Folgen und Reihen, konvergenz! < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:47 Fr 01.02.2008 | | Autor: | zolushka |
| Aufgabe | [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] 1/n * [mm] \parallel a_n \parallel
[/mm]
was hat diese zwei Striche zu sagen? Betrag von [mm] a_n? [/mm]
|
Hallo !
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe morgen Analysis Prüfung und habe mir die alten Prüfungsstoffe angesehen, habe aber keine Ahnung ! Schlimm!!! ;(
kann mir jemand bitte die Nummer 6 a, b, und c aus der Anhang erklären, was ich machen soll bei denen....
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:58 Fr 01.02.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Die Folge [mm] a_{n}, [/mm] wie sie gegeben ist, ist ja eine Folge von Punkten im [mm] \IR^{2}, [/mm] also brauchst du anstatt des Betrages [mm] |a_{n}| [/mm] eine Norm [mm] \parallel{a_{n}}\parallel [/mm] , meistens die euklidische Norm
[mm] \left|\left|\vektor{x\\y}\right|\right|=\wurzel{x²+y²}
[/mm]
Und bei Aufgabe 6 musst du halt prüfen, ob die angegebenen Reihen konvergieren. Denk mal dabei an solche Dinge wie Majorantenkriterium, Wurzelkriterium....
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 Fr 01.02.2008 | | Autor: | zolushka |
| Aufgabe | [mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{n}*\left\|\vektor{\cos\bruch{\pi}{n} \\ \sin\bruch{\pi}{n}}\right\|
[/mm]
ob die Reihen konvergiert ist gefragt. |
Die euklidische Norm ist ja so definiert
[mm] \|x\|_2=\sqrt{\sum_{i=1}^n|x_i|^2}
[/mm]
und mein [mm] a_n [/mm] schaut so aus
[mm] \left\|\vektor{\cos\bruch{\pi}{n} \\ \sin\bruch{\pi}{n}}\right\|
[/mm]
ist es richtig wenn ich sage [mm] \wurzel{x^2 * y^2} [/mm] ?
oder
[mm] \bruch{\cos\bruch{\pi}{n} ! ^2}{\sin\bruch{\pi}{n}! ^2 * (\cos\bruch{\pi}{n} - \sin\bruch{\pi}{n}) ! ^2}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:43 Fr 01.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{n} *\parallel \vektor{cos\bruch{pi}{n} \\ sin\bruch{pi}{n}}\parallel[/mm]
>
> ob die Reihen konvergiert ist gefragt.
> Die euklidische Norm
im [mm] $\IR^n$ [/mm] mit festem $n [mm] \in \IN$!!!
[/mm]
> ist ja so definiert
> [mm]\|x\|_2[/mm] = [mm]\sqrt{\sum_{i=1}^n |x_i|^2}[/mm]
> und mein [mm]a_n[/mm] schaut
Bitte pass' auf, dass Dein $n$ bei [mm] $a_n$ [/mm] ja als Laufindex natürlich nicht das $n$ des [mm] $\IR^n$ [/mm] ist, also dass Du da nichts durcheinanderschmeist!
> so aus
> [mm]\parallel \vektor{cos\bruch{pi}{n} \\ sin\bruch{pi}{n}}\parallel[/mm]
Nein, [mm] $a_n$ [/mm] war [mm] $=\vektor{\cos\bruch{\pi}{n} \\ \sin\bruch{\pi}{n}}$, [/mm] und dann ist
[mm] $\parallel \vektor{cos\bruch{\pi}{n} \\ sin\bruch{\pi}{n}}\parallel=\parallel a_n \parallel$ [/mm]
> ist es richtig wenn ich sage [mm]\wurzel{x^2 * y^2}[/mm] ?
Erstens: Wieso steht da ein Mal-Zeichen unter der Wurzel? Da gehört ein Plus hin. Zweitens:
[mm] $\parallel \vektor{x\\y} \parallel=\sqrt{x^2+y^2}$, [/mm] sofern der [mm] $\IR^2$ [/mm] mit der euklidischen Norm versehen ist.
(Also:
Für [mm] $x=(x_1,...,x_m)^T \in \IR^m$ [/mm] ist [mm] $\|x\|_2=\sqrt{\sum_{k=1}^m x_k^2}$.
[/mm]
Bei Dir ist $m=2$, also für $x [mm] \in \IR^2$ [/mm] gilt:
[mm] $\|x\|_2=\sqrt{\sum_{k=1}^2 x_k^2}=\sqrt{x_1^2+x_2^2}$.)
[/mm]
Hier ist (wenn ich wie Du wieder [mm] $\vektor{x\\y}$ [/mm] anstatt [mm] $\vektor{x_1\\x_2}$ [/mm] schreibe) dann [mm] $x=x_n=\cos\bruch{\pi}{n}$, $y=y_n=\sin \frac{\pi}{n}$, [/mm] also:
[mm] $\parallel \vektor{\cos\bruch{\pi}{n} \\ \sin\bruch{\pi}{n}} \parallel=\sqrt{\cos^2 \frac{\pi}{n}+\sin^2 \frac{\pi}{n}}=\sqrt{1}=1$
[/mm]
(Beachte den trigonometischen Pythagoras!)
> oder
> [mm]\bruch{cos\bruch{pi}{n} ! ^2}{sin\bruch{pi}{n}! ^2 * (cos\bruch{pi}{n} - sin\bruch{pi}{n}) ! ^2}[/mm]
Da hab' ich überhaupt keine Ahnung, was Du da rechnest??? Zudem schaut es ein wenig so aus, als würdest Du (vielleicht) irgendwie Vektoren mit Binomialkoeffizienten verwechseln (aber auch dann würde es nicht passen!), wobei das ganz verschiedene Dinge sind...
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:00 Fr 01.02.2008 | | Autor: | zolushka |
hallo , Danke !!
ich habe leider viele viele Fragen dazu, komme einfach nicht weiter !
[mm] a_n [/mm] = [mm] \vektor{\cos\bruch{\pi}{n} \\ \sin\bruch{\pi}{n}}
[/mm]
also will ich auf ein anderer Form bringen, damit ich rechnen kann,
wenn ich das habe [mm] \vektor{x \\ y }= \bruch{x Fakultät}{yFakultät * (x-y)Fakultät}
[/mm]
oder ist es falsch?
wie mache ich das, bei 6 a und c ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:07 Fr 01.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hallo , Danke !!
>
> ich habe leider viele viele Fragen dazu, komme einfach
> nicht weiter !
>
> [mm]a_n[/mm] = [mm]\vektor{\cos\bruch{\pi}{n} \\ \sin\bruch{\pi}{n}}[/mm]
>
> also will ich auf ein anderer Form bringen, damit ich
> rechnen kann,
>
> wenn ich das habe [mm]\vektor{x \\ y }= \bruch{x Fakultät}{yFakultät * (x-y)Fakultät}[/mm]
>
> oder ist es falsch?
ja, das ist grundlegend falsch!!! Vektoren [mm] $x=\vektor{x_1\\.\\.\\.\\x_m} \in \IR^m$ [/mm] kann man als Punkte des [mm] $\IR^m$ [/mm] betrachten, sie sind durch die Koordinaten eindeutig festgelegt, ihre Länge errechnet sich nach der euklidischen Norm (geometrisch passend zu Pythagoras).
Ein Binomialkoeffizient wird zwar auch so geschrieben:
${n [mm] \choose [/mm] k}$
sieht also vielleicht auch erstmal so aus wie ein Vektor des [mm] $\IR^2$, [/mm] aber alleine die Tatsache, dass sich ein Binomialkoeffizient errechnet zu:
${n [mm] \choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} \in \IR$ [/mm]
zeigt doch schon, dass ein Binomialkoeffizient kein Element des [mm] $\IR^2$ [/mm] ist. Du schmeißt da ganz schön manche Dinge durcheinander, das darf Dir in der Prüfung nicht passieren!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 Fr 01.02.2008 | | Autor: | zolushka |
Hallo,
ja aber wie mache ich das, weil bei 6c habe ich ja kein norm mehr sondern nud [mm] a_n [/mm] und ich muss es ja auf irgendein einfachen form bringen, um zu überprüfen ob sie konvergieren oder nicht !
oder bei 6a ist auch nur [mm] a_n [/mm] und ich muss die folge untersuchen ?
Darf ich wieder dich darum bitten, mir irgendwelche hinweise zu geben!
mit diesen x und y habe ich Binomialkoeff gemeint! geht das nicht?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:44 Fr 01.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
wohin die Folge konvergiert hast du doch schon irgendwo gesagt! dazu musst du nur die Komponenten einzeln ansehen.
zu 6c) Welche notwendigen Bedingungen kennst du denn für die Konvergenz einer Reihe? sieh mal nach, ob die erfüllt sind.
Nochmal, [mm] a_n [/mm] ist ein Vektor und hat nichts wirklich gar nix mit Binomialkoeeffizienten zu tun. die [mm] a_n [/mm] sind Punkte im 2 dimensionalen Raum, also zeichne dir ein Koordinatensystem und zeichne die Punkte mal von n=1 bis n=5 ein und dann noch für n=100. Dann "siehst" du die Lösung von a) direkt.
Warum liest du die posts nicht genau, da hat dir doch -ich glaub marcel_ 2 mal geschrieben dass das KEINE Binomialkoeff. sind.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Fr 01.02.2008 | | Autor: | zolushka |
DAnke !!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:39 Fr 01.02.2008 | | Autor: | zolushka |
Hallo ,
also ich habe mit den Wurzelkriterium probiert, und komme auf
[mm] \wurzel[n]{\bruch{\cos\bruch{\pi}{n}}{\sin\bruch{\pi}{n}}}
[/mm]
wenn ich [mm] \pi [/mm] immer mit größeren Zahl dividiere wird es irgenwann [mm] \cos\bruch{\pi}{n} [/mm] zu 1 gehen und [mm] \sin [/mm] zu 0, also n-te wurzel aus 1 geteilt durch n-te wurzel aus 0 geht gegen unendlich und mit [mm] \bruch{1}{n} [/mm] geht die folge irgendwie gehen [mm] \bruch{\infty}{\infty}
[/mm]
kann mir bitte jemand helfen?
|
|
|
| |
|
> Hallo ,
>
> also ich habe mit den Wurzelkriterium probiert, und komme
> auf
>
> [mm]\wurzel[n]{\bruch{\cos\bruch{\pi}{n}}{\sin\bruch{\pi}{n}}}[/mm]
Hallo,
kannst Du vielleicht mal sagen, welche Reihe Du gerade mit dem Wurzelkriterium bearbeitest? Ich blick' da nicht so recht durch - andere anscheinend auch nicht, sonst hätte Dir sicher jemand geantwortet.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:37 Fr 01.02.2008 | | Autor: | zolushka |
Hallo, danke fürs schreiben....
ja ich habe mein [mm] a_n [/mm] ja mit binomialkoeff, ausgedruckt, was auch falsch war.. naja auf jeden Fall mein ergebnis ist falsch und ich weiß nicht mehr weiter ...
vielleicht sollte ich den Konvergenz von cos zuerst untersuchen und dann von sin ? wenn so einen Ausdruck habe, wie das da
[mm] \bruch{1}{n}\cdot{}\vektor{\cos\bruch{\pi}{n} \\ \sin\bruch{\pi}{n}}
[/mm]
kann ich damit nichts anfangen ...
[mm] cos\bruch{\pi}{n} [/mm] strebt gegen 0, und [mm] sin\bruch{\pi}{n} [/mm] strebt gegen 1 wenn ich pi durch unendlich größeren Zahl dividiere, wie schreibe ich nur bloß oder vllt ist der weg ja auch falsch!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:51 Fr 01.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Hallo, danke fürs schreiben....
>
> ja ich habe mein [mm]a_n[/mm] ja mit binomialkoeff, ausgedruckt, was
> auch falsch war.. naja auf jeden Fall mein ergebnis ist
> falsch und ich weiß nicht mehr weiter ...
>
> vielleicht sollte ich den Konvergenz von cos zuerst
> untersuchen und dann von sin ? wenn so einen Ausdruck habe,
> wie das da
>
> [mm]\bruch{1}{n}\cdot{}\vektor{\cos\bruch{\pi}{n} \\ \sin\bruch{\pi}{n}}[/mm]
>
> kann ich damit nichts anfangen ...
>
> [mm]cos\bruch{\pi}{n}[/mm] strebt gegen 0, und [mm]sin\bruch{\pi}{n}[/mm]
> strebt gegen 1 wenn ich pi durch unendlich größeren Zahl
> dividiere, wie schreibe ich nur bloß oder vllt ist der weg
> ja auch falsch!
Das wär ein richtiger Anfang, wenn du nicht sin und cos genau verwechselt hättest.
Du [mm] schreibst:\limes_{n\rightarrow\infty}sin(\pi/n) [/mm] = 0 entsprechend für cos.
Wenn du ne Begründung brauchst: sin(0)=0 und sinx ist ne stetige Funktion.
Damit hast du dann a)gelöst.
für c) siehe mein anderer Post.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:19 Fr 01.02.2008 | | Autor: | zolushka |
DAnke !!
|
|
|
|
