Folgen und Hospital < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
ich habe eine kurze Verständnisfrage zur lieben Hospitalregel.
Wenn ich Folgen habe und die Konvergenz bestimmen will, dann gehe ich ja zB hin und klammere eine Variable aus oder erzeuge irgendwie Brüche, damit diese gegen unendlich wegfallen.
Und dann gibt es ja bei Funktionen (zumindest haben wir die Regel erst da kennengelernt) noch die Hospitalregel - wann wende ich denn nun diese an?
Es gibt ja unedfinierte Ausdrücke wie 0:0 oder unendlich:unendlich, aber die sind ja bei Folgen genauso nicht definiert und hier habe ich soweit ich weiß nie Hospital angewandt.
Kann mir jemand auf die Sprünge helfen, wieso ich Hospital nicht bei reinen Reihen anwende, sondern erst bei Funktionen? Hier gab es ja dann zB auch mal Aufgaben mit limes für x gegen 0, da habe ich dann auch Hospital angewandt, wenn der Ausdruck nicht definiert war.
|
|
| |
|
Hallo Englein,
Du kannst die Regel des Marquis de l'Hospital immer dann anwenden, wenn im Grenzwert eines Bruchs, der einem unbestimmten Ausdruck entgegengeht, Zähler und Nenner sich in gleicher Weise verhalten, also gegen [mm] \pm\bruch{\infty}{\infty} [/mm] oder [mm] \bruch{0}{0} [/mm] streben.
Das geht natürlich auch bei Folgen.
Bei Reihen solltest Du die Regel aber nur anwenden, wenn Du den Grenzwert der Partialsummen oder den Quotienten aufeinanderfolgender Partialsummen betrachtest!
Beantwortet das Deine Frage?
lg,
reverend
|
|
|
| |
|
Ja, jein ;o)
Das heißt, wir haben es bei der Berechnung der Konvergenz von Folgen nur deshalb nicht angewandt, weil wir da noch Hospital nicht kannten? Wir hatten ja oft etwas vom Ausdruck 0:0 oder unendlich:unendlich. Aber wir haben dann immer ausgeklammert oder durch die Variable geteilt, um auf Brüche zu kommen die gegen unendlich gegen 0 gehen und wegfallen.
Oder kann ich im Grunde bei Folgen und auch Funktionen (die ja Folgen sind) genauso hingehen und bei undefinierten Ausdrücken erst einmal ausklammern und Brüche erzeugen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:30 Mo 19.01.2009 | | Autor: | iks |
Moin Englein!
> Das heißt, wir haben es bei der Berechnung der Konvergenz
> von Folgen nur deshalb nicht angewandt, weil wir da noch
> Hospital nicht kannten? Wir hatten ja oft etwas vom
> Ausdruck 0:0 oder unendlich:unendlich. Aber wir haben dann
> immer ausgeklammert oder durch die Variable geteilt, um auf
> Brüche zu kommen die gegen unendlich gegen 0 gehen und
> wegfallen.
Ich denke, das die eigentliche Ursache die erst später gemachte Einführung des Funktionsbegriffes (und demzufolge auch der der Ableitung in einem Punkt) ist.
Wenn nun Folgen als Funktionen
f: [mm] \IN\to\IR [/mm] aufgefasst werden wird klar warum der Hopital auch für Folgen funktioniert kann.
Aber vllt können die alten Hasen mehr dazu sagen :)
>
> Oder kann ich im Grunde bei Folgen und auch Funktionen (die
> ja Folgen sind)
Bei einer Folge wird jeder natürlichen Zahl [mm] n\in\IN [/mm] ein Element f(n) einer Menge M in eindeutiger Weise zugeordnet.
Dies würde also, wenn eine Funktion [mm] $f:\IR\to\IR$ [/mm] eine Folge wäre, auch die Abzählbarkeit der Menge [mm] \IR [/mm] bedeuten. Da nun [mm] \IR [/mm] aber überabzählbar ist kann eine Funktion i.A. keine Folge sein.
Eine Folge kann aber als Funktion aufgefasst werden s.o.
genauso hingehen und bei undefinierten
> Ausdrücken erst einmal ausklammern und Brüche erzeugen?
das geht auch - der Hopital kann aber einiges vereinfachen und somit den Rechenaufwand verringern.
mFg iks
|
|
|
| |
|
Ah, also kann man sagen:
Folgen sind wie Funktionen zu behandeln, also kann ich hier auch Hospital benutzen.
ABer Funktionen sind nicht als Folgen zu bewerten, also darf ich bei Funktionen i.d.R. für unedfinierte Ausdrücke nur Hospital benutzen.
Hab ich dich richtig verstanden?
|
|
|
| |
|
Vielleicht habe ich ja gerade einen Blackout, aber was hilft mir Dein Satz? Was darf ich denn bei Funktionen dann nicht benutzen?
|
|
|
| |
|
Ich meine damit, dass ich bei Funktionen in der Regel gleich Hospital bei unbestimmten Ausdrücken benutze statt auszuklammern zb.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:58 Mo 19.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Englein!
Das lässt sich nicht so pauschal beantworten, da Umformungen (wie z.B. Dein erwähntes Ausklammern) oftmals schneller sind als de l'Hospital.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Demnach kann ich sowohl bei Folgen als auch bei FUnktionen sowohl ausklammern (Brüche erzeugen) als auch Hospital anwenden?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:41 Mo 19.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Englein!
> Demnach kann ich sowohl bei Folgen als auch bei FUnktionen
> sowohl ausklammern (Brüche erzeugen) als auch Hospital anwenden?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ja! Wobei für die Anwendung von de l'Hospital natürlich die bekannten Voraussetzungen erfüllt sein müssen.
Gruß
Loddar
|
|
|
|
