Folgen und Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:09 Mi 16.11.2005 | | Autor: | Pure |
-Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.-
Hallo,
also ich poste hier zum ersten Mal, hab die Site grad entdeckt, und hoffe, ihr könnt mir helfen.
Es ist nämlich eine Hausaufgabe, die benotet wird und noch mehr schlechte Noten kann ich mir net leisten -> Unterkurs:-(
Würde Mathe aber doch ganz gerne mal endlich verstehen.
Also, die Aufgabe lautet:
Gegeben ist die Folge (a n)mit a1=1 und a(n+1)=1/2*a(n)+1.
Geben Sie das allgemeine Glied a(n) der Folge an.
So, das ist mein Problem. Wie bekomme ich aus a1 und a(n+1) das allgemeine Glied?
Ich hab versucht, die ersten Glieder der Folge auszurechnen, was mir auch gelungen ist, denke ich mal. Hier: a(n)= 1; 1,5; 1,75; 1,875; 1,9375;...
Jetzt weiß ich aber nicht mehr weiter. Ich hab versucht, es zu untersuchen, ob es arithmetisch oder geometrisch ist (weil es später in der Aufgabe heißt: Handelt es sich um eine geometrische Folge oder Reihe?), aber mein Ti spuckt jedes Mal nur "False" aus, wenn ich versuche, das mit einem LGS zu lösen.
Könnt ihr mir helfen? Ich brauch das bis Freitag und hab schon jetzt richtig Angst davor.
Würde mich wirklich sehr über Antworten freuen!
LG Pure
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:13 Mi 16.11.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Pure,
> -Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.-
>
> Hallo,
> also ich poste hier zum ersten Mal, hab die Site grad
> entdeckt, und hoffe, ihr könnt mir helfen.
> Es ist nämlich eine Hausaufgabe, die benotet wird und noch
> mehr schlechte Noten kann ich mir net leisten ->
> Unterkurs:-(
> Würde Mathe aber doch ganz gerne mal endlich verstehen.
> Also, die Aufgabe lautet:
>
> Gegeben ist die Folge (a n)mit a1=1 und a(n+1)=1/2*a(n)+1.
> Geben Sie das allgemeine Glied a(n) der Folge an.
>
> So, das ist mein Problem. Wie bekomme ich aus a1 und a(n+1)
> das allgemeine Glied?
> Ich hab versucht, die ersten Glieder der Folge
> auszurechnen, was mir auch gelungen ist, denke ich mal.
> Hier: a(n)= 1; 1,5; 1,75; 1,875; 1,9375;...
Das ist dir gelungen.
Jetz sieh dir mal die Folge an, deren erstes Glied die 1 ist und danach kommen jeweils die Differenzen zum vorherigen,
also
1; 0,5; 0,25; 0,125; 0,0625;...
Ich denke, du siehst, was das für eine Folge ist. Findest du jetzt schon eine Lösung für deine Aufgabe? Probier's mal und melde dich wieder, wenn noch Fragen auftreten.
Gruß
Sigrid
> Jetzt weiß ich aber nicht mehr weiter. Ich hab versucht,
> es zu untersuchen, ob es arithmetisch oder geometrisch ist
> (weil es später in der Aufgabe heißt: Handelt es sich um
> eine geometrische Folge oder Reihe?), aber mein Ti spuckt
> jedes Mal nur "False" aus, wenn ich versuche, das mit einem
> LGS zu lösen.
> Könnt ihr mir helfen? Ich brauch das bis Freitag und hab
> schon jetzt richtig Angst davor.
Keine sorge, bis dahin hast du die Lösung sicher gefunden.
>
> Würde mich wirklich sehr über Antworten freuen!
>
> LG Pure
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:04 Do 17.11.2005 | | Autor: | Pure |
Hallo, erst mal lieben dank für die Hilfe
Also mir ist so aufgefallen, dass sich der Wert, der dazu addiert wird, immer halbiert. Deshalb denke ich, dass bei a(n) irgendwas mit (1/2)^(n-1) stehen muss, aber so komplett bekomm ich es trotzden nicht hin. Bin ich überhaupt richtig mit der Vermutung? Und wie komme ich auf den Rest?
Eine andere Frage der Nummer ist auch, "Versuchen Sie eine Vermutung über Konvergenz bzw Divergenz der Folge zu gewinnen .... und beweisen Sie diese". Diese Frage steht vor der mit dem allgemeinen Glied a(n). Hilft mir die vielleicht dabei? Ich will ja nicht so blöd wirken, aber auch Konvergenz und Divergenz kann ich nicht beweisen... Ich weiß, dass wenn z.B. 1 der Grenzwert ist, dass die Folge gegen 1 konvergiert ( <- richtig?), aber mit Divergenz kann ich nichts anfangen.
Würde mich über eine erneute Hilfe wirklich riesig freuen!
Lg Pure
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Hallo Pure,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo, erst mal lieben dank für die Hilfe
>
> Also mir ist so aufgefallen, dass sich der Wert, der dazu
> addiert wird, immer halbiert. Deshalb denke ich, dass bei
> a(n) irgendwas mit (1/2)^(n-1) stehen muss, aber so
> komplett bekomm ich es trotzden nicht hin. Bin ich
> überhaupt richtig mit der Vermutung? Und wie komme ich auf
> den Rest?
a(n+1)=1/2*a(n)+1
a(n)= 1; 1,5; 1,75; 1,875; 1,9375;...
[mm] $a_1 [/mm] = 1$
[mm] $a_2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*a_1 [/mm] + 1 $
[mm] $a_3 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*a_2 [/mm] + 1 = [mm] \bruch{1}{2}*(\bruch{1}{2}*a_1 [/mm] + 1) +1 $
na, wie geht's jetzt weiter?
Fass mal zusammen, ohne die Potenzen auszurechnen!
>
> Eine andere Frage der Nummer ist auch, "Versuchen Sie eine
> Vermutung über Konvergenz bzw Divergenz der Folge zu
> gewinnen .... und beweisen Sie diese". Diese Frage steht
> vor der mit dem allgemeinen Glied a(n). Hilft mir die
> vielleicht dabei? Ich will ja nicht so blöd wirken, aber
> auch Konvergenz und Divergenz kann ich nicht beweisen...
> Ich weiß, dass wenn z.B. 1 der Grenzwert ist, dass die
> Folge gegen 1 konvergiert ( <- richtig?), aber mit
> Divergenz kann ich nichts anfangen.
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]")  Konvergenz in unserer MatheBank!
>
> Würde mich über eine erneute Hilfe wirklich riesig freuen!
>
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:04 Do 17.11.2005 | | Autor: | Pure |
Hi,
also ich hab das jetzt mal probiert.
[mm] a_{3}= \bruch{1}{4}a_{1}+1,5
[/mm]
[mm] a_{4}= \bruch{1}{8}a_{1}+1,75
[/mm]
[mm] a_{5}= \bruch{1}{16}a_{1}+1,875
[/mm]
Der Wert von [mm] a_{1} [/mm] wird also immer um die Hälfte kleiner und hinten wird immer das vorherige Ergebnis addiert. Das ist mir bis jetzt mal aufgefallen. Ich denke, dass bei [mm] a_{n} [/mm] irgendwie 2 dabei ist. Ich hab mir auch mal noch mehr Glieder ausgerechnet und gemerkt, dass die Folge bei 2 praktisch wie nen Grenzwert hat.
Bei den Brüchen von [mm] a_{1} [/mm] kann man ja sagen, dass man die immer mit 1/2^(n-1) ausrechnet, so würde man nämlich auf die Werte da vorne kommen, hab ich gemerkt.
Aber jetzt weiß ich nicht mehr weiter. Können Sie mir bitte noch mal helfen?
LG Pure
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Hi,
> also ich hab das jetzt mal probiert.
>
> [mm]a_{3}= \bruch{1}{4}a_{1}+1,5 = (\bruch{1}{2})^2 a_1 + 1 + \bruch{1}{2}[/mm]
> [mm]a_{4}= \bruch{1}{8}a_{1}+1,75[/mm]
>
> [mm]a_{5}= \bruch{1}{16}a_{1}+1,875[/mm]
>
> Der Wert von [mm]a_{1}[/mm] wird also immer um die Hälfte kleiner
> und hinten wird immer das vorherige Ergebnis addiert. Das
> ist mir bis jetzt mal aufgefallen. Ich denke, dass bei
> [mm]a_{n}[/mm] irgendwie 2 dabei ist. Ich hab mir auch mal noch mehr
> Glieder ausgerechnet und gemerkt, dass die Folge bei 2
> praktisch wie nen Grenzwert hat.
> Bei den Brüchen von [mm]a_{1}[/mm] kann man ja sagen, dass man die
> immer mit 1/2^(n-1) ausrechnet, so würde man nämlich auf
> die Werte da vorne kommen, hab ich gemerkt.
> Aber jetzt weiß ich nicht mehr weiter. Können Sie mir
> bitte noch mal helfen?
gerne - aber halte dich an meine Tipps und schreibe die Brüche als Potenzen, damit du das Bildungsgesetz erkennen kannst.
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 Do 17.11.2005 | | Autor: | Pure |
Gut, also ich versuche mal mein Glück...
[mm] a_{4}= (\bruch{1}{2})^{3}*a_{1}+ [/mm] 1 + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] a_{5}= (\bruch{1}{2})^{4}*a_{1}+ [/mm] 1 + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{8}
[/mm]
Auf was muss ich denn besonders achten, um das Bildungsgesetz zu erkennen?
Gruß Pure
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> Gut, also ich versuche mal mein Glück...
>
> [mm]a_{4}= (\bruch{1}{2})^{3}*a_{1}+[/mm] 1 + [mm]\bruch{1}{2}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{4}[/mm]
> [mm]a_{5}= (\bruch{1}{2})^{4}*a_{1}+[/mm] 1 + [mm]\bruch{1}{2}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{4}[/mm] + [mm]\bruch{1}{8}[/mm]
![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]")
>
> Auf was muss ich denn besonders achten, um das
> Bildungsgesetz zu erkennen?
[mm]a_{5}= (\bruch{1}{2})^{4}*a_{1}+ 1 + (\bruch{1}{2})^1 + (\bruch{1}{2})^2 + (\bruch{1}{2})^3[/mm]
wird's jetzt klarer?
Gruß informix
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> Gut, also ich versuche mal mein Glück...
>
> [mm]a_{4}= (\bruch{1}{2})^{3}*a_{1}+[/mm] 1 + [mm]\bruch{1}{2}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{4}[/mm]
> [mm]a_{5}= (\bruch{1}{2})^{4}*a_{1}+[/mm] 1 + [mm]\bruch{1}{2}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{4}[/mm] + [mm]\bruch{1}{8}[/mm]
>
da wir wissen, dass [mm] a_1 [/mm] = 1 gilt und a(n)= 1; 1,5; 1,75; 1,875; 1,9375;...
ergibt sich mit: 1; 1 + [mm] \bruch{1}{2}; [/mm] 1 + [mm] \bruch{3}{4}; [/mm] 1 + [mm] \bruch{7}{8}; [/mm] 1 + [mm] \bruch{15}{16} [/mm] ...
ein weiteres Bildungsgesetz, dem man anschließend noch viel schneller den Grenzwert ansehen kann. 
Gruß informix
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:41 Do 17.11.2005 | | Autor: | Pure |
Also, da ich schon wieder bei meinem alten Modell mit dem 1/2 hoch irgendwas bin und davon irgendwie nicht wegkomme, hab ich mal wieder Probleme. Aber an dieser Stelle möchte ich auch mal danke sagen, dass Sie sich da die Zeit nehmen und mir bei jeden noch so kleinen Schritt helfen und sogar ein neues Bildungsgesetz gefunden haben.
Das, was ich jetzt da für ein a(n) rausgefunden hab, klappt eigentlich bei allen n-Werten, außer bei n=1. Da versagt es halt.
Ich habe:
a(n)= a1+(1- [mm] (\bruch{1}{2})^{n-1})
[/mm]
Erst hab ich angefangen und wollte das mit einem Bruch machen, aber es hat irgendwie nicht ganz geklappt.
Es ist schon sehr einleuchtend, dass praktisch immer [mm] \bruch{1}{x} [/mm] bis zu 1 fehlt. Es ist mir schon ein bisschen peinlich, dass ich es nicht einmal so herausbekommen habe, bei der Hilfe, die Sie mir da gegeben haben.
Gruß Pure
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:38 Do 17.11.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Pure,
> Hallo, erst mal lieben dank für die Hilfe
>
> Also mir ist so aufgefallen, dass sich der Wert, der dazu
> addiert wird, immer halbiert. Deshalb denke ich, dass bei
> a(n) irgendwas mit (1/2)^(n-1) stehen muss, aber so
> komplett bekomm ich es trotzden nicht hin. Bin ich
> überhaupt richtig mit der Vermutung? Und wie komme ich auf
> den Rest?
Du bist genau richtig!
Die Werte, die du dazu addierst, bilden also eine geometrische Folge mit dem Anfangswert 1 und dem Quotienten [mm] \bruch{1}{2} [/mm]. Deine Folge ist also eine geometrische Reihe, d.h.
[mm] a_n = a_1 \bruch{q^n - 1}{q-1} = \bruch{(\bruch{1}{2})^n - 1}{\bruch{1}{2} - 1} [/mm]
Diese Reihe konvergiert, weil q<1. Kennst du die Formel für den Grenzwert einer geometrischen Reihe? Sonst überlege dir, dass
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{2})^n\ =\ 0 [/mm]
>
> Eine andere Frage der Nummer ist auch, "Versuchen Sie eine
> Vermutung über Konvergenz bzw Divergenz der Folge zu
> gewinnen .... und beweisen Sie diese". Diese Frage steht
> vor der mit dem allgemeinen Glied a(n). Hilft mir die
> vielleicht dabei? Ich will ja nicht so blöd wirken, aber
> auch Konvergenz und Divergenz kann ich nicht beweisen...
> Ich weiß, dass wenn z.B. 1 der Grenzwert ist, dass die
> Folge gegen 1 konvergiert ( <- richtig?), aber mit
> Divergenz kann ich nichts anfangen.
Divergenz bedeutet, dass die Folge (Reihe) nicht konvergiert.
Als Grenzwert deiner Folge müsstest du 2 herausbekommen.
Gruß
Sigrid
>
> Würde mich über eine erneute Hilfe wirklich riesig freuen!
>
> Lg Pure
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