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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:23 Fr 04.01.2013 | | Autor: | pandor |
| Aufgabe | Zur näherungsweisen Auswertung der ln-Funktion auf Computern kann man folgende Reihendarstellung des Logarithmus verwenden:
[mm] ln(1+x)=\summe_{n=0}^{unendlich}(-1)^n*\bruch{x^(n+1)}{n+1}
[/mm]
(a) Für welche Werte von x ∈ R ist diese Reihenentwicklung möglich (d.h. für welche x konvergiert die Reihe)?
(b) Wieviele Glieder sind hinreichend, um ln(1.5) auf 2 Nachkommastellen genau auszuwerten? Berechnen Sie mit obiger Reihe ln(1.5) auf 2 Stellen genau! |
Hi!
***Beim Zähler soll (n+1) der Exponent von x sein.
Wäre echt super, wenn Ihr mir helfen könntet...
Ich habe leider absolut keine Ahnung wie das gehen soll, weil ich sehr lange krank war...
Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:55 Fr 04.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zur näherungsweisen Auswertung der ln-Funktion auf
> Computern kann man folgende Reihendarstellung des
> Logarithmus verwenden:
>
> [mm]ln(1+x)=\summe_{n=0}^{unendlich}(-1)^n*\bruch{x^(n+1)}{n+1}[/mm]
schreibe das bitte so (klicke auf die Formel oder fahr'mit der Maus drüber):
[mm] $$\ln(1+x)=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n*\bruch{x^{n+1}}{n+1}$$
[/mm]
>
> (a) Für welche Werte von x ∈ R ist diese
> Reihenentwicklung möglich (d.h. für welche x konvergiert
> die Reihe)?
Fangen wir doch erstmal damit an: Kennst Du das Wurzelkriterium? Wende
es an und benutze [mm] $\sqrt[n]{n+1} \to [/mm] 1$ bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] - alternativ
kannst Du auch das Quotientenkriterium anwenden.
Insbesondere wirst Du auch sonst sicher schnell zeigen können, dass die
obige Reihe für $|x| > 1$ divergent sein muss; denn ich gehe davon aus,
dass Dir das sogenannte Trivialkriterium
[mm] $$\sum a_n \text{ konvergiert} \;\;\Rightarrow \;\;\;\;a_n \to [/mm] 0$$
bekannt ist.
P.S. Die Fälle [mm] $x=1\,$ [/mm] und [mm] $x=-1\,$ [/mm] musst Du nochmal separat
untersuchen: Dabei hilft dann aber das Leibnizkriterium.
Und zu b): Eigentlich kann man hier die Konvergenz der Reihe für $|x| [mm] \le [/mm] 1$
sowieso alleine mit dem Leibnizkriterium abhandeln. Schau' mal in den
Beweis des Leibnizkriteriums, da findet man Abschätzungen für das
"Restglied" einer solchen Reihe, bzw. kann sich damit eine Abschätzung
herleiten.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:00 Sa 05.01.2013 | | Autor: | pandor |
Okay vielen Dank. Dann weis ich auf jeden Fall schon wie ich das ganze angehen muss.
Ehrlich gesagt habe ich von solchen Aufgaben noch ganz schön viele zu lösen, könntest Du dir die auch mal anschauen? Ich hab nämlich nich so Ahnung, wie ich die angehen soll.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:27 Sa 05.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Okay vielen Dank. Dann weis ich auf jeden Fall schon wie
> ich das ganze angehen muss.
>
> Ehrlich gesagt habe ich von solchen Aufgaben noch ganz
> schön viele zu lösen, könntest Du dir die auch mal
> anschauen? Ich hab nämlich nich so Ahnung, wie ich die
> angehen soll.
wenn ich Zeit habe, kann ich mir die angucken. Stell' sie aber sinnvoll
(einzeln, wenn es keinen direkten Zusammenhang gibt) einfach mal in
den Matheraum und schreibe immer dazu, wie weit Du bisher gekommen
bist - oder schreibe halt auch dazu, dass Du gar nicht weißt, wie Du an
die Aufgabe rangehen sollst, wenn dem denn so ist. Es gibt hier genügend
kompetente Leute, die sich das angucken - erwartet wird halt auch
Eigenleistung von Dir; das ist aber auch in Deinem Sinne, schließlich willst
Du ja nicht ständig bei solchen Aufgaben auf Hilfe angewiesen sein,
sondern sie irgendwann auch alleine lösen können.
Gruß,
Marcel
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