleichen
> Grenzwert laufen bekomm ich glaube noch hin.
> Aber wie zeige ich, dass es auf alle Teilfolgen zutrifft?
Na, fast immer wenn man etwas "für alle..." zeigen soll, ist ein Widerspruchsbeweis eine gute Idee. Wie müsste denn eine (unendliche) Teilfolge aussehen, auf die es nicht zutrifft? Und kann die tatsächlich eine Teilfolge sein?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:22 Mi 24.11.2010 | | Autor: | hilbert |
> > Dann weiß ich ja, dass jede monotone Folge, konvergente
> > Teilfolgen besitzt.
>
> Oh, ist das so einfach? Woher weißt Du das denn?
Das hatten wir in der Vorlesung schon.
Also weiß ich, dass es konvergente Teilfolgen gibt.
Und Fred hat mir ja schon geschrieben wie die Aufgabe geht.
Ich verstehe auch alles.
Mein Problem ist dann eher "immer" selbst drauf zu kommen =/
Ich habe sehr viel Spaß an der Mathematik, aber leider fehlt mir noch die nötige Schärfe des Verstands und die Erfahrung, das alles lösen zu können.
Ich hoffe, dass das noch kommt^^.
Ginge das denn auch mit einem Widerspruchsbeweis?
Also:
$ [mm] \forall \varepsilon [/mm] $ > 0, $ [mm] \exists n_0 \forall [/mm] , [mm] n\ge n_0 [/mm] $ :
wird verneint in:
[mm] \exists \varepsilon>0, \forall n_0 [/mm] , [mm] \exists n\ge n_0 [/mm] : [mm] |a_n [/mm] - a| > [mm] \varepsilon
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:28 Mi 24.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Ich hab Dir hier gezeigt wie es geht:
https://matheraum.de/read?i=739203
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:05 Di 23.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Sei [mm] (a_{n_k}) [/mm] eine Teilfolge von [mm] (a_n) [/mm] und [mm] \varepsilon [/mm] >0.
Da [mm] (a_n) [/mm] gegen a konvergiert, gibt es ein [mm] n_0 \in \IN [/mm] mit
(*) [mm] $|a_n-a| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] $ für n [mm] \ge n_0.
[/mm]
Nun wähle [mm] k_0 [/mm] so groß, dass [mm] n_{k_0} \ge n_0 [/mm] ist. Ist dann k [mm] \ge k_0 [/mm] , so ist [mm] n_k \ge n_{k_0} \ge n_0 [/mm] und damit (mit (*))
[mm] $|a_{n_k}-a| [/mm] < [mm] \varepsilon.
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:39 Mi 24.11.2010 | | Autor: | Peter_Pein |
> Wir sollen zeigen, dass jede Teilfolge einer Konvergenten
> Folge ebenfalls konvergent ist und gegen den gleichen
> Grenzwert läuft.
>
...
> Dann weiß ich ja, dass jede monotone Folge, konvergente
> Teilfolgen besitzt.
Nur ein Tipp am Rande:
Vermeide es nach Möglichkeit, Eigenschaften des betrachteten Objektes aus dem Zylinder zu zaubern. Ich sehe weder in der Aufgabenstellung noch im Rahmen meiner mäßigen Fähigkeiten einen Weg, zu zeigen, dass eine konvergente Folge monoton ist (aber mir fällt sofort ein Gegenbeispiel ein: [mm]\frac{(-1)^{n}}{n}[/mm].
Gruß,
Peter
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