www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Folgen und Reihen" - Folgen und Reihen
Folgen und Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Folgen und Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:06 So 27.01.2008
Autor: M4rc

Aufgabe
2. Gegeben ist die Zahlenfolge 1;5/6;7/11;9/18;11/27
a.) Ermitteln Sie an und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] an = g
b.) Berechnen Sie die Zahl n0 [mm] \in \IN [/mm] für die gilt, dass |an-g|<1/10 für alle n>n0

Ich habe das Bildungsgesetz ermittelt:

an=(2n+1)/(n²+2)

dann den Grenzwert

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}an [/mm] => (2n+1)/(n²+2) unbestimmter ausdurck also L Hospital

=> 2/2n=1/n => g=0

Ich bin mir nicht sicher ob das richtig ist...

und wie ich jetz teilaufgabe b machen soll weiss ich gar nicht

danke im vorraus

        
Bezug
Folgen und Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:27 So 27.01.2008
Autor: Somebody


> 2. Gegeben ist die Zahlenfolge 1;5/6;7/11;9/18;11/27
>  a.) Ermitteln Sie an und [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} an = g[/mm]
>  b.) Berechnen Sie die Zahl n0 [mm]\in \IN[/mm] für die gilt, dass
> |an-g|<1/10 für alle n>n0
>  Ich habe das Bildungsgesetz ermittelt:
>  
> an=(2n+1)/(n²+2)
>  
> dann den Grenzwert
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}an[/mm] => (2n+1)/(n²+2) unbestimmter
> ausdurck also L Hospital
>
> => 2/2n=1/n => g=0

Man braucht allerdings auf diesen Spatzen von Grenzwert nicht unbedingt mit der L'Hospitalschen Kanone zu schiessen:

[mm]\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2n+1}{n^2+2}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{2+\frac{1}{n}}{n+\frac{2}{n}}=0[/mm]


> Ich bin mir nicht sicher ob das richtig ist...

Doch, doch, es stimmt schon: Immer wenn [mm] $a_n$ [/mm] eine gebrochen-rationale Funktion von $n$ ist und das Nennerpolynom höheren Grad als das Zählerpolynom hat ist der Limes $=0$.

>  
> und wie ich jetz teilaufgabe b machen soll weiss ich gar
> nicht

Oft hilft es schon, die Aufgabenstellung einfach mal in mathematischer Form aufs Papier zu schreiben: Du musst also ein [mm] $n_0$ [/mm] finden, ab dem für alle [mm] $n>n_0$ [/mm] gilt, dass

[mm]|a_n-g|<\tfrac{1}{10}[/mm]


Wegen $g=0$ und [mm] $a_n\geq [/mm] 0$ vereinfacht sich dies zu

[mm]\frac{2n+1}{n^2+2}\leq \frac{1}{10}[/mm]

Dies ist eine quadratische Ungleichung für $n$, die Du sogar explizit lösen kannst. Hast Du die Lösungsmenge der $n$, die diese Ungleichung erfüllen, gefunden, dann wählst Du [mm] $n_0$ [/mm] einfach so, dass aus [mm] $n>n_0$ [/mm] folgt, dass $n$ in der Lösungsmenge liegt.

Bezug
                
Bezug
Folgen und Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:52 So 27.01.2008
Autor: M4rc

das ist jetzt bestimmt nicht mehr so kompliziert wenn man Ahnung von Ungleichungen hat hab ich jetzt nun nicht wiklich.

[mm] \bruch{2n+1}{n²+2}<\bruch{1}{10} [/mm]

[mm] 2n+1<\bruch{1}{10}*(n²+2) [/mm]

[mm] 1<\bruch{1}{10}n²+\bruch{1}{5}-2n [/mm]

10<n²+2-20n

so und nun weiss ich nicht mehr weiter pq kann man hier wohl kaum anwenden...???

thx> > 2. Gegeben ist die Zahlenfolge 1;5/6;7/11;9/18;11/27

>  >  a.) Ermitteln Sie an und [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} an = g[/mm]
>  
> >  b.) Berechnen Sie die Zahl n0 [mm]\in \IN[/mm] für die gilt, dass

> > |an-g|<1/10 für alle n>n0
>  >  Ich habe das Bildungsgesetz ermittelt:
>  >  
> > an=(2n+1)/(n²+2)
>  >  
> > dann den Grenzwert
>  >  
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}an[/mm] => (2n+1)/(n²+2) unbestimmter
> > ausdurck also L Hospital
> >
> > => 2/2n=1/n => g=0
>
> Man braucht allerdings auf diesen Spatzen von Grenzwert
> nicht unbedingt mit der L'Hospitalschen Kanone zu
> schiessen:
>

das kam mir im moment am einfachsten und am schnellsten vor^^

> [mm]\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2n+1}{n^2+2}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{2+\frac{1}{n}}{n+\frac{2}{n}}=0[/mm]
>  
> > Ich bin mir nicht sicher ob das richtig ist...
>  
> Doch, doch, es stimmt schon: Immer wenn [mm]a_n[/mm] eine
> gebrochen-rationale Funktion von [mm]n[/mm] ist und das
> Nennerpolynom höheren Grad als das Zählerpolynom hat ist
> der Limes [mm]=0[/mm].

Bezug
                        
Bezug
Folgen und Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:11 So 27.01.2008
Autor: Somebody


> das ist jetzt bestimmt nicht mehr so kompliziert wenn man
> Ahnung von Ungleichungen hat hab ich jetzt nun nicht
> wiklich.
>  
> [mm]\bruch{2n+1}{n²+2}<\bruch{1}{10}[/mm]
>  
> [mm]2n+1<\bruch{1}{10}*(n²+2)[/mm]
>  
> [mm]1<\bruch{1}{10}n²+\bruch{1}{5}-2n[/mm]
>  
> 10<n²+2-20n

[ok], oder, noch etwas handlicher: [mm] $0
>  
> so und nun weiss ich nicht mehr weiter pq kann man hier
> wohl kaum anwenden...???

Aber sicher schon: damit kannst Du die Nullstellen der zugehörigen quadratischen Gleichung [mm] $0=n^2-20n-8$ [/mm] bestimmen: [mm] $n_1\approx [/mm] -0.39$ und [mm] $n_2\approx [/mm] 20.39$. Die Lösungsmenge der Ungleichung ist also [mm] $\mathrm{L}=\;]-\infty;n_1[\;\cup\;]n_2;+\infty[$, [/mm] denn der Graph der quadratischen Funktion $f(n):= [mm] n^2-20n-8$ [/mm] ist eine nach oben geöffnete Parabel, die nur gerade für [mm] $n\in [n_1;n_2]$ [/mm] auf oder unterhalb der $n$-Achse liegt.

Das heisst, Du  kannst als Lösung der ursprünglichen Aufgabenstellung einfach [mm] $n_0 [/mm] := 20$ (oder grösser) wählen. Dann gilt, gemäss unserer Lösung der entsprechenden Ungleichung, dass für alle [mm] $n>n_0$ [/mm] die gewünschte Beziehung [mm] $|a_n-g|<\frac{1}{10}$ [/mm] gilt.


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de