Folgen und Grenzwerte < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:23 So 07.09.2008 | | Autor: | laola71 |
| Aufgabe | Ein leeres Becken wird über ein zulaufrohr mit Wasser gefüllt. Dabei steige 5s lang die Zulaufgeschwindigkeit v(t) gleichmäßig bis auf 10 l/s an und bleibe anschließend 20s lang konstant. Dann wird das Zulaufrohr aus dem becken genommen, so dass kein Wasser mehr zufließen kann. Stattdessen wird ein Abfluß geöffnet, aus dem das Wasser mit konstanter Geschwindigkeit von 5 l/s ausströmt.
a) Stelle den Zusammenhang graphisch dar und bestimme die im Becken vorhandene Wassermenge nach 5s [nach 25s, 60s ]
b) Wann ist das Becken leer ?
oder :
12. Eine Waldfläche wird jährlich durch Einschlag um 10 ha verringert. Nach 5 Jahren beginnen Wiederaufforderungsarbeiten. Dadurch nimmt die Waldfläche jährlich um 7 ha zu.
a) Um wieviel ha hat sich die ursprüngliche Fläche nach 2 [ nach 4,7,9,t] Jahren geändert ?
b) Nach wieviel Jahren ist die ursprüngliche Größe wieder erreicht ? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo erstmal!
Ich schreibe morgen eine Mathearbeit und woltle die themen nacheinander durchgehen, nur bei dem komme ich einfach nciht klar... wird wurden in ie integralrechnung eingeführt mit Obersumme und untersumme ! Eigenltich ja nicht so schwer.. dachte, dass wir das nur graphisch machen damit wir es besser verstehen! Aber als thema hat sie uns gegeben "obersumme und untersumme aufstellen(z.b. f(x) =2 x + x²) , durch Grenzübergang n --> [mm] \infty [/mm] integral berechnen. Das ist das was ich leider gar nicht verstehe! diese aufgaben oben gehören eigentlich zu einem anderen thema "von der änderungsrate auf die gesamtänderung der größe schließen".. da weiß ich leider auch nicht wie ich vorgehen soll.. nur zum eigenltich thema gehört auch "notwendige Reihen im Tafelwerk nachschlagen" Was bedeuten diese Reihen? Wie kann ich diese anwenden? Was sagt mir das? Kann ich damit etwas ausrechnen ? Im Tafelwerk stehen diese auf s.52 z.b. arithmetische Reihen.. mit natürlcihen /geraden Zahlen etc. dann gibt es ja noch dieses Summenzeiczhen (?) [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] Was sagt mir das? Was bedeutet das i? bin wirklich verzweifelt, weil ich dieses thema gar nicht verstehe und da auch aufgaben dazu gestellt werden.. Eigenltich dürfte es ja nicht so schwer sein.. ich glaube, dass man da diese rechtecke berechnet die man in eine funktion zeichnen kann..
Ich möchte die aufgaben erst gar nicht berechnet bekommen, ich will nur, dass mir jemand vielleuchth diese 2 themen erklären kann! Würde dann gerne die Aufgaben versuchen zu rechnen.. ich komm damit nämlich gar nicht klar :( Danke schon im Vorraus! Liebe Grüße
laola
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:03 So 07.09.2008 | | Autor: | abakus |
> Ein leeres Becken wird über ein zulaufrohr mit Wasser
> gefüllt. Dabei steige 5s lang die Zulaufgeschwindigkeit
> v(t) gleichmäßig bis auf 10 l/s an und bleibe anschließend
> 20s lang konstant. Dann wird das Zulaufrohr aus dem becken
> genommen, so dass kein Wasser mehr zufließen kann.
> Stattdessen wird ein Abfluß geöffnet, aus dem das Wasser
> mit konstanter Geschwindigkeit von 5 l/s ausströmt.
> a) Stelle den Zusammenhang graphisch dar und bestimme die
> im Becken vorhandene Wassermenge nach 5s [nach 25s, 60s ]
> b) Wann ist das Becken leer ?
>
> oder :
> 12. Eine Waldfläche wird jährlich durch Einschlag um 10 ha
> verringert. Nach 5 Jahren beginnen
> Wiederaufforderungsarbeiten. Dadurch nimmt die Waldfläche
> jährlich um 7 ha zu.
> a) Um wieviel ha hat sich die ursprüngliche Fläche nach 2 [
> nach 4,7,9,t] Jahren geändert ?
> b) Nach wieviel Jahren ist die ursprüngliche Größe wieder
> erreicht ?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo erstmal!
>
> Ich schreibe morgen eine Mathearbeit und woltle die themen
> nacheinander durchgehen, nur bei dem komme ich einfach
> nciht klar... wird wurden in ie integralrechnung eingeführt
> mit Obersumme und untersumme ! Eigenltich ja nicht so
> schwer.. dachte, dass wir das nur graphisch machen damit
> wir es besser verstehen! Aber als thema hat sie uns gegeben
> "obersumme und untersumme aufstellen(z.b. f(x) =2 x + x²) ,
> durch Grenzübergang n --> [mm]\infty[/mm] integral berechnen. Das
> ist das was ich leider gar nicht verstehe! diese aufgaben
> oben gehören eigentlich zu einem anderen thema "von der
> änderungsrate auf die gesamtänderung der größe schließen"..
> da weiß ich leider auch nicht wie ich vorgehen soll.. nur
> zum eigenltich thema gehört auch "notwendige Reihen im
> Tafelwerk nachschlagen" Was bedeuten diese Reihen? Wie kann
> ich diese anwenden? Was sagt mir das? Kann ich damit etwas
> ausrechnen ? Im Tafelwerk stehen diese auf s.52 z.b.
> arithmetische Reihen.. mit natürlcihen /geraden Zahlen etc.
> dann gibt es ja noch dieses Summenzeiczhen (?)
> [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] Was sagt mir das? Was bedeutet das i? bin
> wirklich verzweifelt, weil ich dieses thema gar nicht
Machen wir es mal konkret an deinem Zulaufbeispiel (Wassel in 5 s von 0 l/s auf 10 l/s).
Wie viel Wasser läuft in dieser Zeit ein. "Schwierig": die Zulaufgeschwindigkeit steigt ständig, ist also zu keiner Zeit konstant. Wir unterteilen deshalb den Zeitraum in mehrere kleine Teilintervalle:
In der 1. Sekunde nehmen wir konstant 2 l/s an.
In der 2. Sekunde nehnen wir konstant 4 l/s an.
...
In der 5. Sekunde nehnen wir konstant 10 l/s an.
(Da wir hier mehr Wasser annehmen als tatsächlich läuft - die genannten Geschwindigkeiten werden erst am Ende der jeweiligen Sekunde erreicht - handelt es sich um eine Obersumme.)
Die Summanden dieser Obersumme bilden die arithmetische Folge (2,4,6,8,10), ausdrückbar durch [mm] a_n=2*n.
[/mm]
Der Gesamtzulauf bis zu einer bestimmten Sekunde ist dann die Summe der bisherigen Folgenglieder:
Gesamtzulauf bis Sekunde 1: [mm] s_1=2 [/mm] Liter = 2 Liter
Gesamtzulauf bis Sekunde 2: [mm] s_2=(2 [/mm] +4) Liter = 6 Liter
Gesamtzulauf bis Sekunde 3: [mm] s_3=(2 [/mm] +4+6) Liter =12 Liter usw.
Die Folge [mm] s_1, s_2, s_3 [/mm] ... der aus der Folge [mm] a_n [/mm] gebildeten Partialsummen nennt man "Reihe". Wirklich nie gehört? Glaube ich nicht, aber na ja...
Notwendige Reihe aus dem Tafelwerk und Summenzeichen:
Wenn du die Summe bis zum Ende ausrechnen willst, musst du hier 2*1+2*2+2*3+2*4+2*5 rechnen, du hast also einige Summanden der Form 2*i, wobei also i von 1 bis 5 läuft.
"Summe aller Terme 2*i, bei denen i von 1 bis 5 läuft" schreibt man als [mm] \summe_{i=1}^{5}2*i.
[/mm]
Diese Formel würdest du so nicht im Tafelwerk finden. Ein anderer Schüler will vielleicht nur 2 solche Summanden addieren, für den lautete die Formel [mm] \summe_{i=1}^{3}2*i, [/mm] und bei 150 solcher Summanden wäre sie [mm] \summe_{i=1}^{150}2*i. [/mm] Deshalb steht als Nummer des größten Summanden keine konkrete Zahl, soldern meist ein n, und jeder Nutzer der Formel muss sein entsprechnedes n einsetzen.
Gruß Abakus
> verstehe und da auch aufgaben dazu gestellt werden..
> Eigenltich dürfte es ja nicht so schwer sein.. ich glaube,
> dass man da diese rechtecke berechnet die man in eine
> funktion zeichnen kann..
>
> Ich möchte die aufgaben erst gar nicht berechnet bekommen,
> ich will nur, dass mir jemand vielleuchth diese 2 themen
> erklären kann! Würde dann gerne die Aufgaben versuchen zu
> rechnen.. ich komm damit nämlich gar nicht klar :( Danke
> schon im Vorraus! Liebe Grüße
> laola
|
|
|
|
