Folgen und Nullfolgen beweisen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe folgende Aufgaben vor mir und bitte um Feedback bzw. Hilfe.
| Aufgabe 1 | a) Sei $a [mm] \in\IR$ [/mm] mit [mm] $\left | a \right [/mm] | < 1$. Zeigen Sie, dass [mm] $(a^n)$ [/mm] eine Nullfolge ist.
Hinweis: Beobachten Sie, dass [mm] $\lim a^n [/mm] = [mm] \lim a^{n+1} [/mm] = a [mm] \lim a^n$.
[/mm]
b) Sei $a [mm] \in\IR$ [/mm] mit [mm] $\left | a \right [/mm] | > 1$. Zeigen Sie, dass [mm] $(a^n)$ [/mm] divergiert.
c) Ist $a > 1$, so divergiert [mm] $(a^n)$ [/mm] bestimmt gegen [mm] $+\infty$. [/mm] |
| Aufgabe 2 | a) Seien [mm] $(a_n)$ [/mm] und [mm] $(b_n)$ [/mm] zwei konvergente Folgen. Es existiere [mm] $N\in\IN$, [/mm] so dass gilt [mm] $a_n\leq b_n$ [/mm] für alle $n [mm] \geq [/mm] N$. Folgern Sie [mm] $\lim a_n\leq \lim b_n$.
[/mm]
b) Seien [mm] $(a_n)$ [/mm] und [mm] $(c_n)$ [/mm] zwei konvergente Folgen und [mm] $(b_n)$ [/mm] eine Folge. Es existieren $N, M [mm] \in\IN$, [/mm] so dass gilt [mm] $a_n\leq b_n$ [/mm] für alle $n [mm] \geq [/mm] N$ und [mm] $b_n\leq c_n$ [/mm] für alle $n [mm] \geq [/mm] M$. Zeigen Sie: Aus [mm] $\lim a_n= \lim c_n$ [/mm] folgt, dass auch [mm] $(b_n)$ [/mm] konvergiert und es gilt [mm] $\lim a_n= \lim b_n [/mm] = [mm] \lim c_n$. [/mm] |
| Aufgabe 3 | | Sei [mm] $(a_n)$ [/mm] eine konvergente Folge mit [mm] $\lim a_n [/mm] = a$. Zeigen Sie, dass dann auch [mm] $(\wurzel{a_n})$ [/mm] konvergiert und es gilt [mm] $\lim \wurzel{a_n} [/mm] = [mm] \wurzel{a}$. [/mm] |
| Aufgabe 4 | Zeigen Sie, dass die folgenden Folgen konvergieren und bestimmen Sie ihren jeweiligen Grenzwert.
a) [mm] $\left( \frac{1}{\wurzel{n + 2}} \right)$
[/mm]
b) [mm] $\left(\wurzel{\frac{n - 1}{n + 3}}\right)$
[/mm]
c) [mm] $\left(\wurzel{n + 1} - \wurzel{n}\right)$ [/mm] |
Zur 1.: a) Bei der Folge [mm]a^n[/mm], ist die Basis beschränkt, da a < 1. Dadurch konvergiert die Folge [mm]a^n[/mm] für n [mm]\to[/mm][mm]\infty[/mm]gegen 0.
b) Hier weiß ich nicht so ganz wie ich rangehen soll.
c) Da die Basis a > 1 ist und der Exponent n für n [mm]\to[/mm][mm]\infty[/mm]gegen [mm]\infty[/mm]strebt,
divergiert die Folge gegen +unendlich, dass ist mir schon klar. Aber wie ist dies zu zeigen?
Und was genau ist mit "bestimmt divergent" gemeint? Habe ich richtig verstanden, dass man da den Kehrwert der Folge bilden soll und wenn dieser gegen 0 konvergiert, so divergiert die Folge bestimmt?
Also, wenn ich von der Folge den Kehrwert bilde [mm]\frac{1}{a^n}[/mm].
So ist der Zähler durch die 1
ja beschränkt und der Nenner läuft für n [mm]\to[/mm][mm]\infty[/mm] gegen [mm]\infty[/mm]. Somit konvergiert
der Kehrwert der Folge gegen 0 und dadurch divergiert die Folge
bestimmt. Ist das korrekt? Aber wie zeige ich dann noch, dass sie bestimmt gegen
+[mm]\infty[/mm] divergiert?
Zur 2.: a) Es gilt analog aus [mm]a_n[/mm] [mm]\leq[/mm] [mm]b_n[/mm], lim [mm]a_n[/mm] [mm]\leq[/mm] lim [mm]b_n[/mm] zu folgern. Aber wie ist diese Analogie herzustellen?
b) Kann man hier so ansetzen und dann sagen, dass aus einer konvergenten Produktfolge, eine ebenfalls konvergente Folge entsteht?
lim [mm]a_n[/mm]* lim [mm]c_n[/mm] = lim [mm]b_n[/mm]
Wie ist die Gleichheit der 3 Folgen dann herzuleiten?
Zur 3.: Bin bisher durch einen Hinweis und eine Folgerung bis hierher
gekommen. [mm] |\wurzel{a}-\wurzel{a_n}|= \bruch{|a-a_n|}{\wurzel{a}-\wurzel{a_n}} \le \bruch{|a-a_n|}{\wurzel{a}} [/mm]
Was wäre nun der nächste Schritt?
Zur 4.: a) Bei der Folge [mm]( \frac{1}{\wurzel{n + 2}} )[/mm] ist der Zähler beschränkt und der Nenner läuft für n [mm]\to[/mm][mm]\infty[/mm]gegen [mm]\infty[/mm]und somit konvergiert die Folge gegen
0, für n [mm]\to[/mm][mm]\infty[/mm].
b) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] [mm](\wurzel{\frac{n - 1}{n + 3}})[/mm] = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] [mm](\wurzel{\frac{n - 1}{n + 3}})^2[/mm] = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] [mm]{\frac{n - 1}{n + 3}}[/mm] = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] [mm]{\frac{n}{n}}[/mm] = 1
Also konvergiert die Folge [mm](\wurzel{\frac{n - 1}{n + 3}})[/mm] für n [mm]\to[/mm][mm]\infty[/mm]gegen 1.
c) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] [mm](\wurzel{n + 1} - \wurzel{n})[/mm] = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] [mm](\wurzel{n + 1} - \wurzel{n})^2[/mm] = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] [mm](n - n)[/mm] = 0
Also konvergiert die Folge [mm](\wurzel{n + 1} - \wurzel{n})[/mm] für n [mm]\to[/mm][mm]\infty[/mm] gegen 0.
Danke & Gruß
Ptolemaios
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Hallo Ptolemaios,
teile doch bitte das nächste Mal eine derart umfangreiche Aufgabe auf mehrere threads auf ...
Das wird heillos unübersichtlich ...
Eine Teilantwort zu 4)
> 4. Zeigen Sie, dass die folgenden Folgen konvergieren und
> bestimmen Sie ihren jeweiligen Grenzwert.
>
> a) [mm]( \frac{1}{\wurzel{n + 2}} )[/mm]
>
>
> b) [mm](\wurzel{\frac{n - 1}{n + 3}})[/mm]
>
>
> c) [mm](\wurzel{n + 1} - \wurzel{n})[/mm]
>
>
>
>
> Zur 4.: a) Bei der Folge [mm]( \frac{1}{\wurzel{n + 2}} )[/mm] ist
> der Zähler beschränkt und der Nenner läuft für n
> [mm]\to[/mm][mm]\infty[/mm]gegen [mm]\infty[/mm]und somit konvergiert die Folge gegen
>
> 0, für n [mm]\to[/mm][mm]\infty[/mm]. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
> b) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] [mm](\wurzel{\frac{n - 1}{n + 3}})[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] [mm](\wurzel{\frac{n - 1}{n + 3}})^2[/mm]
Was? Wieso das? Begrundung? Das ist i.A. nicht so, siehe die nächste Aufgabe
Klammere besser in Zähler und Nenner unter der Wurzel jeweils n aus, zeihe es als [mm] $\sqrt{n}$ [/mm] raus, dann kannst du das wegkürzen und [mm] $n\to\infty$ [/mm] gehen lassen ...
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] [mm]{\frac{n - 1}{n + 3}}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] [mm]{\frac{n}{n}}[/mm] = 1
>
> Also konvergiert die Folge [mm](\wurzel{\frac{n - 1}{n + 3}})[/mm]
> für n [mm]\to[/mm][mm]\infty[/mm]gegen 1. ()
>
>
> c) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] [mm](\wurzel{n + 1} - \wurzel{n})[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] [mm](\wurzel{n + 1} - \wurzel{n})^2[/mm]
Wieso gilt das?
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] [mm](n - n)[/mm] = 0
>
> Also konvergiert die Folge [mm](\wurzel{n + 1} - \wurzel{n})[/mm]
> für n [mm]\to[/mm][mm]\infty[/mm] gegen 0. ()
Besser, du erweiterst direkt mit [mm] $\sqrt{n+1}\red{+}\sqrt{n}$
[/mm]
Das ist so, wie es jetzt in b) und c) dasteht, nicht gut begründet, stimmt aber von den Ergebnissen her ...
>
>
>
> Danke & Gruß
> Ptolemaios
>
>
Gruß
schachuzipus
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Hi schachuzipus,
vielen Dank schonmal für deine rasche Antwort. Die Unübersichtlichkeit fällt mir nun auch auf, es tut mir wirklich Leid, dass ich die Aufgaben nicht gesplittet habe!
Nun zur Aufgabe 4:
b) Meinst du so: [mm] (\wurzel{\frac{n - 1}{n + 3}}) [/mm] = [mm]{\frac{\wurzel{n} * (1 - 1/n)}{\wurzel{n}* (1 + 3/ n)}}[/mm] = [mm]{\frac{1 - 1/n}{1 + 3/ n}}[/mm]
für [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] folgt: [mm]{\frac{1}{1}= 1[/mm]
Also konvergiert die Folge [mm] (\wurzel{\frac{n - 1}{n + 3}}) [/mm] für n [mm]\to[/mm] [mm]\infty[/mm] gegen 1.
c) So: [mm] (\wurzel{n + 1} - \wurzel{n}) [/mm] * [mm] (\wurzel{n + 1} + \wurzel{n}) [/mm] = (n + 1 - n) = n - n = 0 für [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} [/mm]
Also konvergiert die Folge [mm](\wurzel{n + 1} - \wurzel{n}) [/mm] für n [mm]\to[/mm] [mm]\infty[/mm] gegen 0.
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Hallo nochmal,
> Hi schachuzipus,
>
> vielen Dank schonmal für deine rasche Antwort. Die
> Unübersichtlichkeit fällt mir nun auch auf, es tut mir
> wirklich Leid, dass ich die Aufgaben nicht gesplittet
> habe!
Jo, kein Ding, aber achte das nächte Mal darauf!
>
>
> Nun zur Aufgabe 4:
>
> b) Meinst du so: [mm](\wurzel{\frac{n - 1}{n + 3}})[/mm] = [mm]{\frac{\wurzel{n} * (1 - 1/n)}{\wurzel{n}* (1 + 3/ n)}}[/mm] = [mm]{\frac{1 - 1/n}{1 + 3/ n}}[/mm]
Da fehlen einige Wurzeln...
[mm]...=\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}}\cdot{}\sqrt{\frac{1-1/n}{1+3/n}}=\sqrt{\frac{1-1/n}{1+3/n}}\longrightarrow \sqrt{\frac{1-0}{1+0}}=\sqrt{1}=1[/mm] für [mm] $n\to\infty$
[/mm]
>
>
> für [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] folgt: [mm]{\frac{1}{1}= 1[/mm]
>
> Also konvergiert die Folge [mm](\wurzel{\frac{n - 1}{n + 3}})[/mm]
> für n [mm]\to[/mm] [mm]\infty[/mm] gegen 1.
Ja, so in etwa ..
>
>
>
> c) So: [mm](\wurzel{n + 1} - \wurzel{n})[/mm] * [mm](\wurzel{n + 1} + \wurzel{n})[/mm]
Na, was heißt denn erweitern??
[mm](\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\cdot{}\red{\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}=...[/mm]
Dann hast du im Zähler die 3.binomische Formel, das wird zu 1, im Nenner hast du 2 Summanden, die beide gegen [mm]+\infty[/mm] divergieren ...
> = (n + 1 - n) = n - n = 0 für [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm]
>
> Also konvergiert die Folge [mm](\wurzel{n + 1} - \wurzel{n})[/mm]
> für n [mm]\to[/mm] [mm]\infty[/mm] gegen 0.
>
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:01 Do 17.11.2011 | | Autor: | Ptolemaios |
Okay, jetzt seh ich's, sollte heute wohl besser keine Aufgaben mehr machen...
Vielen vielen Dank für deine Hilfe!
Gruß & noch einen schönen Abend
Ptolemaios
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Hallo ptolemaios,
es ist nicht so praktisch, einen Haufen Aufgaben in einen einzigen Thread zu packen. Es wird schnell unübersichtlich.
Ich teile deswegen meine Antwort(en) mal auf, vielleicht schreibt aber auch zwischendurch noch jemand anderes, mal sehen.
> 1. a) Sei a [mm]\in[/mm][mm]\IR[/mm] mit [mm]\left | a \right |[/mm] < 1. Zeigen Sie,
> dass [mm]a^n[/mm] eine Nullfolge ist.
> Hinweis: Beobachten Sie, dass lim [mm]a^n[/mm] = lim [mm]a^n^+^1[/mm] = a
> lim [mm]a^n[/mm]
>
> b) Sei a [mm]\in[/mm][mm]\IR[/mm] mit [mm]\left | a \right |[/mm] > 1. Zeigen Sie,
> dass [mm]a^n[/mm] divergiert.
>
> c) Ist a > 1, so divergiert [mm]a^n[/mm] bestimmt gegen +[mm]\infty.[/mm]
>
> Zur 1.: a) Bei der Folge [mm]a^n[/mm], ist die Basis beschränkt, da
> a < 1. Dadurch konvergiert die Folge [mm]a^n[/mm] für n
> [mm]\to[/mm][mm]\infty[/mm]gegen 0.
Das ist eine unklare Begründung. Verwende doch den Tipp. Setzen wir mal [mm] \lim_{n\to\infty}a^n=g. [/mm] Dann muss nach dem Tipp ja gelten: g=a*g mit [mm] a\not=1. [/mm] Diese Gleichung ist nur für g=0 erfüllt. Allerdings würde das auch stimmen, wenn a>1 ist.
> b) Hier weiß ich nicht so ganz wie ich rangehen soll.
Im Prinzip wie Aufgabe a). Finde eine Unterscheidung, die von |a|<1 bzw. |a|>1 abhängt.
> c) Da die Basis a > 1 ist und der Exponent n für n
> [mm]\to[/mm][mm]\infty[/mm]gegen [mm]\infty[/mm]strebt,
> divergiert die Folge gegen +unendlich, dass ist mir schon
> klar. Aber wie ist dies zu zeigen?
Noch ein Tipp: verwende [mm] a=(1+\alpha) [/mm] für a>1.
> Und was genau ist mit "bestimmt divergent" gemeint? Habe
> ich richtig verstanden, dass man da den Kehrwert der Folge
> bilden soll und wenn dieser gegen 0 konvergiert, so
> divergiert die Folge bestimmt?
Nein. Schau Dir mal a<-1 an. Da divergiert die Folge nicht bestimmt, aber ihr Kehrwert geht gegen 0.
> Also, wenn ich von der Folge den Kehrwert bilde
> [mm]\frac{1}{a^n}[/mm].
>
> So ist der Zähler durch die 1
> ja beschränkt und der Nenner läuft für n [mm]\to[/mm][mm]\infty[/mm]
> gegen [mm]\infty[/mm]. Somit konvergiert
> der Kehrwert der Folge gegen 0 und dadurch divergiert die
> Folge
> bestimmt. Ist das korrekt? Aber wie zeige ich dann noch,
> dass sie bestimmt gegen
> +[mm]\infty[/mm] divergiert?
Siehe neuer Tipp oben.
Grüße
reverend
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Hi reverend,
auch dir danke für deine Hilfe & sorry, dass ich die Aufgaben nicht gesplittet habe, wird nicht mehr vorkommen!
Zur 1. Aufgabe: a)
> Das ist eine unklare Begründung. Verwende doch den Tipp.
> Setzen wir mal [mm]\lim_{n\to\infty}a^n=g.[/mm] Dann muss nach dem
> Tipp ja gelten: g=a*g mit [mm]a\not=1.[/mm] Diese Gleichung ist nur
> für g=0 erfüllt. Allerdings würde das auch stimmen, wenn
> a>1 ist.
Also nehmen wir g als Variable dafür, wohin die Folge konvergiert? Kann man dann bei g = a * g einfach den n-Exponenten der Folge weglassen?
Bin heute schon etwas durch den Wind, waren viele Aufgaben heute...
b) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] [mm]a^n[/mm] -> g mit [mm]\left | a \right |[/mm] > 1, dabei gilt g = a + g für beliebiges a. Wenn g also für n [mm]\to[/mm] [mm]\infty[/mm] und [mm]\left | a \right |[/mm] > 1, [mm]\infty[/mm]entspricht, so ist die Gleichung auch unabhängig von a erfüllt. Wäre das okay so?
c) Kann ich dies dann analog zur b) machen? Also entspricht mein g deinem alpha?
Danke & Gruß
Ptolemaios
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Sa 19.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:16 Do 17.11.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
Aufgabe 3 ist nicht sauber gestellt!
> 3. Sei [mm](a_n)[/mm] eine konvergente Folge mit lim [mm]a_n[/mm] = a. Zeigen
> Sie, dass dann auch [mm]\wurzel{a_n}[/mm] konvergiert und es gilt
> lim [mm]\wurzel{a_n}[/mm] = [mm]\wurzel{a}[/mm].
Na, dann nehmen wir doch mal [mm] a_n=-3-\bruch{1}{n^2}
[/mm]
Behauptung widerlegt.
Also nimm auch noch [mm] a\in\IR_{0}^{+} [/mm] an, dann macht die Aufgabe mehr Sinn und Spaß.
Grüße
reverend
PS: Dürft Ihr Grenzwertsätze benutzen? Wenn ja, welche?
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Hab nochmal genau nachgesehen, entspricht exakt der Aufgabenstellung.
[mm] a_n=-3-\bruch{1}{n^2} [/mm] hast du dir jetzt mal so ausgesucht? Das würde ja für n[mm]\to[/mm][mm]\infty[/mm]gegen -3 konvergieren, was wurde damit widerlegt?
Und wir dürfen an sich alles verwenden, was nachvollziehbar & logisch ist 
Danke & Gruß
Ptolemaios
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:09 Fr 18.11.2011 | | Autor: | fred97 |
In Aufgabe 3 muß zusätzlich vorausgesetzt werden, dass alle [mm] a_n \ge [/mm] 0 sind ( dann ist auch der GW a [mm] \ge [/mm] 0 und mit all den Wurzeln gibts keine Probleme)
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:21 So 20.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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