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| Aufgabe | a) Man berechne [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1-\bruch{1}{n^2})^n.
[/mm]
b) Ist die Folge [mm] a_n:=(-1+\bruch{1}{n})^n [/mm] konvergent? Man berechne gegebenenfalls den Grenzwert!
c) Konvergiert die Folge [mm] (1+\bruch{-1^n}{n})^n, [/mm] wenn ja gegen was? |
Hallo zusammen,
die Folgen haben ja alle einen Hauch e, aber sind eben nicht ganz so schön:
bei der a) stört mich nicht nur das "-" sondern auch noch das [mm] n^2 [/mm] im Nenner.
Ich versuche das zu kompensieren, indem ich umforme:
[mm] (1-\bruch{1}{n^2})^n=(1+\bruch{-1}{n^2})^{n^2}\bruch{1}{(1+\bruch{-1}{n^2})^n}. [/mm] Aber das bringt mich nicht weiter. Um jetzt das [mm] n^2 [/mm] des 2. Faktors zu kompensieren müsste ich wieder künstlich erweitern, und wäre wieder am Anfang. Was mache ich falsch?
Bei der b) hab ich das Problem, dass ich nach dem Umformen nicht einfach die "-2" weg kriegt: [mm] (-1+\bruch{1}{n})^n=(-2+1+\bruch{1}{n})^n.
[/mm]
Bei der c) hab ich die Folge aufgeteilt in ungerade und gerade n:
[mm] (1+\bruch{(-1)^n}{n})^n:
[/mm]
[mm] (1+\bruch{(-1)^{2n}}{2n})^{2n}=(1+\bruch{1}{2n})^{2n}=e
[/mm]
[mm] (1+\bruch{(-1)^{2n+1}}{2n+1})^{2n+1}=(1+\bruch{-1}{2n+1})^{2n+1}=\bruch{1}{e}, [/mm] und damit divergent, weil 2 verschiedene Grenzwerte existieren. Stimmt das so?
Ich würde mich freuen, wenn jemand nützliche Tipps für mich hätte, wie ich bei solchen Aufgaben weiterkomme.
Danke schonmal im Voraus!
lg Kai
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:39 Sa 21.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kai!
Kennst Du schon den Grenzwert [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\left(1 \ \red{-} \ \bruch{1}{n}\right)^n$ [/mm] ?
Diesen brauchst Du bei dieser Aufgabe öfters; also auch bei b.) und c.).
Bei Aufgabe a.) solltest Du die Klammer mittels binomischer Formel zerlegen:
[mm] $$\left(1-\bruch{1}{n^2}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] \left[\left(1+\bruch{1}{n}\right)*\left(1-\bruch{1}{n}\right)\right]^n [/mm] \ = \ [mm] \left(1+\bruch{1}{n}\right)^n*\left(1-\bruch{1}{n}\right)^n$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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> Kennst Du schon den Grenzwert
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\left(1 \ \red{-} \ \bruch{1}{n}\right)^n[/mm]
> ?
Ist nicht [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1-\bruch{1}{n})^n=\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{-1}{n})^n=e^{-1}=\bruch{1}{e}[/mm]?
lg Kai
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:47 Sa 21.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kai!
Das stimmt so. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:41 Sa 21.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kai!
Klammere hier aus:
[mm] $$\left(-1+\bruch{1}{n}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] \left[(-1)*\left(1-\bruch{1}{n}\right)\right]^n [/mm] \ = \ [mm] (-1)^n*\left(1-\bruch{1}{n}\right)^n$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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D.h. doch aber, dass hier auch 2 verschiedene Häufungspunkte rauskommen, wenn ich gerade und ungerade n betrachte, also wieder kein Grenzwert!?
lg Kai
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:55 Sa 21.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kai!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:43 Sa 21.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kai!
Diese Aufgabe hast Du korrekt gelöst.
Gruß
Loddar
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Danke vielmals, schreibe nächste Woche Klausur und rechne grad sämtliche Übungsklausuren durch. Jetzt kann ich zumindest an diese Theman einen Hacken machen!
lg Kai, und noch ein schönes Wochenende!
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