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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:44 So 19.04.2009 | | Autor: | scr3tchy |
| Aufgabe 1 | [mm] a_n [/mm] = (1 - [mm] \bruch{1}{3}) [/mm] * (1 - [mm] \bruch{1}{6}) [/mm] * ... * (1 - [mm] \bruch{1}{n*(n+1)/2})
[/mm]
durch zusammenfassen der Brüche soll man zigen das der lim von n -> unendlich = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] ist. |
| Aufgabe 2 | [mm] a_{n} [/mm] = [mm] a_{n-1}*(2 [/mm] - [mm] a_{n-1})
[/mm]
diese Folge soll ich auf konvergenz untersuchen, wobie [mm] a_0 \element [/mm] R ist und 0 < [mm] a_{0} [/mm] <1 |
Also ich habe diese beiden Aufgaben gegeben und ich weiß nich wie ich diese lösen soll....hoffe jemand von euch kann mir weiter helfen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:07 So 19.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo scr3tchy,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Zeige (z.B. mittels vollständiger Induktion), dass diese rekursiv definierte Fole sowohl monoton als auch beschränkt ist.
Daraus folgt dann unmittelbar die Konvergenz der Folge.
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:14 So 19.04.2009 | | Autor: | scr3tchy |
kannst du mir vielleicht einen Ansatz geben, wie ich die Induktion machen kann???
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> kannst du mir vielleicht einen Ansatz geben, wie ich die
> Induktion machen kann???
Hallo,
stell Du doch erstmal die beiden Behauptungen auf, vorher kann man ja schlecht eine Induktion machen.
Was wilst Du denn zeigen? Wachsend oder fallend?
Welche obere Schranke möchtest Du beweisen?
Wenn Du das hast, mach den Induktionsanfang.
Wie lautet die Induktionsannahme?
Was ist im Induktionsschluß zu zeigen?
Danach dann kann man weitersehen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 So 19.04.2009 | | Autor: | scr3tchy |
also die behauptung ist ja quasi, dass die folge konvergen ist, genau dann wenn [mm] a_n [/mm] monoton und beschränkt ist. Diese Aussage, brauch ich ja nicht beweisen oder zeigen, das eine ergibt sich einfach aus dem anderen.
wenn ich mir die folge angucke würde ich sagen, dass die Folge monoton wachsend ist. das heißt also das [mm] a_n+1 [/mm] - [mm] a_n [/mm] >= 0 ist.
heißt das jetzt für die Induktion das ich mit der monotonie arbeite oder mit der folge an sich???
für die monotonie sieht das doch ungefähr so aus oder nich???
IA n=2
[mm] a_n-1+1*(2-a_n-1+1) [/mm] - [mm] a_n-1*(2-a_n-1) [/mm] >= 0
[mm] a_n [/mm] * (2 - [mm] a_n) [/mm] - [mm] a_n-1 [/mm] * (2 - [mm] a_n-1) [/mm] >=0
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:21 So 19.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du solltest deine posts vor dem abschicken mit vorschau ansehen. dann merkst du, ob sie leserlich sind.
du schriebst:
$ [mm] a_n-1+1\cdot{}(2-a_n-1+1) [/mm] $ - $ [mm] a_n-1\cdot{}(2-a_n-1) [/mm] $ >= 0
$ [mm] a_n [/mm] $ * (2 - $ [mm] a_n) [/mm] $ - $ [mm] a_n-1 [/mm] $ * (2 - $ [mm] a_n-1) [/mm] $ >=0
meinst du:
$ [mm] a_{n-1+1}\cdot{}(2-a_{n-1+1)} [/mm] $ - $ [mm] a_{n-1}\cdot{}(2-a_{n-1}) [/mm] $ >= 0
$ [mm] a_n [/mm] $ * (2 - $ [mm] a_n) [/mm] $ - $ [mm] a_{n-1} [/mm] $ * (2 - $ [mm] a_{n-1}) [/mm] $
>=0
dann ist das recht sinnlos, denn du vergleichst ja [mm] a_{n+1} [/mm] -den linken Teil mit [mm] a_{n-1}- [/mm] dem rechten Teil.
Ist ein anfangswert [mm] a_0 [/mm] oder [mm] a_1 [/mm] gegeben?
dann rechne wenigstens die naechsten 2 aus, als Induktionsanfang.
Meistens braucht man fuer die Monotonie erst die Beschraenktheit und benutzt die auch bei dem Beweis.
Wenn du die ersten paar ausrechnest siehst du, dass es nicht fuer alle Anfangs a konvergiert. nimm mal [mm] a_1<0
[/mm]
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:18 So 19.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo scr3tchy!
> [mm]a_n[/mm] = (1 - [mm]\bruch{1}{3})[/mm] * (1 - [mm]\bruch{1}{6})[/mm] * ... * (1 - [mm]\bruch{1}{n*(n+1)/2})[/mm]
Kannst Du hier vielleicht noch einmal die Folgenvorschrift überprüfen? Das scheint mir unschlüssig.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:13 So 19.04.2009 | | Autor: | scr3tchy |
zu dieser aufgabe hab ich keinerlei angaben außer halt die folge [mm] a_n [/mm] und das ich für die folge [mm] a_n [/mm] zeigen soll das der lim von [mm] a_n [/mm] = 1/3 ist.
ich habe mir schon die ersten sechs und die letzten drei der Gleder der Folge aufgeschrieben und mir überlegt wie ich die zusammen zu fassen, aber irgendwie komm ich da nicht weiter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:18 So 19.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo scr3tchy!
Ist denn die Folgenvorschrift oben korrekt dargestellt?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:28 So 19.04.2009 | | Autor: | scr3tchy |
also ich hab mir die nochmal genau angeguckt und ja sie ist richtig dargestellt. was meinst du denn genau??? also das die folge nur für alle n >= 2 gilt.
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Hallo!
Mein Tipp: Nimm dir den allgemeinen Faktor
[mm] $\left(1-\bruch{1}{\left(\bruch{n*(n+1)}{2}\right)}\right)$
[/mm]
und faktorisiere ihn vollständig! Dann überlege, was passiert, wenn du nacheinander viele dieser Faktoren mit k = 1,2,3,4 hintereinander schreibst.
Stefan.
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